Воспользуемся БСЭ. Аксиоматический метод сегодня является главным методом построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) - аксиомы, или постулаты, и из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы) выводятся чисто логическим путём, посредством доказательств. Такой метод называется дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введённые понятия. Главной областью приложения аксиоматического метода до сих пор остаются математика и символическая логика, а также некоторые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).
Основы математики были заложены в «Началах» Евклида, построенных по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства.
В I книге даны 23 определения, напр.:
1. Точка есть то, что не имеет частей;
2. Линия есть длина без ширины; …
4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.
За определениями следуют пять постулатов:
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую;
2. Ограниченную прямую (можно непрерывно продолжать по прямой;
3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг;
4. Все прямые углы равны между собой;
5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где в углы меньше двух прямых.
Постулаты 1 - 3 описывают простейшие построения, которые можно осуществить с помощью циркуля и линейки. 2 постулат обеспечивает единственность продолжения прямой. 5 - знаменитый постулат о параллельных, который ещё в древности пытались вывести из остальных постулатов и аксиом. Попытки доказать 5 постулат продолжались вплоть до работ Н. И. Лобачевского, построившего геометрическую теорию, в которой этот постулат не выполняется.
Вслед за постулатами идут пять аксиом (в некоторых списках «Начала» к ним добавлены ещё четыре аксиомы):
1. Равные одному и тому же равны между собой;
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны;
3. И если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны;
4. И совмещающиеся друг с другом равны между собой;
5. И целое больше части.
Постулаты и аксиомы представляют собой утверждения, принимаемые без доказательств. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.
Понятно, что не истинные исходные определения, аксиомы и постулаты не могут привести к истинным результатам. Даже БСЭ считает, что «Начала» Евклида «не достигают уровня современной строгости изложения. Некоторые определения геометрических образов, являются скорее описанием, причём далеко не совершенным. Так, определение 4 прямой линии не отличает её, от окружности, а определение 2 произвольной линии содержит упоминание о длине и ширине, которые сами нуждаются в определении. Формулировки постулатов и аксиом зато безупречны, содержащиеся в них утверждения существенны и составляют основу следующих за ними доказательств. Однако в доказательствах неоднократно используются такие свойства геометрических образов и отношения между ними, которые не выясняются ни постулатами, ни аксиомами. Так, в ряде доказательств используются понятия движения и расположение точек на прямой, выражаемое словами «между». В то же время в «Началах» отсутствуют аксиомы порядка, движения и конгруэнтности (кроме аксиомы 4); из аксиом непрерывности представлена только аксиома Архимеда.
В середине 19 века усилиями Лобачевского, Больяйя и Гаусса была доказана возможность построения непротиворечивым образом геометрии, отличной от евклидовой. Это открытие разрушило убеждение в «очевидной» истинности аксиом и основанных на них научных теорий. Теперь аксиомы стали пониматься просто как исходные положения данной теории, вопрос же об их истинности выходит за рамки аксиоматической теории.
После этого появилось много геометрических, арифметических и алгебраических теорий, которые строились средствами аксиоматического метода. Гильберт даже выдвинул идею полной формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются просто как последовательности знаков (формулы), не имеющие как таковые никакого смысла (который они приобретают лишь при некоторой конкретной интерпретации). Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) — это просто последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода. Но в 1931г. К. Гёдель доказал, что всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна (т. н. теорема о неполноте), чем показал невозможность выйти из порочного круга существующими логическими методами рассудочного познания мира.