ЧИСЛО - понятие неопределимое

Многочисленные попытки определить «число» к особому успеху не приводили.

Число – основное понятие математики, абстрагировавшееся в ходе длительного исторического развития человечества. МНОГОЧИСЛЕННЫЕ ПОПЫТКИ ОПРЕДЕЛИТЬ «ЧИСЛО» К ОСОБОМУ УСПЕХУ НЕ ПРИВОДИЛИ. Мы также не ставим своей целью определить это понятие. Мы только подчеркиваем, что для этой цели необходимо осуществлять длительные разъяснения. Мы ставим своей целью дать некоторый ответ на вопрос: Как складывается в сознании человека понятие бесконечности натуральных чисел?
«Мы часто просто не отдаем себе отчет в том, насколько сложную процедуру представляет счет. На первый взгляд, – пишет Леви Конант, – кажется совершенно немыслимым, чтобы какое-то человеческое существо могло быть лишено способности считать дальше двух. Однако на самом деле это вполне возможно: известно несколько языков, в которых вообще отсутствуют числительные.
Счёт – это достижение достаточно развитой цивилизации, и способность к счету не является врожденной ни для людей, ни для животных.
Тем более удивительно, что человек, а также некоторые птицы и насекомые обладают определенным «чувством числа», позволяющим им оценивать размер совокупности, содержащей не более четырех - пяти объектов, не прибегая к счету.
Лихтенберг давал своему соловью три червяка в день, каждый раз по одному, и обнаружил, что после третьего червяка соловей «понимал», что его больше кормить не будут. Способность замечать разницу между тремя и четырьмя, но не между четырьмя и пятью, проявляют вороны, а осы обладают необъяснимой способностью чувствовать, какое число личинок выделяют они на питание своему потомству.
Однако Умный Ганс – лошадь, умеющая считать – такой способностью не обладал.» (Д. Мичи, Р. Джонстон. Компьютер творец, Мир, М.: 1987, с. 10).

http://ru.mathematica-glava1.wikia.com/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0

ЧИСЛО
ср. количество, счетом, на вопрос: сколько? и самый знак, выражающий количество, цифра. Без числа; нетчисла, без счету, многое множество. Поставь приборы, по числу гостей. Числа римские, арабские илицерковные. Целое число, •противоп. дробь. Четное число, что делится на два без дроби. Круглым числом,средним. Число месяца, день, по счету, счетом, начиная с первого до 31-го. Татарове реша: дайте нам число,•стар. счет населенью, перепись народа. Не с числа говоришь, вят., пермяц. неверно, ошибочно, неправду.Число в число на тот месяц. Книга Чисел, четвертая из пяти книг Моисеевых: счисленье еврейского народа,станов и колен его, в пустыне. Занятия расписаны по числам (месяца). Все числом да счетом. В том числе, всем счету, в общем количестве. Числовой вывод, в числах, в цифрах, количественный. Числить что,исчислять, считать, рассчитывать,
| считать в числе чего, полагать в счет. Его числят, он числится в полку. Вычислить путь планеты.Дочислиться до вывода. Зачислить кого на службу. Исчислить нужды свои. Начислить на кого долг. Отчислятьчасть доходов в запас. Почислить дело решенным. Перечислить кого в другое ведомство. Он причислен кминистерству. Прочислил одну статью, пропустил. Расчислить, почем придется на брата. Арифметикисчисляют мудреные задачи. Численье, действие по гл. Численные величины, алг. означенные не буквами, ачислами. - люди, •стар. податные, окладные. Численник •стар. счетчик, переписчик народа русского, от татар.Говори численно, вят. порядком, правильно, законно, верно. Численность, число, счет чего, количество.Численность населенья все растет. Числитель муж. числящий, исчисляющий что.
| Числитель, верхня цифра дроби, означающая, сколько частей взято от целого, разделенного на столькочастей, сколько единиц в знаменателе. Числительный, к числителю относящийся; указывающий число чеголибо. - имя, грам. слово, означающее счет. Численка жен., тамб., тул. чисменка ниж., пермяц., олон.чисменница костр. в мотке ниток, и в основе ткацкой, зубок; три нитки; десять численок одна пасма; ниж.,костр. чисменка четыре нитки или два гнезда; вологод. 20 чисменок, по 3 оборота, одна пасма; местами 40чисменок пасма, в 120 ниток. Числовед или числослов, арифметик, счетчик. Числословная, числоведнаянаука, числоведенье, числословие, арифметика, математика, счетная наука.

Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863-1866.

ЧИСЛО. Понятие числа в математике может относиться к объектам различной природы: натуральным числам, используемым при счете (положительным целым числам 1, 2, 3 и т.д.), числам…
Энциклопедия Кругосвет
ЧИСЛО Понятие числа в математике может относиться к объектам различной природы: натуральным числам, используемым при счете (положительным целым числам 1, 2, 3 и т.д.), числам…
Энциклопедия Кольера
ЧИСЛО абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой-нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак…
Философская энциклопедия
"Число"
"Число", государственная налоговая система, введённая в 50-х гг. 13 в. на территориях, подвластных монгольским ханам. "Ч." сменило откупную систему налогов с завоёванных монголами земель.
БСЭ. — 1969—1978
"ЧИСЛО" — государственная налоговая система, введенная в 50-х гг. 13 в. на территориях, подвластных монгольским ханам. "Ч." сменило откупную систему налогов с завоеванных монголами земель.
Советская историческая энциклопедия. - 1973-1982
ЧИСЛО — система налогообложения, введенная в 50-х гг. 13 в. на землях, подвластных Монгольской империи (Китай, Средняя Азия, Персия, Северо-Восточная Русь, Рязанское и Муромское княжества, Новгород Великий и др.).
Энциклопедия "История отечества". - 1997
Число пи
ЧИСЛО ПИ ЧИСЛО p – отношение длины окружности к ее диаметру, – величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение, принято обозначать греческой буквой 241 (от «perijereia» – окружность, периферия).
Энциклопедия Кругосвет
ЧИСЛО ПИ Символ ПИ означает отношение длины окружности к ее диаметру. Впервые в этом смысле символ p был использован У. Джонсом в 1707, а Л. Эйлер, приняв это обозначение, ввел его в научный обиход.
Энциклопедия Кольера
Число пи — отношение длины окружности к длине диаметра, иррациональное число, которое, вопреки мнению рецензента, не может быть представлено дробью: ஐ "Пифагорейское число "пи", символизирующее женское начало (3,14159265358979…)…
Ашкинази Л.А. Мир Лема: словарь и путеводитель. - 2004
Число Маха
Наблюдается эффект Прандтля — Глоерта Число́ Ма́ха () — в механике сплошных сред...
ru.wikipedia.org
Число Маха. Один из критериев подобия в механике жидкости и газа. Представляет собой отношение скорости течения в данной точке газового потока к местной скорости распространения звука в движущейся среде…
Астрономический глоссарий "Астронет"
Маха число, М-число, основная характеристика течения газа, равная отношению скорости течения v к скорости звука а в той же точке потока: М = v /a. При движении тела в газе М. ч. равно отношению скорости тела к скорости звука в этой среде.
БСЭ. — 1969—1978
Число зверя
Число́ зве́ря — особое число, упоминаемое в Библии, под которым скрыто имя апокалиптического зверя; нумерологическое воплощение ставленника сатаны. Число зверя равно 666. Число 666 — очень часто используемый элемент сатанинской атрибутики...
ru.wikipedia.org
Число зверя архимандрит Ианнуарий (Ивлиев). Число зверя – таинственное число «666», упоминаемое в Откровении Иоанна Богослова (13,18). Данная цифра является библейским символом мамоны – царства земного изобилия, славы, могущества.
Православная энциклопедия "Азбука веры"
Звериное число апокалипсическое число 666, под которым скрыто имя апокалипсического зверя; под видом последнего изображен антихрист, причем в Откровении св.
Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - 1890-1907
Простое число
Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. При этом натуральные числа большие единицы, не являющиеся простыми, называются составными.
ru.wikipedia.org
Простое число, целое положительное число, большее, чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… Понятие П. ч. является основным при изучении делимости натуральных (целых положительных) чисел; именно…
БСЭ. — 1969—1978
ПРОСТОЕ ЧИСЛО - натуральное (целое положительное) число р>1, имеющее только два делителя 1 и p: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … Числа, имеющие не менее трех различных делителей, наз. составными.
Математическая энциклопедия. - 1977-1985
Октановое число
ОКТАНОВОЕ ЧИСЛО – мера детонационной стойкости бензина и моторных масел. Во всем мире производится и потребляется огромное количество бензина – как автомобильное топливо.
Энциклопедия Кругосвет
Окта́новое число́ — показатель, характеризующий детонационную стойкость топлива (способность топлива противостоять самовоспламенению при сжатии) для двигателей внутреннего сгорания.
ru.wikipedia.org
ОКТАНОВОЕ ЧИСЛО, показатель, характеризующий детонац. стойкость топлив для карбюраторных двигателей внутр. сгорания. Численно равно содержанию (в % по объему) изооктана в его смеси с н-гептаном…
Химическая энциклопедия
Грамматическое число
ЧИСЛО́ (грамматическое) — сопряженные морфол. категории существит., прилаг., местоим. и глагола, образуемые противопоставлением форм ед. и множ. Ч. (стол — столы, синий — синие, он — они, ходил — ходили).
Гуманитарный словарь. — 2002
Число́ (в грамматике) — грамматическая категория, выражающая количественную характеристику предмета. Разделение на единственное и множественное число, возможно, является пережитком той отдалённой эпохи, когда счёт редко применялся на практике...
ru.wikipedia.org
Число в языкознании, грамматическая категория, обозначающая в предложении количество участников действия (субъектов и объектов) с помощью морфологических средств.
БСЭ. — 1969—1978
Комплексные числа
Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство. Связанные определения Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части Пусть — комплексное число, где и — вещественные числа.
ru.wikipedia.org
КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО - число вида z=x+iy, где хи у- действительные числа, а - так наз. мнимая единица, т. е. число, квадрат к-рого равен -1 (в технической литературе применяется также обозначение); хназ. действительной, или вещественной, частью К. ч. z…
Математическая энциклопедия. - 1977-1985
КОМПЛЕКСНОЕ число - число вида x + iy, где х и y - действительные числа, а i - т. н. мнимая единица (число, квадрат которого равен ?1); х называется действительной частью, а y - мнимой частью комплексного числа.
Большой энциклопедический словарь
Русский язык
Числ/о́.
Морфемно-орфографический словарь. — 2002

http://wordhelp.ru/word/%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

ЧИСЛО — одно из основных понятий математики, в которой обычно выделяют натуральное, порядковое,количественное, рациональное, иррациональное, комплексное числа. Традиция философского осмыслениячисла была заложена в пифагорейской школе. Пифагорейцы, согласно свидетельству Аристотеля, полагаличисла “причиной и началом” вещей, а отношения чисел основой всех отношений в мире. Числа сообщаютмиру упорядоченность и делают его космосом. Обращение к числу, как к организующему принципу бытия,было воспринято Платоном, а позднее неоплатониками. Платон рассматривает числа при различенииподлинного и неподлинного бытия, т. е. того, что существует и мыслимо само по себе, и того, что существуетлишь благодаря другому и познается только в отношении. Первое есть Благо, а второе — все чувственновоспринимаемые вещи. Число занимает срединное положение между тем и другим. Оно дает меру иопределенность вещам, делая их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть ясно отличимы другот друга (подвергнуты пересчету) и, таким образом, мыслимы, а не только ощущаемы. Но само числозависимо от Блага и существует только благодаря ему Неоплатоники (прежде всего Ямвлих и Прокл)почитали числа столь высоко, что даже не называли их сущими. Устроение мира исходит от числа, но ненепосредственно. По мысли неоплатоников, числа посредством эма
нации передают организующее начало от Единого к Уму, который в свою очередь есть первое мыслимое ипервое сущее, сообщающее мыслимость и бытие всему остальному. Сами числа сверхсущны и, пребываявыше Ума, недоступны знанию. В неоплатонизме принято (возможно, заимствованное от пифагорейцев)мистическое отношение к числу. Прокл прямо отождествляет числа с богами. Но неоплатоники проводятстрогое различение между божественными числами (прямой эманацией Единого) и математическими числами(составленными из единиц). Последние суть несовершенные подобия первых.
Совершенно иной подход развивает Аристотель, который отказывает числу в столь высокомонтологическом статусе. Он приводит целый ряд аргументов, показывающих, по его мнению, что утверждениео самостоятельном существовании чисел приводит к многочисленным нелепостям. Числа, по Аристотелю,являются лишь особым аспектом в рассмотрении вещей. Арифметика, будучи (как и любая другая наука)наукой о реально сущих вещах, выделяет в этих вещах только одну сторону и рассматривает их с точкизрения их количества. Результатом такого рассмотрения и являются числа и их свойства.
В античности числом считались только натуральные числа. Евклид определял число, как “множество,составленное из единиц”. (Начала Евклида, кн. VII. М.—Л., 1949, с. 10). Пифагорейцы (по свидетельствуПрокла) сделали важное различение между числом и величиной, заметив, что все числа имеют общую меру иделимы до определенного предела. Величины же могут быть несоизмеримы (как, например, сторона идиагональ квадрата) и делимы до бесконечности. Наряду с различением между числом и величиной вантичности числа отделяли также от отношения. Поэтому дроби числом не считались. Евклид строит в книгахV—VI “Начал” особую теорию отношений, даже не упоминая о ее возможной связи с теорией чисел (книги VII—К), несмотря на то что предложения обеих теорий очень часто дублируют друг друга. Такое сходствоопераций, по-видимому, не имело большого значения для античной мысли, которая рассматривала число иотношение как две различные категории, по-разному описывающие сущность.
Последующее развитие математики вело к сглаживанию различий между тремя выделенными понятиями(число, величина, отношение). Для алгебраического подхода, ставшего в известный момент доминирующим вевропейской математике, наибольшую важность имел именно характер операций, а не свойства сущностей.Одинаковость операций, производимых над числами, величинами и отношениями, позволяет рассматриватьих как объекты одного рода с общим названием — число. Ньютон прямо писал, что под числами следуетпонимать не множество единиц, а отношение одной величины к другой, принятой за единицу.Операциональный подход сделал возможным введение в математику своего рода псевдосущностей —математических объектов, которые не всегда соотносятся с реальностью, но позволяют унифицироватьпроводимые операции. Так, еще в Средние века для унификации коммерческих расчетов были введеныотрицательные числа, с помощью которых стало легче учитывать долг или убыток. Точно так же дляунификации вычислительных процедур при решении алгебраических уравнений были введеныиррациональные, а затем мнимые числа, с которыми оказалось возможным оперировать точно так же, как сцелыми или рациональными.
Философия Нового времени рассматривает число как принцип познания и инструмент мысли. Яснее всегоэта позиция выражена у Канта, показавшего, что явление познано тогда, когда сконструировано согласноаприорным понятиям — формальным условиям опыта. Число — одно из таких условий. Оно задаетопределенный принцип или схему конструирования. Всякий объект потому является исчислимым иизмеряемым, что сконструирован сообразно схеме числа (или величины). Вследствие такого конструированиявсякое явление становится предметом математики или математического естествознания. Рассудок не можетмыслить природу иначе как подчиненной числовым закономерностям именно потому, что сам строит ее всоответствии с ними. Тем самым оказывается объяснена сама возможность применения математики визучении природы.
Расширение понятия числа ставит вопрос о его общем определении. Коль скоро все числа суть объектыодного рода, должна существовать возможность сведения одних к другим — прежде всего иррациональных кнатуральным. В этой связи необходимо найти строгое определение самого натурального числа.
Попытка определить действительное число была предпринята в кон. 19 в. Вейерштрассом, Кантором иДедекиндом. Три построенные ими определения, весьма различные между собой, одинаково подразумевалинеобходимость прибегнуть для определения иррационального числа к актуально бесконечной совокупностирациональных чисел. Возможность конструктивной определяющей процедуры была, следовательно,исключена для иррациональных чисел. Это обстоятельство можно интерпретировать и так, что натуральные ирациональные числа, с одной стороны, и иррациональные — с другой, являются объектами разной природы,принципиально несводимыми друг к другу Тем самым в известном смысле восстанавливаетсяпротивопоставление числа и величины, введенное в античной математике. Определение натурального числабыло предложено Пеано (1900). Однако разработанные в 19 в. определения были серьезно переосмыслены входе дискуссии по основаниям математики в начале 20 в. Важно заметить, что неудовлетворенностьпредложенными ранее определениями была связана не с математическими, а скорее с философскимипроблемами. Определения, данные Пеано, Дедекиндом или Кантором (которые используются в математике ипо сей день), нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природезнания. Следует выделить три таких философско-математических подхода, называемых логицизм,интуиционизм и формализм. Рассел, разработавший философскую базу логицизма, полагал, что истинностьматематических аксиом (в том числе аксиом Пеано) неочевидна. Она (как и истинность любого знания)обнаруживается сведением к наиболее простым и непосредственно устанавливаемым некоторой“суперинтуицией” (выражение Лакатоса) фактам. Выражением таких фактов Рассел счел аксиомы логики,которые он (совместно с Уайтхедом) положил в основание определения числа, основываясь при этом наработах Фреге. Одним из главных в логической теории Рассела и Уайтхеда является понятие класса,отождествляемого с понятием свойства, а также с введенной Фреге пропозициональной функцией.Натуральное число η есть класс всех классов, содержащих η элементов. Этот класс классов (или свойствоклассов) устанавливается через отношение взаимно-однозначного соответствия, что позволяет избежатькруга в определении. Дробь — отношение на
туральных чисел — это уже не класс, а отношение классов. Действительное число оказывается при этомклассом отношений классов (т. е. классом дробей). Основатель интуиционистского направления Брауэрисходил из прямо противоположной установки: логику он считал лишь абстракцией от математики, котораясама в себе содержит достаточные основания. Брауэр (вслед за Кронекером и Пуанкаре) рассматривалнатуральный ряд как базовую интуицию, лежащую в основании всякой мыслительной деятельности.Последнюю он представлял в виде последовательности различимых между собой актов, определяющихдискретные моменты времени. Внутреннее представление временного ряда, как основной формыинтеллектуальной активности, и есть представление натурального ряда чисел. Сведение к числовойпоследовательности является наиболее надежным обоснованием всякого математического понятия, т. к.представляет собой его редукцию к самым основам человеческого интеллекта. В частности, редукция понятиядействительного числа к натуральным достигается Брауэром введением свободно становящихсяпоследовательностей — последовательностей натуральных чисел, в которых каждый очередной элементнаходится не по правилу, а в результате свободного выбора. Глава формальной школы Гильберт виделобоснование математики в построении непротиворечивой аксиоматической базы, в рамках которой было бывозможно формальное обоснование любого математического понятия. В частности, он разработалаксиоматическую теорию действительных чисел, включающую как частный случай аксиоматику Пеано. Врамках этой теории представление о числе лишается всякой глубины и может быть сведено лишь кграфическому символу, подставляемому по определенным правилам в формулы теории. Такой подходкоррелятивен взгляду Кассирера на образование понятий в математике и естествознании, согласно которомучисла суть не имеющие никакого собственного определения элементы в системе отношений. “Логическаяопределенность числа “четыре” дана благодаря его нахождению в ряду идеальной — и потому вневременно-значащей совокупности отношений, благодаря его месту в математически определенной числовой системе” (Кассирер Э. Познание и действительность. СПб., 1912, с. 39). Для Гильберта, однако, было важно еще и то,что указанная совокупность отношений представляется в виде завершенной графической конструкции. Всеаксиомы и выводы из них должны быть представлены единому созерцанию. Такая непосредственнаяобозримость и завершенность и дает обоснованность математическим понятиям.
Г. Б. Гутнер
Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.

ЧИСЛО
- основное понятие математики, сложившееся в ходе длительногоисторич. развития. Возникновение и формирование ятого понятия происходило вместе с зарождением иразвитием математики. Практич. деятельность человека, с одной стороны, и внутренние потребностиматематики - с другой определили развитие понятия числа.
Потребность счета предметов привела к возникновению понятия натурального числа. Все народы,обладавшие письменностью, владели понятием натурального числа и пользовались той или иной системойсчисления. О ранних этапах возникновения и развития понятия Ч. можно судить лишь на основе косвенныхданных, к-рые доставляют языкознание и этнография. Первобытному человеку, видимо, не требовалосьумение считать, чтобы установить, полной или нет является какая-нибудь совокупность.
Впоследствии за определенным количеетвом предметов или явлений, с к-рыми люди часто встречались,закрепились особые наименования. Так, в языках нек-рых народностей имелись слова для обозначения такихобъектов, как лтри человека


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Натуральные числа

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.). Первоначальные представления о числе появились в эпоху каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много». Росло производство пищи, добавлялись объекты, которые требовалось учитывать в повседневной жизни, в связи с чем придумывались новые числа: «три», «четыре»…

Простые и составные числа

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей. Число 1 имеет только один делитель: само число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам. Первыми десятью простыми числами являются: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя. Произведение двух простых чисел может быть простым число, если одно из чисел равно 1, а другое является простым числом. Все простые числа, большие 2, нечетные.

Неразгаданная тайна простых чисел

Тайна простых чисел –это их распределение между остальными числами: произвольное, без какого-либо порядка. Простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно- в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Математики годами пытались найти этот порядок, но безуспешно. А отсутствие порядка означает, что простые числа нужно отыскивать одно за другим. Малые простые числа легко найти с помощью так называемого «Решета Эрастофена». В таблицу вписываем все числа до 100 ( 1 не включается: она не является простым числом). Вычеркиваем все четные числа, кроме 2. Затем вычеркиваем все числа, делящиеся на 3, кроме 3. Числа, делящиеся на 4, уже вычеркнуты, поэтому переходим к 5, затем к 7. Все оставшиеся числа (желтые клетки) – простые.



Простые числа называют кирпичами в построении математики, так как все остальные числа можно сформировать, перемножая простые. Например, 55 = 5 × 11 75 = 3 × 5 × 5 39 = 3 × 13 65 = 5 × 13 221 =13 × 17 73 939 133 – удивительное простое число. Можно удалить с его конца любое число цифр, и оставшееся число тоже будет простым. Это наибольшее известное число, обладающее таким свойством.

Удивительная закономерность

31 – простое 331 - простое 3331 - простое 33331- простое 333331 - простое 3333331 – простое Математики нашли несколько очень больших простых чисел. 23 августа 2008 года компьютеры отдела математики университета в Лос-Анджелесе (Калифорния) обнаружили гигантское 12 978 189-значное простое число 243 112 609 – 1, а несколько позже, 6 сентября 2008 года компьютер инженера-электрика Ханса Микаэла Элвенича из города Лангельфельда (Германия) открыл 11 185 272-значное простое число 237 156 667 - 1. Участники международного интернет-проекта, подключившие свои компьютеры к исследованию и поиску рекордных по величине простых чисел, получили крупное денежное вознаграждение от фонда Elektronik Frontiger Foundation (cайт www.mersenne.org). Числа, имеющие не менее трёх различных делителей, называются составными.

Сверхсоставные числа( Книга «Я познаю мир»)

Человеку свойственно выискивать самое-самое во всем, с чем он имеет дело, «Книга рекордов Гинесса» - тому подтверждение. А какое число самое большое? Такого числа нет, поскольку всякое число мы можем увеличить, прибавив к нему единичку. Поищем чемпионов среди натуральных чисел по числу делителей. Меньше всего различных делителей у числа 1, всего один - сама единичка. У всех простых чисел по два делителя – само число и единичка. А у какого натурального числа больше всего делителей? Ясно, что такого числа нет, так как умножив натуральное число, скажем, на два, мы увеличиваем количество его различных делителей. Сверхсоставным числом будем называть натуральное число, которое имеет больше делителей, чем каждый из больших его натуральных чисел. Какое сверхсоставное число будет наименьшим? Число 1 имеет ровно один делитель. Числа 2 и 3 имеют ровно по два делителя, так как они простые. Число 4 имеет три делителя. Число 6 имеет четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Казалось бы, что следующим должно идти число с пятью делителями. Наименьшее такое число 16, его делители 1, 2, 4, 8 и 16. Но его определило число 12, у которого шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Поэтому число 16 не стало сверхсоставным, а им стало число 12. Следующее число, являющееся сверхсоставным будет число 30 с восемью делителями. Потом, 36, 40, 54, 56 все с восемью делителями, 48 с десятью делителями, число 60 имеет двенадцать делителей и только число 64 имеет ровно семь делителей, а значит числа 36, 40, 48, 54, 56 и 60 являются свехсоставными числами. Взаимно простые числа
Натуральные числа, называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Числа-близнецы

Так называются простые числа, отличающиеся друг от друга на 2. В первом десятке простых чисел такими парами будут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 К числу нерешенных до сих пор задач относится проблема «близнецов». Неизвестно, оборвется ли когда-нибудь этот список или же он бесконечен, как и ряд простых чисел.

Дружественные числа

Пара натуральных чисел, каждое из которых равно сумме собственных делителей другого, то есть делителей, отличных от самого числа. Определение дружественных чисел есть уже в «Началах» Евклида, в трудах Платона. Древним грекам была известна одна пара таких чисел: 220 и 284, суммы их делителей соответственно равны: 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 =284 1+2+4+71+142= 220 Пифагор говорил: «Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Эти два числа замечательны тем, что сумма делителей каждого из них равна второму числу. Долго считалось, что следующую пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик Пьер Ферма (1601 -1665). Но в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256 – 1321) были найдены строки: «Числа 17296 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ». А задолго до Ибн аль- Банны другой арабский математик Ибн Кура (836 – 901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа. Многие авторы после Ибн Куры изучали дружественные числа, но ничего не открыли. Французский математик и философ Рене Декарт (1596 – 1650) в 1638 году нашел следующую пару дружественных чисел: 9363584 и 9437056. После Декарта получил новые дружественные числа Леонард Эйлер (1707 - 1783). Он открыл 59 пар дружественных чисел, среди которых были и нечетные числа. В настоящее время известно 1100 пар дружественных чисел, найденных либо хитроумными способами, либо перебором на компьютере. Любопытно, что на долю компьютера в этом списке досталось совсем немного чисел - большинство из них было открыто математиками «вручную». Однако неизвестно, существует ли пара чисел, одно из которых четное, а другое нечетное.

Хорошие числа

Натуральное число будем называть хорошим, если оно делится на сумму цифр самого числа. По определению хороших чисел все цифры от 1 до 9 являются хорошими числами. Самое меньшее двузначное число 10, так как оно делится на число, равное (1 + 0). Следующим числом является 12, т.к. 12 делится на 1 + 2, как уже мы доказали это же число является и сверхсоставным. 13 – не хорошее число, т. к. 13 не делится на (1+3); 14 - не хорошее число, т. к. 14 не делится на (1+ 4); 15 - не хорошее число, т. к. 15 не делится на (1+ 5); 16 - не хорошее число, т. к. 16 не делится на (1+ 6); 17 - не хорошее число, т. к. 17 не делится на (1+ 7); 18 - хорошее число, т.к. 18 делится на (1+ ; 19 - не хорошее число, т.к. 19 не делится на (1+ 9); Хорошие числа: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54 и т.д.. Как мы видим, все хорошие числа являются составными числами.

Совершенные числа

Совершенным числом называют натуральное число, которое равно сумме делителей этого числа, меньших самого числа. Пифагор (VI в до н.э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, 6 = 1 + 2 +3, где числа 1, 2 и 3 являются делителями числа 6. 28 = 1+ 2 + 4+7 +14, где числа 1, 2, 4, 7 и 14 делители числа 28. Следующие совершенные числа - 496 = 1+ 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, где числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 являются делителями числа 496 Пифагорейцы знали только первые три совершенных чисел. Четвертое совершенное число - 8128 стало известно в 1 веке нашей эры. Пятое - 33550336 было найдено в XV веке нашей эры. Совершенные числа тесно связаны с простыми числами Мерсена, то есть с числами вида 2m - 1. Еще Евклид установил, что число n = 2m-1 (2m - 1) является совершенным, если 2m - 1 простое число. К 1983 году было известно уже 27 совершенных чисел и все найденные совершенные числа являются четными числами. Первые 23 из этих чисел соответствуют значениям m : 2,3,5, 7.,7,13,17,19,31,61, 89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3271,4219,4423,9689,9941,11213,. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Треугольные числа

Пифагор (IY век до нашей эры) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами. Подсчитывая число кружков в треугольниках, квадратах, пятиугольниках они получили: - последовательность (а2) треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15, … получается таким образом: 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,…, - последовательность (b2) квадратных чисел 1, 4, 9, 16, 25, …. получается следующим образом: 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, 1+3+5+7+9,…,n2 - последовательность (c2) пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, … получается таким образом:1, 1+4, 1+4 +7, 1+4+7+10,4+7+10+13,…,

Числа-самородки

Возьмем числа 5, 10, 11, 13, 17, 25,…. Все числа, кроме 5, сформированы по единому правилу. К числу прибавляется сумма его цифр. Так, 5+5=10, 10+1=11, 11+2=13, 13+4=17,… Все начинается с числа 5. Число 5 оказалось как бы самородком. Однозначные самородки обнаруживаются сразу 1, 3, 5, 7 и 9. Из двухзначных наименьшее 20, затем 31,… Есть коллекция «самородков» и среди многозначных чисел. Например, 132, 143, 233, 929, 1952 и т.д.

Симметричные числа

Число называется симметричным, если существует прямая (или центр симметрии), переводящее это число в себя. Если рассмотреть все десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, то можно заметить: Цифра 8 имеет только вертикальную ось симметрии l и является симметричным числом относительно этой вертикальной оси (прямой). Цифра 0 имеет две оси симметрии, вертикальную и горизонтальную, и один центр симметрии (этот центр – точка пересечения вертикальной и горизонтальной осей симметрии).



Цифры 8 и 0 являются симметричными, значит, все симметричные числа будут составлены из этих цифр. Самым маленьким и единственным двузначным числом является число 88. Осью симметрии числа 88 является прямая m, переводящая первую восьмерку на вторую. Следующим симметричным числом является число 808, имеющее вертикальную ось симметрии p, вторым симметричным трехзначным числом является число 888.



Четырехзначные симметричные числа: 8008, 8888. Пятизначные симметричные числа: 80008, 80808, 88088, 88888.

Вывод

Числа окружают нас и всячески помогают нам в наших делах. Они – инструмент для счёта. Без чисел мы не знали бы, какой сегодня день и который час. В наши дни числа везде, и они нужны нам всегда. Трудно представить, во что превратился бы мир, если бы у нас не было чисел! Число – основное понятие математики, сложившееся в ходе длительного исторического развития. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Потребность счёта предметов привела к возникновению понятия натурального числа. Все народы, обладавшие письменностью, владели понятием натурального числа. Существует большое количество определений понятия «число». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Еще Фалес Милетский – родоначальник греческой стихийно-материалистической философии – учил, что «число есть система единиц». Древнегреческий математик Пифагор так говорил о числе: «Число –это закон и связь мира, царящая над богами и смертными», «Сущность вещей есть число, которое вносит во всё единство и гармонию», «Всё есть число». В своей «Общей арифметике» (1707 г) великий английский физик, механик, астроном и математик Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное – кратной частью единицы, иррациональное – число, не соизмеримое с единицей». Изучению удивительных особенностей натуральных чисел нет конца. Нашей группой был исследован ряд натуральных чисел, обладающих любопытными особенностями, рассмотрены простые и составные числа, сверхсоставные числа, совершенные числа и хорошие числа, числа-близнецы, дружественные числа, особенные числа, симметричные числа. В ходе изучения данной темы удалось углубленно изучить школьные темы, простые и составные числа. Мы познакомилась с особенными двузначными числами, у которых произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифры. К удивительным числам относятся симметричные числа. Изучая ряд натуральных чисел, можно найти много особенностей натуральных чисел. В целом поставленные задачи выполнены. Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяжении двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть ещё большее простое число. Наша гипотеза оказалась верна, указать самое большое простое число, составное, совершенное, симметричное невозможно. При изучении данной темы удалось углубленно изучить школьные темы, простые и составные числа. Ознакомиться со сверхсоставными числами, с особенными двузначными числами, то есть произведение двузначных чисел не меняет своей величины, если переставить их цифр. Новое к удивительным числам – эти хорошие и симметричные числа, числа-самородки. Здесь останавливается движение по натуральному ряду. Не слишком ли много внимания уделено начальным шагам в математику? Ответом на это мог бы послужить известный афоризм немецкого математика Леопольда Кронекера (1823-1891): "Бог создал натуральные числа, все остальное - дело рук человеческих".
Полезные ресурсы
 www.mersenne.org
 Босова Л.Л. Информатика: учебник 6 класса, глава «Материал для любознательных»
 Алгебра 9 класс под ред. Макарычева М.Н..Глейзер Г. И. «История математики в школе», М: Просвещение,1982 г.
Занимательная наука. Copyright, 2008 перевод на русский язык «ЗАО Издательский Дом Ридерз Дайджест»
 «Занимательная алгебра» Перельман, г. Чебоксары, 1994 г
Книга для учащихся «Я познаю мир»
 «Математическая энциклопедия»/Гл. ред. И.М. Виноградов.-М.:Советская энциклопедия
 Учебник Математика 6 класса под редакцией Н. Я. Виленкина

http://wiki.iteach.ru/index.php/%D0%92%D0%B8%D0%BA%D0%B8-%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D1%8B_%22%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8%22

Для некоторых будет неожиданностью узнать: числа возникают в математике
не в качестве аналогов каких-то реальных объектов, не как результаты счета и
измерения (хотя первоначальные идеи исходят, несомненно, оттуда). Числа связаны с
операциями. Они являются результатом предельно возможного расширения сферы
применимости операций. С операций мы и начнем.
Числовое множество
Путь имеем множество чисел, будем их обозначать a, b, c… Что такое эти «числа»,
пока неважно: просто некоторые элементы множества.

(далее см. https://yadi.sk/i/0PgEw7du3MBEBU )

Вопрос - стало ли понятнее, что такое число после вышеизложенных мудрых математических размышлений???