Что такое бесконечность?

**Белов** Пн Авг 21, 2017 12:53 am

Значения слова бесконечность.
Бесконечность
Бесконечность –— свойство Божественной сущности, заключающееся в независимости Бога от конечных условий тварного бытия. Бесконечность Божия иначе называется беспредельностью или всесовершенством.
Православная энциклопедия "Азбука веры"

БЕСКОНЕЧНОСТЬ (обозначается ∞) (infinity, symbol ∞) Исключительно большая величина. Однако, какой бы большой ни была величина, имеющая предел, всегда можно найти еще большее число.
Райзберг Б.А. Современный экономический словарь. – 1999

БЕСКОНЕЧНОСТЬ ДУРНАЯ
БЕСКОНЕЧНОСТЬ ДУРНАЯ - метафизическое понимание бесконечности мира, предполагающее допущение монотонного, без конца повторяющегося чередования одних и тех же конкретных свойств, процессов и законов движения в любых масштабах пространства и времени.
Философский энциклопедический словарь. - М., 1989

Бесконечность в философии
Бесконечность в философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б.
БСЭ. — 1969—1978

БЕСКОНЕЧНОЕ (бесконечность)
БЕСКОНЕЧНОЕ (бесконечность) - философское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле. Вопрос о бесконечном возникает на всем протяжении истории культуры в самых разнообразных формах.
Новая философская энциклопедия. – 2003

БЕСКОНЕЧНОЕ (бесконечность) - философское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле. Вопрос о бесконечном возникает на всем протяжении истории культуры в самых разнообразных формах.
Философская энциклопедия

БЕСКОНЕЧНОЕ — философская категория для характеристики бытия в его целостности и структурной расчлененности, его пространственных и временных, качественных и количественных свойств, видов и форм движения и развития.Поддерживая и аргументируя мысль о бесконечной протяженности материальной субстанции Декарта, Спиноза бесконечность субстанции основывал на абсолютном характере ее существования.
Новейший философский словарь / Сост. А.А. Грицанов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕ́ЧНОСТЬ общее название разл. реализаций идеи бесконечности в математике. Хотя между значениями понятия М. б. и др. значениями, в к-рых употребляется термин "бесконечность"…
Философская энциклопедия

Абстракция актуальной бесконечности
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ — основанный на акте творческого воображения способ образования абстрактных понятий, лежащий в основе формирования одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности — идеи актуальной бесконечности.
Прохоров Б.Б. Экология человека. – 2005

АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ — основанный на акте творческого воображения способ образования абстрактных понятий, лежащий в основе формирования одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности—идеи актуальной бесконечности.
Философская энциклопедия

АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ — одна из математических идеализации, связанная с определенной формой идеи бесконечности в математике - с идеей так наз. актуальной бесконечности.
Математическая энциклопедия. - 1977-1985

Русский язык
Бесконе́чность, -и.
Орфографический словарь. — 2004
Бес/коне́ч/н/ость/.
Морфемно-орфографический словарь. — 2002

http://wordhelp.ru/word/бесконечность

**Белов** Пн Авг 21, 2017 1:26 am

Философский словарь

Абстракция, не имеющая прототипов ни в объективном, ни в субъективном и пригодная только для решения относительно вспомогательных задач. Говорить о Б. имеет смысл только при задании той или иной метрики, а отсюда определение Б. только как отсутствие конца (предела) - фундаментально неверно. Прежде, чем делать заявления об отсутствии предела, необходимо найти соответствие с той или иной (естественной, искусственной) предметностью и задать способы измерения и соизмерения. Там, где нет размеров, не может быть речи и о бесконечности. Фактуально Б. теряет предельную общность и оказывается опредмеченной способом восприятия, попытками его расширения и ограничения.

Противоположность Б. - конечное имеет очень узкое мировоззренческое значение, поскольку вне конкретной рациональной выделенности приложений не имеет. Любая реальность, взятая вне ограненности рациональным, не-конечна и не-бесконечна, но если мы все-таки меняем те или иные предметы, структуры, формы (абстрагируясь от явных или скрытых комплементарностей), то число этих выделенностей всегда будет конечным.

Таким образом, Б. есть фантастическая идея неостанавливаемого оструктуривания (потенциальная Б.) или логически невозможного законченного незаканчиваемого оструктуривания (актуальная Б.).

Все математические бесконечности гносеологически вторичны, а будучи сведены к числовой Б., либо превращают любую Б. в дурную (подмена чисел знаками, соответствующих фактически небытию; предположение о возможности бесконечности воображаемых знаков), либо в теории трансфинитных чисел вызывают новые логические противоречия. Тем не менее, в математике вполне возможен подбор условий для формального сохранения представлений о Б. Эти возможности не следует абсолютизировать.

**Белов** Пн Авг 21, 2017 1:28 am

филос. понятие, отражающее безграничность и беспредельность развития материи, неисчерпаемость ее познания. Место, занимаемое понятием Б. в системе категорий диалектич. материализма, определяется связью Б. с такими осн. категориями, как материя, движение, пространство и время. Б. является наиболее общей количеств. характеристикой движущейся материи. Рассматриваемый с этой наиболее общей количеств. стороны, материальный мир выступает как бесконечный в пространстве, бесконечный во времени и безгранично разнообразный по своим свойствам, по тем конкретным формам, в к-рых движется материя. При этом, если Б. в пространстве и времени описывает мир как целое, то Б. свойств характеризует не только мир в целом, но и каждый отд. материальный объект. Логически Б. материального мира (во всех ее трех аспектах) может рассматриваться как следствие субстанциального характера материи. Поскольку материя признается единств. субстанцией, к-рая есть causa sui (сама себе причина), постольку ее развитие и движение не может быть ничем ограничено. Если материя "противостоит нам как нечто данное, как нечто несотворимое и неуничтожимое, то отсюда следует, что и движение несотворимо и неуничтожимо" (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1955, с. 45). Естеств. условием такого движения материи является Б. ее существования во времени. С другой стороны, будучи единств. субстанцией мира, материя может быть ограничена в своем протяжении лишь сама собой, что служит выражением ее Б. в пространстве. Очевидно, что движение и развитие материи, бесконечно существующей в бесконечном пространстве, осуществляется как неогранич. взаимодействие материальных тел между собой. Это бесконечное разнообразие и количество связей между объектами определяет и неисчерпаемость, Б. свойств как всего мира, так и любого материального объекта. Т.о., Б. материального мира включает в себя три аспекта и не может рассматриваться в отрыве от них, ибо сами эти три аспекта, три стороны Б. Вселенной, тесно связаны друг с другом. Понятие "Б. мира" играет большую роль в космологии. Вокруг проблемы Б. всегда велась и ведется борьба между идеализмом и материализмом. Уже Архит Тарентский (5 в. до н.э.) доказывал Б. мира в пространстве, трактуя Б. мира как возможность непрерывного до Б. отсчитывания расстояний в нем. Однако подобное представление о Б. мира приводит к неразрешимым противоречиям, получившим название космологических парадоксов. Так, из представления о бесконечной Вселенной, равномерно заполненной светящимися звездами, с необходимостью следует вывод, что небосвод должен быть ослепительно ярок (парадокс Ольберса). Притяжение бесконечно большой массы бесконечной Вселенной должно привести к бесконечно большим скоростям и ускорениям масс (парадокс Зелигера). И то, и другое резко противоречит наблюдениям. Попытки распространения на бесконечную Вселенную второго начала термодинамики приводили к выводу о начале истории Вселенной. К этому же выводу приходили при распространении на всю Вселенную объяснения явления красного смещения в спектрах далеких галактик их реальным "разбеганием". Эти космологич. парадоксы приводили ряд ученых к отказу от представления о Б. Вселенной в пространстве и времени, к попыткам "научного" обоснования конечности мира, что являлось по существу прямой поддержкой фидеизма. Космологич. парадоксы, по-видимому, являются результатом распространения на всю Вселенную закономерностей, установленных лишь для ее конечных областей. Специфичностью такого объекта исследования, как "Вселенная в целом", объясняется то, что мы не можем распространять на нее не только закономерности, установленные для конечных областей Вселенной, но даже установленные для сколь угодно больших (но ограниченных) областей ее. Однако Б. мира, как и его материальность, должна подтверждаться всем ходом истории философии и науки. Положительным вкладом в решение космологич. проблемы, а тем самым и в раскрытие конкретной природы физич. Б. мира, являются различные космологич. модели. По сути дела, космологич. модели представляют собой экстраполяцию закономерностей, справедливость к-рых подтверждена для известной нам области Вселенной, на предельно большие области Вселенной (в пределе – на всю бесконечную Вселенную). Возможность такой экстраполяции находит нек-рое обоснование в том, что такие физич. законы, как законы сохранения массы, заряда, энергии, импульса и т.п., к-рые по существу являются естественно-науч. выражением законов сохранения материи и движения, по-видимому, допустимо распространять без ограничений на Вселенную в целом. Тем не менее, необходимо постоянно иметь в виду ограниченность метода космологич. моделей, поскольку в этом случае рассматривается переход к Б. одной или нескольких характеристик космологич. модели, к-рые являются лишь приближенными отражениями бесконечного многообразия свойств реальной Вселенной. Первую космологич. модель рассмотрел Ньютон. Считая пространство бесконечным, он пришел к выводу, что для того, чтобы тяготеющая материя в бесконечном пространстве не собралась в одну гигантскую массу, она должна быть равномерно распределена в бесконечном пространстве. Однако эта модель приводит к фотометрич. и гравитационному парадоксам, устранить к-рые классич. космология оказалась не в состоянии. Существенным шагом вперед было создание Эйнштейном общей теории относительности (1918), связавшей геометрич. свойства пространства и времени (их метрику) с распределением тяготеющих масс. Попытки Эйнштейна получить решение ур-ний общей теории относительности для бесконечной Вселенной и тем самым изучить ее пространственно-временную структуру не увенчались успехом (Эйнштейн предполагал, что метрика не меняется со временем). На этом основании Эйнштейн и позднее Де Ситтер пришли к выводу о пространственной замкнутости мира: луч света, испущенный каким-нибудь источником, за конечное время вернется в достаточно близкую окрестность источника. Так родилось "доказательство конечности мира" общей теорией относительности. Сов. ученый А. А. Фридман (1922) показал, что из ур-ний Эйнштейна можно получить принципиально иные решения, а именно – решения, соответствующие бесконечному миру, если только отказаться от предположения Эйнштейна о неизменности метрики со временем. Модель мира, полученная Фридманом, должна расширяться. Это получило подтверждение в открытии (1927) красного смещения в спектрах далеких галактик. Последующие исследования показали, что геометрия известной нам части Вселенной в основном определяется средней плотностью вещества в ней. При плотности 10-28, 10-29 г/см 3 пространство мира бесконечно, а геометрия мира – евклидова. Большей плотности соответствует замкнутость пространства (геометрия Римана в узком смысле слова), а меньшей – разомкнутость (геометрия Лобачевского). В первом случае мир оказывается пространственно ограниченным, во втором – бесконечным. Однако точность определений средней плотности настолько низка, что возможны огромные ошибки. Поэтому вопрос о метрике известной нам области Вселенной остается открытым. Но даже если дальнейшие исследования приведут к представлению о замкнутости (в указанном выше смысле) нашей области мира (если значение средней плотности окажется достаточно высоким), это ни в какой мере не даст права судить о геометрии за пределами известной нам области Вселенной. Вывод о пространственной замкнутости известной нам области мира по существу будет означать подход к таким областям и масштабам, к-рые характеризуются иными свойствами и мерами, чем известные нам до сих пор виды материи и формы ее движения. Таким образом, совр. модели являются отражением важнейших черт известной нам области Вселенной – Метагалактики. Но их никак нельзя считать моделями Вселенной в целом. Другим полюсом вопроса о Б. материального мира в пространстве и времени является проблема "бесконечно" малых расстояний и промежутков времени. Указывая на Б. материи "вглубь", на неисчерпаемость свойств элементарных частиц, изучаемых совр. микрофизикой, диалектич. материализм связывает с этим и изменение пространственно-временных отношений в микромире, поскольку эти отношения определяются свойствами материальных объектов. В этой связи большой интерес представляет гипотеза о прерывности пространства и времени в микромире, о т.н. "квантовании" пространства и времени. В совр. квантовой теории поля, где частицы рассматриваются как точечные образования, целый ряд характеристик (энергия, масса, заряд) частиц получает бесконечные значения, что лишено физич. смысла и указывает на органич. порок теории. В наст. время путем ряда математич. операций удалось изолировать бесконечные выражения, но это лишь формальное решение трудностей, к-рые продолжают существовать в скрытом виде. Анализ трудностей с бесконечностями показывает, что они являются следствием предположения о существовании сколь угодно малых длин волн и сколь угодно малых расстояний. Вследствие этого наметилась тенденция к преодолению трудностей путем ввода в теорию нек-рой минимальной длины и нек-рого минимального промежутка времени, что должно отразить прерывный характер пространственно-временных свойств материи в микромире. Сам термин "квантование" пространства и времени не точен. Он вызывает представление о неких элементарных, весьма малых частях, "кирпичиках", из к-рых складываются пространство и время. На самом же деле реальный смысл гипотезы прерывности пространства и времени заключается в том, что в микромире существует определ. граница, за к-рой пространственно-временные свойства материальных объектов меняются коренным образом. Указанное изменение, по-видимому, состоит в том, что в микрообластях, лежащих ниже определ. предела, появляются новые мировые константы: минимальная протяженность материальных объектов и минимальная длительность процессов изменения этих объектов. Т.о., данные физики, как и данные космологии, подтверждают и обосновывают правильность диалектико-материалистич. понимания Б. материального мира в пространстве и времени, к-рое опирается на признание не только непрерывности, но и прерывности, структурности, качеств. многообразия пространственно-временных свойств движущейся материи. Выше вопрос о Б. рассматривался с онтологич. т. зр. Но можно подойти к этому вопросу с гносеологич. т. зр. и рассмотреть проблему познаваемости Б. Очевидно, что Б. не является объектом чувств. познания, она не дана непосредственно в опыте. Практически чувств. деятельность людей всецело протекает в мире конечных вещей и процессов. Человек непосредственно воспринимает и изучает лишь конечное. Знание бесконечного приходит как результат познания, поднявшегося на ступень абстракции. Возможность познания Б. обусловливается тем, что Б. находится не рядом с конечным, а в единстве с ним. Единство конечного и бесконечного есть основа для познания Б. Поэтому диалектич. материализм отрицает непознаваемость Б.: "Всякое истинное познание природы есть познание вечного, бесконечного, и поэтому оно по существу абсолютно" (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1955, с. 186). В поступат. движении мыслящего человечества разрешается противоречие между абс. характером человеч. мышления и осуществлением его в отдельных ограниченно мыслящих людях, между всегда огранич. объектом человеч. знания и Б. познаваемой природы. "Поэтому познание бесконечного окружено двоякого рода трудностями и может, по самой своей природе, совершаться только в виде некоторого бесконечного асимптотического прогресса. И этого для нас вполне достаточно, чтобы мы имели право сказать: бесконечное столь же познаваемо, сколь и непознаваемо, а это все, что нам нужно" (там же). Энгельс утверждал, что каждый шаг познания углубляет наше знание материальной действительности, но что никакое количество этих шагов не исчерпывает Б. Вопрос о познании Б. имеет еще и формально-логич. сторону. Сущность логики состоит в том, что она позволяет (во всяком случае формально) распространить действие закономерностей, найденных в конечном числе наблюдений над конечным числом объектов, на бесконечное число случаев данного типа, на бесконечные области. Распространение полученных результатов на Б. придает установленным закономерностям форму всеобщности и, тем самым, необходимости. Но здесь встает вопрос о допустимости экстраполяции на Б., о неформальном обосновании всеобщности и необходимости суждений, выведенных из опыта. Вопрос этот тем более важен, что именно такие суждения составляют осн. содержание науки. Впервые эта проблема была поставлена Кантом. Но решить ее Кант не смог. Его строго формалистич. установки в конце концов привели к отрицанию всеобщности и необходимости суждений, полученных из опыта; экстраполяция на Б. была объявлена незаконной. Совр. бурж. философия позитивистского направления отказывается вообще от признания всеобщности и необходимости каких бы то ни было суждений, полагая, что распространение их действия на бесконечное число случаев не может быть логически оправдано и является произвольным актом. И действительно, вопрос не может быть разрешен в рамках любой формально-логич. структуры. Диалектич. материализм утверждает, что проблема обоснования всеобщности и необходимости суждений не является формально-логич. проблемой. Всеобщность и необходимость этих суждений обосновывается практикой человечества. Философы, логики, математики, физики, астрономы на протяжении тысячелетий постоянно обращались к исследованию Б. Материализм и идеализм, диалектика и метафизика, уверенность в познаваемости бесконечного мира и агностицизм постоянно сталкивались и вели борьбу по поводу различного понимания Б. В античной философии в соответствии с общим, слабо дифференцированным характером науки представления о Б. сплетались в один сложный узел, из к-рого трудно выделить собственно филос. нить рассуждений. В апейроне Анаксимандра Б. – осн. характеристика первоматерии – выступает как нечто в высшей степени неопределенное, бескачественное и поэтому безграничное и беспредельное. Эта нечеткость, расплывчатость в понимании Б. постепенно преодолевалась наукой; уже Платон и Аристотель осуществили логич. исследование Б. Истоки платоновской концепции бесконечного ведут к пифагорейцам. По Платону, "сросшиеся воедино" предел и беспредельность являются началами, заключенными в "вечно сущем" ("Филеб"). Бесконечное есть то, что может неограниченно увеличиваться или уменьшаться. Природа бесконечного заключается в том, что оно есть "непрестанное движение вперед". В этом качестве беспредельное не может быть познано, ибо бесконечное множество вещей и их признаков делает неопределенным наше мышление о них. Задача познания заключается не в том, чтобы фиксировать мысль на пределе или беспредельном, а в том, чтобы найти "промежуточные члены", "количественную определенность" свойств и отношений. В рассуждениях Платона Б. выступает как возможность неогранич. увеличения или уменьшения. Однако признание непостижимости такого бесконечного ведет к поискам определ. соотношений, к-рые могли бы связать предел и беспредельное. Если у Платона анализ Б. был вспомогат. средством в его этич. исследованиях и опирался на идеалистич. характер всей системы, то у Аристотеля проблема Б. находилась в тесной связи с рассмотрением причинности, пространства, времени, движения ("Метафизика", XI 10; "Физика", III 4– Cool

. Не бесконечное как символ вечного царства идей интересовало Аристотеля, а бесконечное в реальном мире. В таком подходе к проблеме сказывались материалистич. тенденции в философии Аристотеля. Аристотель так формулировал предмет исследования: "Существует ли бесконечное и что оно такое?". И отвечал: "В известном отношении бесконечное существует, а в другом отношении – нет. Бесконечное не существует актуально, как бесконечное тело или величина, воспринимаемые чувствами; бесконечное не является самостоят. началом бытия, как утверждали пифагорейцы и Платон; бесконечное не может существовать отдельно от чувств. предметов. Бесконечное существует потенциально; бесконечное есть движение – оно "становится всегда иным и иным". Аристотель отвергал существование бесконечного ряда причин, целей, источников движения. Аристотель сделал попытку классификации видов бесконечного, к-рая состояла в указании на семь различных случаев употребления слова "Б." в греч. языке. Аристотель и Платон видели характерную и осн. черту Б. в возможности неогранич. количеств. изменений (потенциальная бесконечность) и отрицали наличность бесконечного (актуальная Б.). В средневековой философии можно выделить две линии. С одной стороны, чисто теологич. работы, ограничивающиеся рассмотрением Б. как атрибута бога; с другой – схоластич. споры вокруг вопроса о бесконечной делимости. И в том и в другом случае искусное жонглирование понятиями и утонченный логич. формализм по существу поглощали самое содержание вопроса. Но уже в 15 в. начался процесс ломки схоластики. На первых порах этот процесс выражался в переходе на позиции пантеизма. Слияние бесконечного божеств. существа с бесконечной природой – гл. черта в философии Николая Кузанского, к-рый считал своей осн. задачей выяснение природы "максимальности" ("Об ученом незнании", 1410, изд. [1505], см. рус. пер. 1937). Максимум есть нечто такое, больше чего ничего не может быть; максимум тождествен единству и бытию. Максимум есть бесконечная истина, к-рая нами "постигается непостигаемо". Бесконечное не может быть познано, ибо всякое познание заключается в установлении отношений, пропорций, а бесконечное ускользает от всяких пропорций: finito od infinitum nulla est proportia. Хотя все изложение у Николая Кузанского в основе своей теологично, но бог играет роль фона, а не осн. стержня умозаключений. Обращает на себя внимание диалектика бесконечного, развиваемая Николаем Кузанским. В Б. совпадают максимум и минимум, сливаются противоположности; бесконечная прямая линия совпадает с бесконечной окружностью, бесконечным треугольником и т.д. Эти диалектич. идеи были восприняты и развиты Джордано Бруно уже на более далекой от теологии основе. Характерно, что Бруно, как это вообще было свойственно материалистам, исследовал не просто понятие Б., а бесконечную Вселенную ("О причине, начале и едином", 1584, см. рус. пер. 1934). Это придало его работе антицерк. направленность. Приняв Б. Вселенной за исходный пункт, Бруно анализировал свойства такой Вселенной и считал ее единой (т.к. бесконечное не имеет частей), неподвижной (т.к. бесконечному некуда двигаться), вечной (т.к. бесконечное не рождается и не умирает). Бытие бесконечной Вселенной заключает в себе все противоречия "в единстве и согласии". В Б. нет различия части и целого, поэтому в вечности час равен дню, день – году и, следовательно, бесконечных часов не больше, чем бесконечных веков. Наконец, в Б. возможность не отличается от действительности. Диалектика бесконечного у Бруно (как и у Николая Кузанского) зачастую носит печать схоластики. Бруно особенно подчеркивал единство, простоту, неподвижность Вселенной, не отмечая того, что в такой же степени бесконечной Вселенной присущи многообразие, сложность, движение. В истории философии нового времени анализ понятия Б. начинается отказом Декарта вступать в споры по поводу бесконечного. Мотивируется это тем ("Начала философии", 1644, см. рус. пер. 1950), что конечный разум человека не в состоянии постичь бесконечное могущество бога. Поэтому там, где мы не видим границ, следует говорить о неопределенном (indefini), а не о бесконечном (infini), к-рое присуще только богу. Формально сохранив лояльность по отношению к теологии, Декарт, тем не менее, определенно высказал мысль о Б. протяженной материальной субстанции, т. е. о Б. материального мира. Это мнение было поддержано и аргументировано Спинозой. Б. субстанции Спиноза основывал на абс. характере ее существования. Бесконечное есть атрибут абсолютного. Ни время, ни число, ни мера не могут быть бесконечными, т.к. они лишь вспомогат. средства воображения; бесконечны протяженность и длительность. В своей классификации бесконечного (Письмо к Мейеру 20 апреля 1663) Спиноза дал определение понятия Б., близкое к развиваемому впоследствии Гегелем. Однако Спиноза не выделял это понимание Б. как истинное. Для него не менее истинной являлась и Б. незавершенного ряда. Осн. мысль Спинозы заключалась в том, что проблема Б. может быть решена лишь тогда, когда станут проводить четкую грань между различными видами бесконечного, ибо свойства этих видов различны. Большое внимание проблеме Б. было уделено в англ. материалистич. философии 17–18 вв. Гоббс отрицал существование бесконечных чисел. Опираясь на свое понимание пространства как "мнимого пространства", он отверг картезианское представление о бесконечной протяженности материальной субстанции ("Основы философии", ч. 1–3, 1642–58, см. рус. пер. 1926). Такую же позицию занял и Локк. Материальность не тождественна протяжению. Вселенная как совокупность материальных тел конечна и погружена в бесконечное пустое пространство (vacuum). Понятия конечного и бесконечного рассматривались Локком как модусы количества ("Опыт о человеческом разуме", 1690, см. рус. пер. 1898). Б. может быть приписана лишь пространству, длительности и числу. Человек воспринимает только конечные вещи, а идея Б. создается в душе из способности неограниченного повторения к.-н. количества. Бесконечное означает движение за любые границы. Крайние границы пространства, длительности и числа находятся за "пределами понимания души". С резкой критикой Локка выступил Толанд. Основываясь на признании самодвижения, внутр. активности материи, он отрицал существование пустого пространства и сводил вопрос о Б. пространства к вопросу о Б. материи. Материя же бесконечна, т.к. "невозможно вообразить" ее границы ("Письма к Серене", 1704, см. рус. пер. 1927). Рассматривая свойства бесконечной материи, Толанд во многом повторял идеи Бруно, но делал упор не на неподвижность бесконечного, а на бесконечное многообразие и вечность развития и движения материи. Как и все его предшественники, Толанд отрицал существование актуальных бесконечно больших чисел. Он указывал на необходимость различать реально бесконечное от того, что может быть лишь продолжаемо без конца. С идеалистич. позиций локковская концепция Б. была подвергнута критике Лейбницем, к-рый утверждал ("Новые опыты о человеческом разуме", 1700–05, изд. 1756, см. рус. пер. 1936), что источник идеи Б. лежит внутри человека и имеет божеств. природу. Истинная Б. заключается в абсолютном и выражается в необходимости бытия божия. Франц. материалисты 18 в. считали бесспорным положение о Б. природы в пространстве и времени, но понимали ее метафизически – как бесконечное повторение одних и тех же объектов в "пустом", повсюду одинаковом пространстве и времени. Не вышел за пределы метафизики и Кант. Для него всякая Б. трансцендентальна, т.е. она никогда не может рассматриваться как данная; она означает только то, что последоват. синтез единиц при измерении величины никогда не может быть завершен ("Критика чистого разума", 1781, см. рус. пер. 1915). То, что безусловное, бесконечное берется как данное, как предмет и ставится в ряд обусловленных и конечных явлений, и является, по Канту, причиной антиномий. То обстоятельство, что линия может быть продолжена до Б. или что ряд изменений может продолжаться вечно, предполагает, что время и пространство зависят только от созерцания, поскольку оно само по себе ничем не ограничено. Так, Б. ряда основывается на априорности пространственно-временных форм. Гегель справедливо упрекал Канта в субъективизме за такое понимание бесконечного прогресса. Но Кант только логически завершил взгляды своих предшественников, к-рые видели основание Б. в способности рассудка к неогранич. повторению любых величин. Кант сделал следующий шаг, "спрятав в человеческую голову" не только Б., но и самые пространство и время. Гегелевское понимание Б. (с его положит. и отрицат. сторонами) представляет закономерное следствие предшествующих филос. идей. Осн. содержание этих идей сводилось к следующему: Б. есть отрицание конечного, абс. противоположность конечному; бесконечное не дано актуально, оно есть процесс, движение, непрерывное возрастание или убывание к.-л. величины; бесконечное есть простое повторение одних и тех же вещей и процессов, оно непознаваемо и не может быть схвачено конечным рассудком. Заслугой Гегеля является то, что он, убежденный в могуществе человеч. разума, обрушился на эти метафизич. и агностич. взгляды. Гегель показал, что Б. может быть понята только в единстве с конечным, что любое конечное содержит в себе бесконечное, что бесконечное осуществляется в конечном. Диалектич. единство конечного и Б. служит тем мостом, по к-рому человечество идет от познания конечного к познанию Б. Гегель высмеивал романтич. преклонение и метафизич. ужас перед Б. С точки зрения Гегеля, конечное не является истинно сущим. Хотя со стороны своего бытия конечное реально, но истина конечного – идеальность (в этом Гегель видел осн. положение своей философии). Поэтому конечное есть лишь отблеск бесконечной идеи, преходящий момент в абсолюте. Бесконечное, абсолютное (бог) превалирует над конечным. Не может быть признана правильной и гегелевская конструкция "истинной" Б. Цель построения "истинной" Б. – получить наличную, данную, посюстороннюю Б. и тем самым опровергнуть мнение о непостижимости Б. Но эта цель была реализована ценой отказа от бесконечного количественного (или качественного) прогресса, рассматриваемого Гегелем как "дурная" Б. Гегель не жалел красок, чтобы обрисовать все убожество такого понимания Б.: "скучная, поверхностная смена", "бессмысленное повторение", "скучное чередование", "повторяющаяся одинаковость" и т.п. Такая Б. не может быть объектом филос. анализа, она непостижима, ее нет в наличии, она не выходит за пределы долженствования и остается в сфере конечного. Иной характер у Гегеля носит "истинная" Б. – категория, лежащая в "основании философии". Прежде всего "истинная" Б. есть отрицание бесконечного прогресса. Она конкретна и всецело налична. Эта конкретность и наличность дается уже в определении, т.к. "истинно" бесконечное состоит в том, что"... оно в своем другом пребывает у самого себя или, выражая то же самое как процесс, состоит в том, что оно в своем другом приходит к самому себе" (Гегель, Соч., т. 1, М.–Л., 1929, с. 161). Замкнутость в самом себе, целостность, завершенность, самодовлеющий характер – таковы осн. черты "истинной" Б. Образом "дурной" Б. является прямая линия, неограниченно продолжающаяся в обе стороны, "...истинная же бесконечность, обратно в себя загибающаяся, имеет своим образом к р у г , достигшую себя линию, которая замкнута и всецело налична..." (Гегель, Соч., т. 5, М., 1937, с. 151–52). Отбрасывая как метафизич. понятие "бесконечный прогресс", "Б. ряда", Гегель не видел, что именно к этим формам сводится в конце концов (но не исчерпывается ими) реальная Б. Энгельс подчеркивал, что бесконечный прогресс не есть просто повторение, а есть развитие, движение вперед или назад, т. е. "необходимая форма движения" ("Диалектика природы", 1955, с. 189). Во всех примерах, к-рыми Гегель и его последователи иллюстрировали понятие "истинной" Б., содержится неявно "дурная" Б. И это понятно, т.к. в противном случае "истинная" Б. потеряла бы свой бесконечный характер. Любой закон природы рассматривался Гегелем как форма выражения "истинной" (качественной) Б., ибо закон есть форма всеобщности, внутр. завершенности, т. е. форма Б. (см. и у Энгельса в "Диалектике природы", 1955, с. 185–86). Однако существо вопроса заключается в том, что закон выступает как форма всеобщности и, следовательно, Б. именно потому, что за ним стоит бесконечный, незавершенный ряд явлений и процессов, протекающих по этому закону. Рациональное содержание учения Гегеля об "истинной" Б. состоит в подчеркивании того, что бесконечный прогресс, бесконечный ряд может быть (правда, не всегда) описан, резюмирован или задан вполне конечным выражением. За пределами этого содержания "истинная" Б. вовсе не является бесконечной. Введением "истинной" Б. Гегель пытался преодолеть противоречивый характер бесконечного и избавиться от затруднений, связанных с анализом Б. Такая попытка не могла увенчаться успехом. Реальная Б. материального мира не может быть правильно понята и отражена в понятиях, если отказаться от бесконечного процесса непрекращающихся изменений и стать на т. зр. "истинной" Б. в ее гегелевской интерпретации. Понятие Б. в диалектич. материализме отличается от "дурной" Б. тем, что оно подразумевает не простое (не имеющее границ) повторение одного и того же, а, напротив, неограниченное многообразие объектов, форм, связей, характеризуемых как бесконечные. От гегелевской "истинной" Б. оно отличается тем, что не отрицает реальности бесконечных процессов, не пытается избавиться от своей внутр. противоречивости. Несмотря на свои отрицат. стороны, гегелевский анализ Б. – лучшее, что дала домарксистская и немарксистская философия по этому вопросу. В буржуазной философии 19 и 20 вв. понятие Б. все более утрачивает свое объективное содержание. Проблема Б. переносится в психологическую плоскость, в сферу сознания, понимаемого в субъективно-идеалистическом смысле. Диалектич. материализм исходит прежде всего из объективного реального характера Б., поскольку в ней объединяются нек-рые общие свойства материального мира, причем различные логически выделяемые виды Б. отражают отд. стороны Б. материального мира. Б. материи во времени может быть охарактеризована как потенциальная Б., т.к. это незавершенный, протекающий ряд изменений. Напротив, Б. мира в пространстве может рассматриваться как актуальная Б., т.к. она наличествует как данная. С другой стороны, количеств. Б., Б. числа материальных объектов, тесно связана с их качеств. Б., с неограниченностью различных форм и свойств материи. Важнейшей чертой Б. является ее противоречивость. Энгельс указывал: "Бесконечность е с т ь противоречие, и она полна противоречий. Противоречием является уже то, что бесконечность слагается из одних только конечных величин, а между тем это именно так ... Именно п о т о м у, что бесконечность есть противоречие, она представляет собой бесконечный, без конца развертывающийся во времени и пространстве процесс. Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности" ("Анти-Дюринг", 1957, с. 49). Противоречивый характер Б., отражающий единство и борьбу противоположных начал – конечного и бесконечного, – лежит в основе диалектико-материалистич. понимания Б. Бесконечное отрицает конечное, но и сохраняет его как свой базис, как основу своего развертывания. Бесконечное абсолютно, т.к. оно по природе своей всеобще и неисчерпаемо; но оно и относительно, т.к. обусловлено конечным. Конечное относительно, ибо оно неустойчиво, преходяще, временно; но оно и абсолютно, ибо все состоит из конечных явлений и процессов. Б. не есть только сумма своих конечных частей. Б. – это совершенно новое качество, не сводимое к конечным характеристикам. Любая вещь, любой процесс конечны, поскольку они качественно отделены от др. вещей и процессов и поскольку они локализованы во времени и пространстве, но они и бесконечны, поскольку бесконечны их свойства и поскольку бесконечны их связи с окружающим миром. Понятие Б. тесно связано и с др. категориями материалистич. диалектики, что является следствием единства материального мира. Лит.: Энгельс Ф., Диалектика природы, М., 1955; его же, Анти-Дюринг, М., 1957; Мелюхин С. Т., Проблема конечного и бесконечного, М., 1958; Кармин А. С., О диалектико-материалистичесиом понимании бесконечности, "Вестн. Ленингр. ун-та". Сер. экон., филос. и права, вып. 1, 1959, No 5; Свидерский В. И., О диалектико-материалистическом понимании противоречивости бесконечности, там же, 1956, No 5, вып. 1; его же, Пространство и время, М., 1958; Hаан Г. И., О современном состоянии космологической науки, в сб.: Вопросы космогонии, т. 6, М., 1958; Lemaitre G., L´hypoth?se de l´atome primitif, Neuch?tel, 1946; Whittaker E. T., The beginning and the end of the world, L., [1943]; Schatzman E., Sur la dialectique du fini et de l´infini et la cosmologie, "Pens?e", 1954, No 57. А. Бовин. Москва.

Источник: Философская Энциклопедия. В 5-х т.

**Белов** Пн Авг 21, 2017 1:39 am

**Белов** Пн Авг 21, 2017 1:42 am

[бесконечное]. 1. Одно из [url=http://www.pravenc.ru/text/%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2 %D0%91%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%B8%D1%85.html]свойств Божиих[/url]; 2. Фундаментальная категория человеческого мышления; философское и богословское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле. Вопрос о Б. возникает на всем протяжении истории культуры в самых разнообразных формах, напр. проблема Б. (или конечности) мирового пространства, времени, количества вещей в мире. Сюда же относится и вопрос о возможности бесконечного деления континуума, выделении в нем точек. Наконец, более изощренной логической техники требует обсуждение вопроса о существовании разных «типов» бесконечного. Вопросы о логической и онтологической природе Б., о ее статусе в Боге и в тварном мире получали разные решения и обоснования в философии, богословии и истории науки.
Потенциальная и актуальная Б.
Рус. слово «бесконечное» имеет значение отрицания: бес-конечное есть не конечное (аналогично и лат. infinitum). Это отрицание понимается двояко: или как частичное - то, что может превзойти любое конечное, или как полное - то, что актуально превосходит любое конечное. Уже в схоластике XIII-XIV вв. (Вильям Шервуд, Вильям Хейтесбери) это различие осознается и обозначается соответственно как «синкатегорематическая» и «категорематическая» Б. Из схоластики же ([url=http://www.pravenc.ru/text/%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B9 %D0%B8%D0%B7 %D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8.html]Григорий из Римини[/url]) идет и др. наименование этих подходов к бесконечному: «потенциальная» и «актуальная» Б.
Бесконечное в истории философии и богословии
Античная мысль в основном рассматривает бесконечное (греч. τὸ ἄπειρον) как неоформленное, как неставшее и, следов., несовершенное. В пифагорейском списке противоположностей бесконечное стоит на стороне дурного (злого). Бытие в античной мысли тесно связано с категорией меры и предела; бесконечное в этом отношении выступает как бес-предельное, без-граничное, почти не существующее (греч. μὴ ὄν). Бесконечное есть нечто близкое к хаосу, а иногда и отождествляется с ним. У Платона и Аристотеля бесконечное сближается с категорией материи как бесформенным и в силу этого как бы несуществующим под-лежащим субстратом вещей. Бытие вещи доставляется идеей (или формой), к-рая о-граничивает бесконечное, осуществляя «вписывание» вещи в упорядоченное единство космоса. Более позитивно использует категорию бесконечного Анаксимандр, главным началом его космологии является апейрон (греч. ἄπειρον букв.- без-граничное), из к-рого возникают и в к-рый возвращаются все вещи. У Левкиппа и Демокрита бесконечное пустое пространство содержит бесконечное количество атомов, образующих бесконечное количество миров. Однако господствующее отношение к Б. в античности все же иное. В окончательном виде оно было выражено Аристотелем. Для Аристотеля Б. существует только потенциально как возможность безграничного изменения (Phys. III 6. 207а 22-27). Не существует ни актуально бесконечного тела (конечен сам космос), ни бесконечной последовательности причин (в противном случае, по Аристотелю, отсутствовала бы первоначальная истинная причина движения). Актуально бесконечное не дано ни чувствам, ни уму. Потенциальная Б. реализуется у Аристотеля для чисел в направлении возрастания - натуральный ряд, а для величин в направлении убывания - потенциально бесконечное деление данного отрезка. Непосредственно зависящая от этого круга идей античная математика всегда мыслит свои «прямые» и «плоскости» как конечные, хотя и произвольно большие отрезки или куски плоскостей (в отличие от новоевроп. математики, в к-рой уже с XVII в. начинают рассматривать бесконечные прямые, напр. в проективной геометрии). В неоплатонизмепостепенно, не без существенного влияния вост. мистики, пробивает себе дорогу новое положительное понимание бесконечного. Переходной ступенью служат здесь философские взгляды [url=http://www.pravenc.ru/text/%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D0%B0 %D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B8%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE.html]Филона Александрийского[/url], давшего эллинистическую транскрипцию библейского понимания Божества.
Решительный перелом в отношении понятия бесконечного в европ. культуре происходит с утверждением христианства. С одной стороны, актуальная Б. является существенной характеристикой христ. Бога, бесконечно могущественного, бесконечно мудрого, бесконечно благого. Для христ. мысли, т. о., появляется бесконечный «предмет», к-рый можно познавать и о к-ром можно размышлять. С др. стороны, это «освоение бесконечного Бога мыслью» не может не иметь своих границ. Поэтому христ. богопознание разделяется на апофатический и катафатический методы.
Однако и само представление об актуальной Б. Бога в раннем христ. богословии имело альтернативу, напр. в учении Оригена, у к-рого явственна зависимость от греч. философской мысли. По Оригену, Бог не может быть бесконечным, т. к. бесконечное не имеет формы и немыслимо; высшее совершенство Бога и его конечность необходимо связаны (De princip. II 9. 1). Но уже блж. Августин задает вопрос: неужели Бог не может мыслить всех чисел (натуральный ряд) разом? Конечность Бога несовместима, по Августину, с Божественным достоинством (De civ. Dei. XII 18). Поскольку человек, как образ Божий, несет на себе «отпечаток» совершенств Творца, закономерным было появление представления о бесконечном и в тварном мире. У [url=http://www.pravenc.ru/text/%D0%90%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B0 %D0%92%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE.html]Альберта Великого[/url] и [url=http://www.pravenc.ru/text/%D0%A4%D0%BE%D0%BC%D1%8B %D0%90%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE.html]Фомы Аквинского[/url] еще полностью господствуют аристотелевские запреты: в мире не может существовать актуальная Б. Даже точки континуума существуют в нем только потенциально. Признание присутствия актуальной Б. в творении исторически было тесно связано с обсуждением природы человеческой души. Если душа человека несет в себе образ Божий, то в какой степени Божественные совершенства отразились в ней? [url=http://www.pravenc.ru/text/%D0%98%D0%BE%D0%B0%D0%BD%D0%BD %D0%94%D1%83%D0%BD%D1%81 %D0%A1%D0%BA%D0%BE%D1%82.html]Иоанн Дунс Скот[/url] настаивал, что человеческая душа по своей природе превосходит ту конечность, к-рая характерна для всего тварного: ведь душа способна воспринимать Божественную благодать. Значит, ей дарована нек-рая, адекватная «предмету» восприятия, бесконечная воспринимающая способность (Ordinatio. I. D 2. P. 1, q. 2, n. 130). Еще дальше идут мистики. Майстер Экхарт учит, что в глубине человеческой души имеется нетварная Божественная «искорка». Как соприродная Богу, эта «искорка», естественно, актуально бесконечна. Подобное понимание образа Божия прокладывало дорогу пантеизму и не раз осуждалось католич. Церковью. Кард. [url=http://www.pravenc.ru/text/%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B9 %D0%9A%D1%83%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9.html]Николай Кузанский[/url] развивает свою концепцию о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума. В этой концепции бесконечное, абсолютный максимум, становится «адекватной мерой» всех конечных вещей (Об ученом незнании. С. 109). Аналогично и в рамках пантеизма Б. Спинозы оказывается, что omnis determinatio est negatio (лат.- каждое определение есть отрицание): не через предел, не через ограничение бесформенной материи получают вещи свое бытие, а именно от подлежащей бесконечной Божественной субстанции, внутри к-рой самоопределение выступает как частичная негация (Этика. 1999. С. 253-273, 325).
Спекулятивная теология Николая Кузанского порождает представления и о Б. вселенной. Бог является «основанием» мира: то, что содержится в Боге «в свернутом виде», мир «разворачивает» в пространстве и времени. Пространственная протяженность мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они «выражают» Б. Бога. Хотя мир не является бесконечным в том же смысле, как бесконечен Бог,- мир не есть все, что может быть,- тем не менее его привативная Б. (не infinitum, а indeterminatum) включает в себя Б. пространства и времени (Об ученом незнании. С. 99, 120). Пересмотр Н. Коперником геоцентрической системы и полемический талант Дж. Бруно помогают этому тезису Николая Кузанского стать популярным к XVIII в.
В целом в понимании бесконечного зап. богословской традиции не удается избежать ни аристотелевского финитизма, ни «энтузиазма» мистиков: бесконечное или всегда лишь только «по ту сторону» человеческого разума, или самонадеянно объявляется «достигнутым» пантеистическими мистиками.
Перспектива др. интерпретации бесконечного и его присутствия в творении раскрывается в правосл. учении о нетварных Божественных энергиях. Различая в Боге сущность и энергии, свт. [url=http://www.pravenc.ru/text/%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B9 %D0%9F%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B0.html]Григорий Палама[/url] в сер. XIV в. утверждает правосл. учение о непостижимости Божественной сущности, но возможности познания бесконечного Бога в Его нетварных энергиях (Триады в защиту священно-безмолвствующих. М., 1995).
Среди философов Нового времени идею беспредельности мира поддерживал Р. Декарт: хотя и «недопустимо рассуждать о бесконечном, но следует просто считать беспредельными вещи, у которых мы не усматриваем никаких границ,- таковы протяженность мира, делимость частей материи, число звезд и т. д.» (Первоначала философии. С. 324). Кроме того, по Декарту, бесконечна человеческая воля, являющаяся существенным признаком образа Божия в человеческом существе. Именно несоответствие конечности человеческого разума и Б. воли служит, по Декарту, причиной ложных суждений (Там же. С. 327-328).
На фоне др. философов XVII в. наиболее убежденным защитником существования актуальной Б. выступает Г. В. Лейбниц. Тема Б. обсуждалась им в разных аспектах. Актуально бесконечно прежде всего количество субстанций-монад в универсуме. Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с законом предустановленной гармонии. «Всякую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд» (Монадология. 67). В свою очередь, каждая монада представляет в своих восприятиях весь бесконечный универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени. Это понимание ведет Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно малых («подсознательных») восприятий, в математике - к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в отношении актуальной Б. остаются в высшей степени действенными и по существу непревзойденными все последующие 3 столетия.
Взгляды И. Канта в отношении Б. двойственны, они отражают двойственность его философии в целом. В «Критике чистого разума» с т. зр. его философии математики невозможны ни бесконечное число, ни бесконечная величина. Мир в отношении своих пространственных и временных характеристик выступает ни как конечный, ни как бесконечный, а как indefinitum - неопределенный (Критика чистого разума. С. 389-501). В кантовской философии морали актуальная Б. находит определенное место, по-своему отражая общую традицию европ. христ. философии, видящей в человеческой душе образ Божий (Критика практического разума. С. 441-484). Практический разум при стремлении к высшему благу приходит к необходимости постулирования бессмертия души, существования Бога и свободы, оказывающихся актуально бесконечными. У И. Г. Фихте, по-своему разрабатывавшего идею Экхарта о причастности человеческого духа Божественной сущности, вся природа выступает уже как бледное отражение истинной Б., заключенной в абсолютном «Я». У Г. В. Ф. Гегеля конечное и бесконечное являются лишь 2 терминами в его диалектической триаде. Простое отрицание конечного дает «дурную Б.»: никогда не завершающийся переход от одного конечного к др. представляет собой только «долженствование бесконечного». Истинная Б. должна диалектически снять оба момента. Истинно бесконечен у Гегеля, собственно, Абсолютный дух, к-рый одновременно и актуально бесконечен и осуществляет свое развитие через мир конечных духов (Наука логики. С. 111-137).
В кн. «Парадоксы бесконечного» (1851) чеш. математик и философ Б. Больцано сделал попытку опровергнуть традиц. возражения против актуально бесконечного; он также рассматривает понятия, ставшие в дальнейшем главными и для нем. математика, создателя теории множеств Г. Кантора: различение потенциальной и актуальной Б., трансфинитного и абсолютного и ряд др.
С XX в. философские дискуссии вокруг проблем бесконечного соотносятся обычно тем или иным образом с теорией множеств и проблемой оснований математики. Таковы, напр., феноменологический подход к проблемам теории множеств у О. Беккера (Becker O. Mathematische Existenz. Halle, 1927); интерпретация проблем теории множеств как выражения классического конфликта между аристотелевским концептуализмом и платонистской традицией в математике у Л. Брюнсвика (Brunschvicg L. Les étapes de la philosophie mathématique. P., 1922); рассмотрение канторовской иерархии бесконечного на фоне концепции всеединства у Б. П. Вышеславцева (Этика преображенного эроса. М., 1994).
Бесконечное в математике и логике
Понятие актуально бесконечного эффективно применяется в математике, начиная с изобретения дифференциального и интегрального исчислений в XVII в. Однако убедительного обоснования этого использования бесконечного не удавалось найти более 2 веков. Особая фаза исследований начинается с сер. XIX в. Большую роль сыграли труды К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и в особенности Кантора. Они систематизировали употребление понятия бесконечного в европ. математической традиции, выделили его основные аспекты и предложили (Кантор) беспрецедентную конструкцию «шкалы бесконечностей», ведущую от самых простых типов бесконечного до «бесконечного в Боге». Кантор построил определенный аналог для понятия количества в случае бесконечных множеств (кардинальные числа). Одновременно им была развита и теория трансфинитных ординальных чисел: обобщение понятия порядкового числа в бесконечные совокупности. Построенная арифметика кардиналов (и ординалов) обладала довольно парадоксальными свойствами (напр.: 2 \bullet = $Что такое бесконечность? C:\Users\DAF0~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\02\clip_image001$ $Что такое бесконечность? C:\Users\DAF0~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\02\clip_image002$ , где - кардинал, соответствующий множеству натуральных чисел), нек-рые из них, впрочем, были символическим выражением давно известных парадоксальных свойств актуально бесконечных множеств (напр., того, что четных и нечетных чисел во множестве всех натуральных «одинаковое количество»).
Однако в теории множеств уже с 90-х гг. XIX в. возникли и принципиально новые апории, к-рые не были разрешены в течение XX в. Одна из них, «парадокс Бурали-Форти», показывает, что, хотя и можно определить сколь угодно большой ординал b, однако рассмотреть всю шкалу ординалов Ω как единое множество невозможно: оно оказывается противоречивым. Тем самым одна из главных интенций Кантора - иметь возможность рассмотреть любой потенциальный процесс как законченный - потерпела крушение. Как пишет чеш. математик XX в. П. Вопенка, «теория множеств, усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу» (Математика в альтернативной теории множеств // Новое в зарубежной науке. Математика. М., 1983. № 31. С. 124). «Парадокс Рассела» указывает на противоречивость понятия множества всех множеств, не являющихся элементами самого себя. Это привело к выделению предикативных и непредикативных свойств множеств и построению т. н. теории типов, к-рую Б. Рассел развивал совместно с А. Н. Уайтхедом. Парадоксы теории множеств сказывались и на «макроуровне»: напр., в «парадоксе Банаха-Тарского» утверждается, что, используя систему аксиом теории множеств Цермело-Френкеля, можно разбить шар на конечное число частей, к-рые можно переставить так, что получится два шара, такого же размера, что и исходный.
Теория множеств оказалась естественным языком для решения стоявшей веками задачи арифметизации континуума. Во 2-й пол. XIX в. было предложено неск. арифметических конструкций действительных чисел (Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор). Мощность получающихся числовых моделей континуума оказывалась равна 2 $Что такое бесконечность? C:\Users\DAF0~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\02\clip_image003$ . Кантор предположил, что 2 $Что такое бесконечность? C:\Users\DAF0~1\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\02\clip_image003$ = , где - наименьшая из мощностей, больших - мощности множества натуральных чисел: {1,2,3,...\\. Это утверждение называется «континуум-гипотезой». Но, несмотря на пламенную веру Кантора в истинность результата, ни ему, ни последующим математикам не удалось доказать этот факт. Более того, из совместных результатов К. Гёделя (1939) и П. Дж. Коэна (1963) следует независимость континуум-гипотезы от остальных аксиом системы Цермело-Френкеля. Др. словами, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории, опирающейся на эту систему аксиом. Философский смысл полученных результатов в том, что если мощность континуума равна какому-то «алефу» (необязательно ; т. е. обобщенная континуум-гипотеза), то континуум как бы «конструируется из точек». Однако доказать это в рамках известных аксиоматик теории множеств оказалось невозможным.
Концепция бесконечного, являясь своеобразным символом Божества в сфере науки и философии, в своих конкретных экспликациях неизбежно касается религ. сферы, как в богословском, так и в экзистенциально-духовном плане. Характерно, что разработка концепции бесконечного наложила отпечаток на факты личной биографии ее создателей. Кантор, напр., пытался дать «богословские применения» своим конструкциям с актуальной Б., твердо веря в то, что построение и утверждение в науке теории множеств было миссией, возложенной на него Самим Богом. Кантор различал 3 типа бесконечного: бесконечное в Боге («в уме Бога») - Абсолютное, в тварном мире - трансфинитное, в уме человека - трансфинитные числа (ординалы). Несмотря на то что в канторовской философии математики критерием научности служила лишь логическая непротиворечивость, для оправдания теории множеств он в высшей степени нуждался в доказательствах существования трансфинитного (бесконечного) в мире. Это послужило бы не только опровержению аристотелевской концепции, но и явилось бы опорой для программы развертывания новых подходов в физике и химии на основе теории множеств. Кантор пытался толковать известное место из Книги Премудрости Соломона (11. 21): «...Ты все расположил мерою, числом и весом» - как подтверждение существования трансфинитного в мире. «Здесь не стоит,- писал он,- in numero finito (конечным числом.- В. К.)» (Meschkowski H. Aus den Briefbüchern Georg Cantors // Archive for History of Exact Sciences. B.; Hdlb.; N. Y., 1965. Vol. 2. N 6. S. 512), и поэтому, по Кантору, не следует этот текст использовать в качестве аргумента против бесконечных чисел. Существование трансфинитного в мире, как более подобающего бесконечному и всемогущему его Творцу, Кантор пытался доказать и в переписке с католич. богословами. Это вызвало справедливую критику последних, обвинивших Кантора в склонности к пантеизму.
В общефилософском плане теория множеств выступает как факт характерного самоопределения науки кон. XIX-XX в., доводящий до логического предела основные научно-философские интенции, заложенные еще в XVII в.: редукционизм, конструктивизм, формализм. В этом смысле дискуссии вокруг оснований теории множеств естественно перекликаются с др. известными феноменами культуры модерна: формализмом в искусстве, социализмом, фрейдизмом, евгеникой, генной инженерией. Трагические коллизии мысли, связанные с историей т. н. парадоксов теории множеств, представляют собой отчасти своеобразное раскрытие и саморазоблачение тех титанических человекобожеских импульсов, к-рые сыграли существенную роль в становлении новоевроп. науки и цивилизации в целом в XV-XVII вв.
Лит.: Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Од., 1911; Бруно Дж. О бесконечности, вселенной и мирах // Диалоги. М., 1949. Самара, 2000п. С. 323-480; Спиноза Б. Этика // Избр. произв.: В 2 т. М., 1957. Т. 1. С. 359-618. СПб., 1999п. Т. 1. С. 251-478; Becker O. Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise. Freiburg; Münch., 1959; Кант И. Критика чистого разума // Соч.: В 6 т. М., 1964. Т. 3; он же. Критика практического разума // Там же. Т. 4 (1); Heimsoeth H. Die sechs grossen Themen der abendländischen Metaphysik und der Ausgang des Mittelalters. Stuttg.; B., 19655; Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966; Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969; Беркли Дж. Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику // Соч. М., 1978. С. 395-442; Dauben J. W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Camb.; L., 1979; Николай Кузанский. Об ученом незнании // Соч.: В 2 т. М., 1979-1980. Т. 1. С. 47-184; Лейбниц Г. В. Монадология // Соч.: В 4 т. М., 1982. Т. 1. С. 413-429; Гегель Г. В. Ф. Наука логики. СПб., 1997; Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985; Декарт Р. Первоначала философии // Соч.: В 2 т. М., 1989. Т. 1. С. 297-422; Флоренский П., свящ. О символах бесконечности // Соч.: В 4 т. М., 1994. Т. 1. С. 79-128; Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным: Филос.-религ. аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М., 1999.

В. Н. Катасонов

http://www.pravenc.ru/text/78234.html

Что такое бесконечность?

Что такое бесконечность?

А. Акулов БЕСКОНЕЧНОСТЬ

БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Что такое бесконечность?

В. Н. Катасонов БЕСКОНЕЧНОСТЬ