Геометрия есть познание всего сущего.
Платон
Давайте зададимся вопросом: «Что «золотого» содержится в понятиях «золотой треугольник» и «золотое сечение»? Как понимать столь высокий эпитет?» По-видимому, эти понятия сакральные (то есть, в том числе, и скрытые). По-видимому, также, полностью постичь их смысл нам ещё не удастся, но … кое-что давайте попытаемся.
1. Начнём с «ЗОЛОТОГО» ТРЕУГОЛЬНИКА. Это - прямоугольный треугольник, длины сторон которого целочисленные (3, 4, 5). В этом его уникальность! Кстати, то, что треугольник, имеющий указанные длины сторон, является прямоугольным, знали и широко использовали при строительстве культовых сооружений ещё в Древнем Египте (как способ построения перпендикуляра) - отсюда, и другое название треугольника – Египетский.
Всё указанное широко известно. Но есть и такие свойства, которые далеко не очевидны. Стороны египетского треугольника, построенные по порядку величины, образуют арифметическую прогрессию. И мы можем наблюдать симметрию в том, что любой член арифметической прогрессии является среднеарифметическим между равноудалёнными от него (симметричными) членами прогрессии. Интересно, что наука о симметрии, например, для описания строения кристаллов, пользуется понятием статическая симметрия, считая, что она характеризует покой, равновесие, неподвижность. Однако неизменность приращения (разности арифметической прогрессии) как раз свидетельствует не о покое и неподвижности, а о стационарности процесса, описываемого арифметической прогрессией. Такое представление статической симметрии точнее отражает её смысл.
Вернёмся ещё раз к прямоугольности «золотого» треугольника. Ньютон, вводя своё видение физической реальности, считал, что всё тела взаимодействуют друг с другом в пустом пространстве (вместилище) по прямой линии, связывающей эти тела, причем, без посредников, только через внутреннее свойство своих масс. Иначе говоря, для пустого пространства Ньютона прямой угол - просто констатирующая информация. Между тем, прямой угол присутствует практически во всех природных явлениях.
Например, каждый из нас легко может представить волну[1], наблюдая её на воде от брошенного камешка[2]. То, что разбегающиеся по глади воды волны от брошенных камешков не переносят частицы воды, а только колеблют их, знает каждый и из школьных уроков по физике, и из собственного опыта. Бросьте нá воду щепку, и она не куда не поплывет, а будет только подниматься и опускаться на волнах[3]. Это наглядная иллюстрация простоты и сложности природных явлений. Мы видим движущиеся волны, а частицы воды только колеблются в направлении, перпендикулярном вектору скорости распространения волн.
То есть волна по своей природе является суммой двух процессов: колебательного (циклического) изменения какой-либо физической величины и равномерного движения фазы этого колебания в перпендикулярном направлении. При этом в колебательном процессе происходит только преобразование энергии из одного вида в другой (в нашем случае кинетической энергии в потенциальную и наоборот). А в направлении изменения фазы переносится энергия волны, которая вязкостью среды передаётся соседним частицам воды.
Другой пример, не из механики. Известно, что в статике магнитное поле и электрическое поле друг с другом не взаимодействуют. То есть маленький магнитик не шелохнётся в электростатическом поле, а электрон не сдвинется в магнитном. Но если электрону, находящемуся в магнитном поле, сообщить постоянную скорость (для определенности скажем в направлении, перпендикулярном силовым магнитным линиям), то он дополнительно приобретёт ускорение, причём не по магнитным линиям от северного полюса к южному, а перпендикулярно им, так, что его результирующее движение будет спиральным. Этот процесс описывается с помощью так называемого векторного произведения.
Пикантность ситуации с законами Ньютона заключается в том, что они описывают только инерциальные системы[4], которых в природе не существует. Инерциальные системы обычно рассматривают лишь в физических моделях приближения. А для неинерциальных систем физики вынуждены вводить дополнительные фиктивные образования: центробежные и кориолесовые силы, скалярное (!?) или центростремительное ускорение и т.д. Как следствие, наглядность законов сразу исчезает. Наверное, с этим можно было бы смириться, но …. Простейшие природные явления, иллюстрируемые детскими игрушками - «китайский» волчок или «кельтский» камень - физики-механики до сих пор не могут описать и решить в общем виде, так же как и некоторые задачи, связанные с гироскопом (то есть с неинерциальными системами)….
Так может, всё-таки, прав был английский поэт Блейк, написавший в 1802 году: "Да спасет нас бог от одностороннего видения и Ньютонова сна"?…
2. Рассмотрим «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ», которое, в основном, известно своим приложением при деление отрезка «с» в среднем и крайнем отношениях. При этом с/a = a/b, где «b» и «a» меньший и больший отрезки. Если внимательно вглядеться, то можно увидеть, что формулы пропорций золотого сечения и геометрической прогрессии идентичны.
Геометрическая прогрессия образует пропорцию (n+1)/n = n/(n-1), и так же, как и арифметическая, описывает симметричные процессы, но в отличие от последней, не статические, а динамические, прогрессивные. Такая симметрия называется динамической или симметрией подобия. Заметим, что, даже при ограничении значений членов прогрессии и её знаменателя «q» целыми числами, можно образовать бесконечное множество геометрических прогрессий. И конечно, все они сбудут обладать симметрией подобия.
Для Золотого сечения мы тоже можем составить пропорцию c/a = a/b, и тоже наблюдать симметрию подобия. Но в «золотой» пропорции мы обнаруживаем уникальное свойство. Составляющие связаны между собой не только пропорцией подобия, но и тем, что число «с» равно сумме чисел «a» и «b», то есть c=(a+b).
Другими словами, в золотой пропорции, как в символе, можно наблюдать не только развитие, но и процесс преемственности (то есть эволюционное развитие). Если числа «b» и «a» (a=b.q) в сумме не равны «c», то знаменатель пропорции «q» должен изменяться до тех пор, пока сумма получаемых отрезков не станет равной «c» (c=a.q). Когда это произойдёт, «q» станет равным знаменитому числу «Фи», целочисленное приближение которого было найдено Фибоначчи в его знаменитой возвратной последовательности
1, 1, 2, 3, 5, 8, …(a0 = 1, a1 = 1, ..., an+2 = an+1 + an, причём
Золотая пропорция в ряду бесконечного множества геометрических пропорций единственная (в русском языке такие явления называют ЧУДОМ). Только она описывает развитие, не безоглядное (в прямом смысле этого слова), а такое, которое оценивает предшествующий опыт.
То обстоятельство, что развивающимся процессам присуща симметрия подобия, по-видимому, оказалось приманкой, на которую клюнули математики. Возникло целое направление – фрактальная геометрия, - с помощью которой математики надеются описать закономерности всех явлений симметрией подобия, то есть развивающихся систем. Особенно бурно формирует свой аппарат фрактальная геометрия с появлением компьютеров, позволяющих создавать и анализировать недоступные ранее бесконечные многообразия (см. ниже).
Однако повторим, что критериям жизненности соответствует не любое развитие, пусть и обладающее симметрией подобия. Только золотое подобие образует жизненные формы. Иначе говоря, есть формы, явления, процессы, которые имеют право на жизнь (это устойчивые системы), а есть такие, которые могут только существовать (неустойчивые системы).
3. Ну а теперь посягнём на смысл существующих трактовок знаменитого стиха «ИЗУМРУДНОЙ СКРИЖАЛИ»: «Истинно - без всякой лжи, достоверно и в высшей степени истинно. То, что находится внизу аналогично тому, что находится вверху. И то, что находится вверху аналогично тому, что находится внизу, чтобы осуществить чудеса единой вещи» (в изложении Д.Страдена «Герметизм»).
Существует и другая вариация: «Нижнее подобно верхнему, а верхнее подобно нижнему, ради выполнения чуда единства».
Есть ещё перевод: «Нижнее подобно верхнему, а верхнее нижнему и всё это для того, чтобы свершить чудо одного единственного».
Д. Странден толкует первый стих Изумрудной скрижали так: «То, что вверху аналогично тому, что внизу» и наоборот. Он говорит, что в этих словах сформулирован закон аналогии или соответствия.
После того, как мы с Вами рассмотрели феномен Золотого сечения, становится очевидной беспомощность мысли «интерпретаторов» стиха. Как говорят: «Слышали звон, да не знают, где он».
Спрашивается: «Если начало стиха утверждает аналогию, то зачем говорить об этом дважды? Разве одного раза недостаточно? А если недостаточно, то может быть, надо сказать трижды? «Интерпретаторы» - молчат...
В чём тут дело? Ведь нельзя же, на самом деле предположить, что тексты книг Древних традиций, несмотря на имеющиеся искажения перевода, содержат бессмысленные повторы. Конечно, в устной речи, для усиления какой либо эмоции, применяются повторы фраз, но в письменной это не принято. Значит, стих утверждает не аналогию. Значит то, что мы наблюдаем в стихе не повтор. Но тогда что?... Очевидно, что пропорция!
Обозначим исходное состояние за «a», прибавку «b», новое состояние «a+b» или «c». Тогда стих может означать только пропорцию a/b = c/a: Нижнее «а» (исходное состояние) так относится к Верхнему «b» (прибавке), как Верхнее «с» (новое состояние) относится к Нижнему (исходному состоянию) «а».
Нетрудно видеть, что стих «Изумрудной скрижали» и «золотое сечение» описывают одно и то же: гармоническое (природное) развитие, которое в математических символах выглядит как система двух уравнений
Решение системы двух уравнений с тремя неизвестными a, b, c возможно только для отношений указанных неизвестных a/b, c/a или b/c, причём, a/b=c/a=(1±
Таким образом, в Золотом сечении и стихе «Изумрудной скрижали» содержится формула эволюционного развития, которое возможно тогда и только тогда, когда ПРИБАВКА к исходному состоянию, само ИСХОДНОЕ СОСТОЯНИЕ и УРОВЕНЬ СЛЕДУЮЩЕЙ СТУПЕНИ развития, образуя ЦЕЛОЕ, составят золотую прогрессию. Одну единственную, имеющую право на жизнь, из всего сонма геометрических прогрессий, имеющих право только на существование. «Тесны врата и узок путь, ведущие в жизнь, и не многие находят их» (Матф. 7: 14).
По-видимому, динамическая симметрия частей и целого, сходясь (собираясь) в целое без остатка содержит в себе также принцип оптимальности энергетических затрат. И доказательства такой гипотезы, надо полагать, должны существовать в природе, и вполне предсказуемы.
На мой взгляд, суть стиха «Изумрудной скрижали», заключена в следующее фразе: Нижнее подобно Верхнему, а Верхнее подобно Нижнему так, чтобы составить в этом подобии Единое Целое; это и есть Сокровенная суть Жизни.
[1] Кстати существование световых волн Ньютон не признавал, считая свет потоком частиц (корпускул). Поэтому всячески способствовал забвению Юнга, доказывавшего волновую природу света интерференционными опытами. Вообще говоря, сэр Ньютон трепетно заботился о своём личном приоритете, особенно в отношении Гука, который открыл множество законов, в том числе первый опубликовал закон всемирного тяготения, а также закон, в будущем ставший законом Бойля-Мариота. Ньютон, став в 1703 году, после смерти Гука, председателем Королевского общества велел уничтожить все инструменты и портреты Гука (и уничтожили, ведь!), затеем долго судился с Лейбницем, оспаривая у того приоритет в применении вариаций (элементов дифференциального исчисления) [http://www.lenta66.ru/science/2007/08/14/6012/].
[2] Заметим, что волны, формируемые в воде вертикальными колебаниями погружного маятника, отличаются от штормовых «нагонных» волн отсутствием горизонтальной составляющей в движении поверхностной части масс воды.
[3] В физике волны такого типа называют поперечными.
[4] Инерциальная система отсчёта, система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, когда на неё не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения…. Система отсчёта, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчёта с ускорением, является неинерциальной, и ни закон инерции, ни второй закон Ньютона, ни законы сохранения кол-ва движения (импульса), ни момента кол-ва движения и движения центра инерции (центра масс) в ней не выполняются [Физический энциклопедический словарь].