Черняев А.Ф. Основы русской геометрии

Черняев А.Ф. Основы русской геометрии Преамбула


Настоящая работа, посвященная диалектическому обоснованию нового математического направления - «физической геометрии», является попыткой объединения нескольких геометрических идей, высказанных автором в последнем десятилетии ХХ века. Идеи эти, хотя и базировались на законах диалектики, и относились к одному разделу математики, были разрозненными, отрывочными, и потому довольно сложными для понимания. Диалектическое обоснование их проводилось недостаточно убедительно, да и отношение математиков (как и физиков) к диалектике, оставляет желать лучшего.
Математики, похоже, уверены в том, что законы диалектики неприменимы к математике, поскольку математика наука абстрактная и количественная, имеющая дело с обезличенными числами, а диалектика основывается на качественных категориях. Математика оказывается единственной наукой, в которой категория «качество» практически отсутствует. Считается, что все математические операции (включая движение) есть числовые бескачественные преобразования, не изменяющие качества чисел и безотносительные к ним. Сама же математика - формальная наука о количественном изменении числовых величин, не содержащих в себе никакого качества. А потому диалектика не вхожа в апартаменты, в которых властвует математика. Получается так, что для философов математика чужой монастырь. Не случайно диалектики в течение тысячелетий стараются обходить стороной его укрепления, разражаясь, время от времени, тирадами гносеологических залпов, стремящихся доказать «подчиненность» математики законам диалектики. Эта боязнь математического формализма и обусловила математике особый статус абстрактной, не зависимой от философии науки. Даже Гегель, понимая математику как науку о количественных величинах и числах, не заметил в количественных закономерностях математики внутренней диалектики ее качественных основ и надолго «законопатил» философам вход в храм математики, охарактеризовав бесконечную последовательность натурального числового ряда «дурной бесконечностью».
И эта бесконечность будет оставаться «дурной» до тех пор, пока мы не увидим за каждым математическим числом, понятием или аксиомой их качественную составляющую. То есть то, что и является основой диалектического анализа, то, без чего любая наука, включая математику, остается гносеологически запутанной, внесистемной и поверхностной регистрацией отдельных количественных или качественных проявлений, не сводимых к одной системе взаимосвязанных знаний.
Особенность русской (динамической) геометрии и заключается в том, что она, на наш взгляд, первая из математических наук, основывающаяся на диалектических законах и развивающаяся не как абстрактная дисциплина, а как дисциплина, полностью базирующаяся на практике. Более того, у нее отсутствуют даже предпосылки возможного «отдаления» от практики, поскольку она опирается на динамику реальных физических процессов.
Однако история показывает, что и существующие статические геометрии имели своим основанием именно практику измерения предметов и земельных участков. Но уже в Древнем Египте и, особенно в Древней Греции, геометрия превратилась в «дедуктивную» науку, основывающуюся на нескольких простейших аксиомах, не требующих доказательства. Аксиомы и эмпирические элементы определили в конечном итоге статическую форму отображения геометрией количественных отношений окружающих реальных предметов. Что и стало в последующем атрибутом всех геометрических построений.
Работа начинается с возвращения в математику понятий – «целое», «отдельное» и «безначальное», с последующим рассмотрением диалектических основ современной математики в применении к математическим и геометрическим понятиям и в частности с анализа некоторых принципов и аксиом, на которых основываются геометрии Евклида, Лобачевского и Римана.
Известно, что геометрия как наука была обобщена Евклидом, и его сочинения, включающие 13 томов под названием «Начала», содержали интегрированное изложение всех знаний о геометрии, наработанных античной наукой. Однако смысл «Начал» заключается не только в изложении аксиом и вытекающих из них теорем. «Начала» содержат в неявном виде подход к учению о статической или актуальной бесконечности, с преобладающей опорой на ее статичность.
Статичность актуальной бесконечности, с блеском изложенная Евклидом, на тысячелетия постулировала самой геометрии статичность, полностью исключила даже возможность представления о геометрии как о предмете, изучающем динамическое пространство, застопорила изучение потенциальной бесконечности, стала тормозом в понимании диалектики природы. Она породила другие начала - «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона.
«Начала…» Ньютона блестяще развили и закрепили в классической механике принципиальные положения евклидовых «Начал», убрав из механики ее основу, - взаимодействие движущихся тел с пространством, а, следовательно, и само пространство.
Поэтому, когда обнаружилась тройственность аксиомы о параллельных (формулировки Евклида, Лобачевского, Римана), не было сделано предположения о том, что эта тройственность не случайна, а следствие отдельных прорывов в динамику пространства. В пространство движения как взаимодействия вещественных тел с вещественным пространством. И хотя термин «динамика» прижился как раздел механики, изучающей движение тел в зависимости от действующих на них сил, он имеет и другой смысл - подвижности, изменчивости, действенности, напряженности. В последнем смысле термин «динамика» и употребляется в настоящей работе.
Поскольку динамическое пространство имеет отношение к изучению движения и взаимосвязи пространственных свойств и тел в условиях потенциальной бесконечности, то его описание производится путем сопоставления со статическими структурами актуальной бесконечности.
Следует отметить, что и понятие актуальной бесконечности и понятие потенциальной бесконечности есть субъективизация существующей природной бесконечности. О свойствах и движении этой бесконечности нам ничего не известно, но без отображения этих свойств наши теории обходиться не могут.
Другой особенностью русской геометрии является опора в формализации взаимосвязи природных свойств на золотые пропорции. Изучение золотых чисел и золотых пропорций становится модным научным направлением. Однако в этом направлении основным остается изучение взаимосвязей между золотыми числами и описание явлений, в которых встречаются золотые пропорции. Ответов на вопросы: «Какие физические факторы описываются золотыми пропорциями? О чем свидетельствует деление отрезка в крайнем и среднем отношении?» и т.д. еще нет. Поэтому золотые пропорции остаются экзотическим прибавлением к науке и еще не находят широкого применения ни в математике, ни в физике.
Русская геометрия полностью построена на золотых пропорциях. Сама система золотых чисел сведена в матрицы, названные классом русских матриц, взаимозависимость между числами которых оказывается основой теории физической размерности. При этом выяснилось, что все физические свойства тел обладают особыми качественными параметрами числового поля русской матрицы, названные коэффициентами физической размерности, связывающие их в единую систему и обусловливающие формализацию физических уравнений. Последнее обстоятельство коренным образом меняет представление о взаимосвязи физических свойств и формирует единый математический аппарат описания взаимодействия природных свойств во всех разделах физики.
Открытие физической геометрии показало, что существует иерархия геометрий по возможности отображения ими природных процессов. Геометрии в этой иерархии делятся на три предмета:
Физическая (динамическая) геометрия.
Статико-динамическая (полудинамическая) геометрия.
Статические геометрии.
Оказалось также, что статико-динамические геометрии хорошо известны и давно изучаются. Но изучаются как проективные разделы статической геометрии. В них был упущен элемент кадрированного времени, следствием чего и стало одностороннее рассмотрение предмета проективной геометрии.

(Основы русской геометрии Диалектика математики)


Наше понимание целого соответствует пониманию его, изложенному в сутре из «Ишавасья — упанишады»:
«Ом. То есть целое, это тоже целое.
Ибо только целое рождается из целого:
и когда целое отнимается от целого,
смотрите, остаток есть целое.
Ом Шанти, Шанти, Шанти!»
Для дальнейшего понимания наиболее существенным будет:
1.    все названные далее целые есть аналоги целого;
2.  отсутствие в целом отношений, рождающих как качество-свойство, так и множественность.
Человек пытается познать целое, превращая его в единое путем разделения на познающего и познаваемое. Этим движением создается такое качество-свойство, как отношение. А поскольку исходное отношение – это отношение двух (субъект и объект), то возникает и количество (два) при качественном звучании одного (два рождают одного). В этом мистика чисел у Пифагора и их абсолютизация в современной математике.
Создание отношений всего и со всем есть основной способ познания и основное качество-свойство человеческого ума.
Понятие «целое», является основой науки так же, как и основой религии, но в таком значении в настоящее время практически не осознается. Оно отображает в себе все то, что содержат в неразрывном виде материальный и духовный миры. В этом значении «целое» принадлежит к основаниям философии.
Наука, как и ее отдельные дисциплины, исходит из реальности материального мира, представляющего собой целое другого качества, поскольку исключает духовный мир. Различные направления науки исследуют случайно выделенные свойства-качества, «превращая» целое в единое. Математика изучает количественные аспекты свойств, упуская из внимания единое.  
Так что же представляет собой «единое» с позиций современной науки?
Единое − это самодвижимое совокупное всех свойств, не имеющее ни начала, ни конца. Это взаимосвязь бесчисленного количества свойств, образующих многоуровневую субстанцию – материю.
Материя — это целое, «доля» общего, проявившее себя через чувственно воспринимаемое движение. То есть единственным независимым от субъекта (наблюдателя) качеством проявленного единого является чувственно воспринимаемое движение. Остальные качества материи определяются как результат отношения, возникающего при взаимодействии двух тел. Здесь тело при отсутствии отношений есть целое в понимании Вед: отдельное как отношение, и единое как объект познания.  Материя, для своего проявления, должна обладать постоянным самодвижением типа пульсации. Самодвижение является атрибутом единого. Отсюда, движением, не требующим двух, может быть только пульсация каждого (любых) из материальных тел.
Пульсация как процесс, через расширение и сжатие носит диалектический характер. Такое движение как неизбежность при смене цикла проходит через прекращение движения (через неподвижность). Неподвижность — это непроявленное единое, которое недостижимо для его проявленного состояния. Тело как совокупность проявленного и непроявленного возникает в момент перехода материального тела через неподвижное состояние при пульсации.
Поэтому понимание телесности (вещественности, материальности) дополняется еще одним представлением субстанции, а именно:
Любое тело это целое, такое же целое, как и весь мир. Отдельность ему создает способ существования, который носит самопринудительный характер и определяется тем, что каждое тело в одном цикле проходит процесс возникновения и исчезновения.
Покажем качественно на примере Земли (рис. 1) точки диапазона существования тела в процессе пульсации. В самом первом приближении Земля пульсирует примерно так же, как и резиновый шар, в котором искусственно и попеременно изменяется давление. В такт изменению давления происходит периодическое увеличение и уменьшение радиуса шара. И так же как у шара, в процессе пульсации Земли возникают две точки останова пульсации: в тот момент, когда радиус шара становится наибольшим 1 и наименьшим 2.


Рис. 1
В момент «останова» материальная поверхность Земли как бы «исчезает», поскольку материя без движения не существует. И всякий останов есть момент «несуществования» материи, т.е. поверхности земного шара (поскольку все полностью остановившееся ни с чем не взаимодействует, ничем не отображается и, следовательно, отсутствует для всего). Все, что имеется в природе и на Земле, приспособлено к этому многоуровневому процессу. В такт пульсации Земли всё обитающее на ней также «ныряет» в небытие (в ничто), изменяясь с возникновением (с началом нового цикла пульсации), и, следовательно, обеспечивая свое материальное бытие. Этим «нырянием» снимается «напряжение», возникающее во всех телах за счет их эволюции (роста, пульсации, расширения), так как эволюция требует изменения материи, а пространства для изменения нет, и потому изменяться и расти некуда. И для того, чтобы процесс эволюции происходил, необходимо всему «встряхнуться», «расшириться», точнее частично «разуплотниться», обусловливая развивающимся (разрастающимся) телам возможность раздвижения разуплотнившейся материи и образования условий дальнейшего роста. И это все также входит в понятие целого. Отметим, что в мире отдельного (в мире тел), статика отсутствует, а все, что ощущается как статика, есть еще не осознанная динамика.
Человек, - мыслящее живое существо, являясь двойственным образованием (тело + душа), подчиняется законам как проявленного, так и непроявленного целого.
Отметим, что основу мышления человека составляет язык, базирующийся на определенных понятиях и словарном запасе, которые дискретны. Эта структура и определяет дискретность нашего мышления. Обучение ребенка языку одновременно становится «дискретизацией» мира, утверждением как бы отдельности всех тел, предметов и явлений путем их языковой символизации. Поэтому реальный мир с детства закрепляется в мышлении как состоящий из отдельных частей и событий, т.е. становится изначально дискретным. Последующие попытки осознания (представления) этого мира как целого оказываются возможными только посредством «сдвигания» вместе отдельных тел, предметов, событий (как частей мира). И в нашем осознанном представлении и даже в интуитивном ощущении возникает понимание целостности как совокупности частей, «склеенных» туманным понятием «связи». «Связи» и обусловливают искусственно сформированному миру иллюзию целого.
Для понимания последующего необходимо применять как самостоятельные следующие понятия: целое, отдельное, единое.
Где:
целое — это то, что не имеет частей и отношений;
отдельное — это отдельные предметы или объекты, тоже целое внутри, а снаружи поверхность как отношение.
единое — это совокупность частей или целых, обладающих качеством и количеством.
Метаморфоза, переводящая материальное целое в отдельное и далее в единое, состоящее из частей, свойств, отношений происходит в момент, когда человек фиксирует что-либо (тело, предмет и т.д.), отличая его от окружающего фона — целого. Эта фиксация состоит из нескольких последовательных операций:
а) выделение тела из фона (целого) как отдельного созданием отношения;
б) узнавание отдельного методом аналогии;
в) наименование (обозначение словом — символом), превращение в единое;
г) наделение целевым признаком, полезным для человека.
Например, геолог в движении фиксирует световую вспышку. Оборачивается и различает блестящее тело (а), приближается к нему и видит камень (б), который определяет как кварц (в). Он знает, что кварц — минерал, который можно использовать в производстве (г).

Начнем с геометрического пространства. Понятие «геометрическое пространство» зародилось еще в древнейшие времена и с одной стороны до сих пор не имеет однозначного определения, а с другой, оставаясь основным геометрическим понятием, вообще не может являться элементом статической геометрии. Однако все остальные математические понятия и принципы статической геометрии имеются, существуя как бы независимо от пространства.
По-видимому, по этой причине понятие - «пространство» не было востребовано при аксиоматическом построении геометрии, хотя Риман и упоминает, «геометрия предполагает заданным заранее как понятие пространство…». Но заданное понятие «пространство» не является каким-то второстепенным понятием. Оно мыслится как основа любой геометрии, оно первично ко всем фигурам, включаемым в пространство, и отсутствие его в структуре геометрических понятий может свидетельствовать о том, что построение геометрии, не связанной с реальным пространством, совершенно некорректно, или о том, что это понятие не включается в соответствующую геометрию.
Первичность пространства ко всем геометрическим фигурам предполагала, что определение этого понятия следовало производить абстрагированием или другим способом от существующего физического пространства еще до того, как началось формирование первых геометрических аксиом, свойства которых «вытекали» бы из свойства пространства и тел, находящихся в нем. Однако определялось пространство постулированием отдельных не связанных между собой свойств. В результате было получено не пространство, а те разрозненные требования к свойствам пространства (о них далее), которые бы удовлетворяли механическому пониманию бескачественного пустого вместилища. Вместилища, способного «нести» формальные функции пространства, достаточные для статической геометризации объектов природы, но не для отображения реального пространства.
Аксиомы и постулаты, обосновывающие отдельные фигуры - вторичны частности по отношению к пространству уже потому, что аксиоматизируемые фигуры могут «располагаться» только в определенном пространстве, которое обладает конкретными свойствами, и свойства образуемых фигур должны быть подобны свойствам пространства. То обстоятельство, что все современные геометрии начинаются с нахождения абстрактных аксиом, не сохраняющих ни одного природного свойства, из которых структурируется определенная геометрия в неопределенном пространстве, есть поразительнейший нонсенс, обусловивший сначала геометрии, а затем и всей математике, статус «продукта человеческого разума».
Современные геометрии строятся аксиоматически аналогично статической геометрии Евклида, в которой между фигурами и их элементами отсутствуют качественные связи, и потому эти элементы при построении «прилепляются» к фигурам случайным образом по далеко не научному методу: «куда кривая выведет». Причем, «прилепляются» в движении с нарушением законов статической геометрии, запрещающей механическое движение. И уже после построения новой геометрии определяется вид, к которому она якобы относится, но не определяется, в каком же пространстве находятся фигуры «новой неевклидовой» геометрии.
То есть все геометрические построения, вопреки утверждениям математиков, проводятся индуктивным методом от частного к общему. А поскольку в творчестве аксиом не ограничен ни один математик, то их можно наплодить великое множество, а вместе с ними, вероятно, и геометрий, причем ничем между собой не связанных и, возможно, противоречивых (как, например, геометрии Лобачевского и Римана). К тому же движение от частного к общему (от аксиом к геометриям как к абстракциям пространства природы) совершалось не в классической форме. Происходило не отвлечение от природных свойств, а направленный выбор тех из них, которые обеспечивали построение некоторой геометрии. Поскольку результат абстрагирования оставался неизвестным даже после построения геометрии, то невозможно было ответить на вопрос: «Разворачиваются» ли все получаемые геометрии в одном пространстве или каждая из них имеет собственное пространство. И если «собственные» пространства имеются, то чем они различаются между собой?
Геометры оказались в положении того незадачливого механика, который взялся собирать большегрузную машину, имея в избытке все необходимые детали: двигатели, колеса, всевозможные трансмиссии, кузова, электрооборудование и т.д. от различных механизмов, кроме рамы. О необходимости которой он даже не имеет представления (она-то и обусловливает пространственную структуру тяжелого автомобиля). Конечно, он сможет собрать десятки различных агрегатов: рычащих, гудящих, крутящихся и даже движущихся, некоторые из которых, не исключено, и приспособить можно будет к каким-то полезным работам, но он никогда не построит большегрузный автомобиль (если, конечно, не изобретет рамы).
Геометры тоже «наизобретали», на основе аксиом, десятки противоречивых геометрий (их может несколько успокаивать только то обстоятельство, что в других разделах математики «наизобретали» не меньше). И сейчас усиленно разбираются, вместе с физиками (последние виноваты только в том, что поверили математикам на слово) - какая же из них соответствует природе (аналог у механика - какой же из агрегатов соответствует грузовику?). Вроде бы, у каждой из них есть некоторые свойства аналогичные природным, но в таком случае, почему их много и они между собой не связаны, более того, противоречат друг другу? Ведь не может же быть такого, чтобы в одном пространстве природы «работало» сразу несколько логически противоречивых геометрий. И, главное: В каком же пространстве они «находятся»? Вопрос, на который ответа еще не находится.
Считается, что математика является абстрактной наукой. Напомним, понятие «абстракция» включает два представления:
научное - отвлечение в процессе познания от несущественных сторон рассматриваемого явления с целью раскрытия существенных черт (выше была приведена несколько иная форма представления об абстрагировании);
метафизическое - рассматривающее свойства и отношения в отрыве от материального носителя.
Однако, начиная свои построения с аксиом (не от целого, а от частностей) и не только геометрических, математики ни от чего не отвлекаются (абстрагируются), (то есть не производят действия, предусмотренного первым пунктом определения абстракции). Они определяют правила получения аксиом, формы их взаимосвязей и выводят теоремы, логически подтверждающие эти взаимосвязи. Абстракция во всех этих построениях не просматривается, поскольку не выявлен предмет - целое, от которого следует абстрагироваться (то же пространство, например), и, следовательно, нет основания считать геометрию (раздел математики, а может быть и всю математику) абстрактной наукой. Здесь что-то в понимании математики как абстрактного предмета не вяжется со словом «абстракция».
Но математики абсолютно уверены, что математические методы, и в частности геометрические, есть абстрагирование от природных свойств, что они работают дедуктивными методами и частные положения и понятия, выводятся ими из общих положений и понятий (из аксиом, постулатов, правил, законов). (Получается, что пространство - частное понятие, и потому его до сих пор не определили даже аксиоматически.) Однако ни аксиома, ни закон и даже ни правило, не являются пространством и тем более природой или целым. Они суть некоторые представления, полученные при изучении природы путем разложения единой природы (целого) на отдельные элементы, понятия или определения, а потому отсутствующие в природе, но присутствующие в головах людей.
Эти удивительные «дедуктивные» представления просто ничем невозможно объяснить. Перепутать индукцию и дедукцию (все равно, что поставить телегу впереди лошади) можно было, только повинуясь многовековой традиции освященной авторитетом гениев. И гениями были древние греки - Платон и Аристотель, особенно последний, развивший и обосновавший логические и аксиоматические методы.
Именно с логического обоснования аксиом начинается геометрия Евклида. И начинается с ясного понимания того, что принципы и понятия геометрии являются абстракциями от реального мира и потому применимы и к реальному миру, и к миру геометрии, поскольку охватывают, в абстрактном представлении, основные черты реальных природных предметов. То есть, по предположению греков, обладают определенной степенью общности и первичности, как в геометрии, так и в реальном мире.
К абстрактному отображению элементов внешней реальности древние греки относили такие первичные (основные) геометрически неопределяемые (?) понятия, как точка, прямая, число. Они оставались неопределяемыми логическими методами постольку, как отмечал Аристотель, поскольку для основных понятий не существует исходных посылок. И потому обоснование основных первичных понятий начиналось с аксиом - со столь понятных и очевидных истин, что справедливость их не вызывала и до сих пор не вызывает никакого сомнения. Другие понятия - фигуры; треугольник, квадрат, куб, окружность и т.д. определялись посредством первичных понятий.
Имелись только некоторые разногласия относительно того, откуда человек получает эти исходные представления, формулируя свои аксиомы. Исходными носителями этих разногласий были те же Платон и Аристотель. Для Платона геометрические аксиомы – истинное воплощение идей. Вот что он пишет о геометрах в «Государстве» [3]:
«Разве ты не знаешь, что, хотя они и используют видимые формы и рассуждают о них, мыслят они не о самих формах, а об идеалах, с которыми не имеют сходства; не о фигурах, которые они чертят, а об абсолютном квадрате, и абсолютном диаметре… и что в действительности геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному взору?»
Для Аристотеля истина познается безошибочной интуицией, а аксиомы отображают эту истину и являются основой для рассуждений доказательств и математических выводов. Методология логических взаимосвязей, тоже обоснованная Аристотелем, позволяла получать, путем логичных рассуждений, отталкиваясь от первичных понятий правильные заключения о предмете рассуждения: по дедукции, по индукции, по аналогии и т.д. Отметим: дедукция - логическое умозаключение от общего к частному, от общих суждений к частным или другим общим выводам. Индукция - умозаключение от частных, единичных случаев к общему выводу, от отдельных фактов к обобщениям [5]. Причем, единственный из этих методов – рассуждение по дедукции - гарантировал получение заключения такой же надежности, как и используемые посылки. Эта истина, как полагают, и была положена в основу построения геометрии. А поскольку аксиомы, по определению, оказывались общими и по отношению к природе, и по отношению к геометрии, то именно они и становились той отправной точкой, которая использовалась для «дедуктивного» построения основ как геометрии, так и других разделов математики.
Итак, перед нами действительно абстрактный метод. Но не тот научный метод, о котором говорилось выше, а иллюзия абстрактного метода. Вымышленная абстракция начинается с бескачественного определения простых, основных «абстрактных» и потому отсутствующих в природе явлений: точка, прямая, плоскость и т.д. и предписывания их природе. С простых и столь очевидных истин, что ни у кого даже не возникает вопроса: А нужны ли геометрии такие посылки и аксиомы? И абстрагированы ли они от природных свойств?
Однако, с позиций логики, в справедливости их невозможно усомниться. Эти понятия, как уже говорилось, по мнению древних греков, одинаково употребимы как в пространстве реальном, так и в пространстве геометрическом. (Свойства которого никому не известны, но известно, что геометрические фигуры можно, с одинаковым успехом, строить как в голове, так и на листе бумаги, и на поверхности Земли, что и обусловливает им воображаемую общность.) И потому аксиомы как бы становятся общими для обоих пространств и, следовательно, посылками для «дедуктивного доказательства». Именно такая «дедукция» от частностей - аксиом, отображающих одно, или ни одного, качества к общему - геометриям и обусловила появление множества взаимно противоречивых и несводимых к одной геометрий. Именно она и не позволила получить единое представление о качествах как реального, так и геометрического пространства и все дюжины геометрий, полученные методом «дедукции», до сих пор подвешены в воздухе, точнее в координатных системах бескачественных пространств, и таких же геометрий, ибо получить качественные представления из бескачественных посылок просто невозможно.
Здесь следует отметить, что не только в математике господствует метод индуктивного мышления. Практически вся современная европеизированная наука, изучающая естествознание, не имеет в своем арсенале понятия «целого» и потому базируется на том же методе индуктивного мышления. Она зарождалась с описательно – наблюдательного рассмотрения явлений окружающего мира, с эмпирического исследования его отдельных частей, с определения аксиом и постулатов, некоторым образом характеризующих эти явления или части, позволяя в какой-то мере объяснять их. Таким образом, естественные науки развивались от частного (индукция) к общему (целому). «Искали», опираясь на категории механистической философии, общие закономерности природы, представляя реальность некоторым «большим» логически связанным механизмом. И потеряли цель изучения, получив что-то «громадное», неопределенное, не имеющее никакого отношения к природе и, следовательно, к целому. Поэтому понятие целое в современной науке не наличествует. И как следствие этого отсутствия, потеряно представление о наличии качеств в математике.
Отсюда, из понимания наличия или отсутствия качеств в математике и в частности в геометрии, и вытекает вторая большая математическая иллюзия. Иллюзия того, что математика является только количественной наукой.
Удивительно, но взгляд на математику как на количественную науку, порожденный 2500 лет назад пифагорейской школой в Кратоне на юге Италии, не просто ни разу не пересматривался, но и до сих пор не подвергается никакому сомнению. Даже Клайн, критически анализируя все аспекты возможных ошибок и противоречий в основаниях математики в работе [3], совершенно не обратил внимание на бескачественный аппарат математики. Единицы математиков замечают противоречия в определениях математических понятий, в количественных математических операциях, наличие несоответствий и ошибок в проведении некоторых расчетов, и то, что почти все математические операции проводятся не с бескачественными «голыми» числами (разве что в первом классе, да и там опосредованно), а с определенными предметами или свойствами. То есть имеют явное качественное сопровождение. И, похоже, даже не возникает вопросов: А имеются ли в математике «голые» числа? Не обладает ли числовое поле особыми, не вещественными свойствами?
Пифагорейцы, наблюдая природу, отмечали, что самые различные качественные взаимосвязи и явления природы проявляют одинаковые математические свойства, и, опираясь на эти наблюдения, пришли к выводу о том, что именно математические свойства отображают сущность явлений и эта сущность скрывается в числе и числовых отношениях. А потому «голое» число у них стало началом всего, «единицей бытия». А все «тела» стали составляться из этих фундаментальных бескачественных единиц, образующих, в различных комбинациях, всевозможные геометрические фигуры. И потому, развиваясь в своей совокупности, «единицы бытия» и стали представлять в математике материальные объекты. А само бескачественное число приобрело статус «материи» (субстанции, не имеющей качеств, такой же бескачественной, как и окружающее геометрическое пространство). И как констатирует М. Клайн [3]: « …пифагорейцы, развив и усовершенствовав свои учения, начали рассматривать числа как абстрактные понятия, а объекты как конкретные реализации чисел».
Клайн противопоставляет наше понимание чисел пониманию пифагорейцев: «Учение пифагорейцев может показаться нам странным, потому что для нас числа абстрактные понятия, а вещи, физические или материальные объекты. Нам привычное понятие «число» возникло в результате абстрагирования, а ранним пифагорейцам эта абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами» (т.е. предметами и, следовательно, они абстрагировались от реальности. – Авт.).
Из этого абзаца не становится понятным, что же странного в понимании чисел пифагорейцами, и в чем же отличие нашего абстрагирования от абстрагирования пифагорейцев. И пифагорейцы абстрагировались (иначе они не пришли бы к числу) и мы, как нам кажется, абстрагируемся от природы (какова методология абстрагирования, в общем-то, несущественно, главное - какой получается результат). И пифагорейцы и мы видим за числами физические объекты. И пифагорейцы и мы отображаем эти объекты в «голых» числах и, следовательно, и их и наши отображения не несут в себе никаких качественных показателей, и эти числа каждый понимает так, как ему хочется: и фигурами, и точками, и частицами, и звездами, и даже Вселенной.
Главное, что не просто объединяет, а является основой понимания числа нами и пифагорейцами, заключается в том, что эти числа не несут в математике никакой качественной нагрузки. Они безразмерностны и обезличены. Они отображают только количественные величины и сами по себе (и в математике), как полагают даже философы, являются абсолютными абстракциями, а математика становится как бы наукой, оперирующей только с количественными отношениями абстрактных чисел. И это обстоятельство закреплено в определении математики как «науки, изучающей количественные отношения и пространственные формы» [6].
Отметим, что литературы, посвященной анализу качественного аспекта математической размерности, почти не встречается. Большинство математиков даже не подозревают о существовании такой проблемы. И весьма отрадно, что еще в 1996 г. в издательстве «Транспорт» вышла небольшая, но очень изящная и насыщенная монография «О взаимодействии размерностей в математических преобразованиях» А.Н. Митрохина, которую математики, похоже, не заметили [6].
Автор, исследуя проблему количественных и качественных взаимосвязей в математике, констатирует: «...математика является в настоящее время одной из самых неточных наук. Не в том смысле, что с ее помощью невозможно до какого угодно знака вычислить физическую константу p, или определить любую степень числа, или решить другие, более сложные количественные задачи, а в том, что она через свои понятия, определения и структуры объективно формирует в человеческом сознании искаженное миросозерцание, касающееся сферы взаимоотношений количественной и качественной категорий. Причиной такого положения является то, что сама математика как наука поставлена человеком на ложное основание, покоящееся на догме, идущей из глубины веков и состоящей в том, что количественная категория (число) может быть отделена от качественной и может самостоятельно развиваться. (п/ж курсив везде наш. – Авт.)
Одним из доказательств несостоятельности такой постановки вопроса может служить непонимание и неразрешимость в ее рамках «радианной» проблемы. А в целом в математике и смежных с ней точных науках существует целый букет противоречий и неувязок, образовавшихся в результате утверждения этой догмы в качестве аксиомы в науке. По этой причине, как это ни парадоксально, математика в научном мире зачастую воспринимается как «доктрина, в которой мы не знаем, ни о чем говорим, ни верно ли то, что мы говорим» или «…как наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями», т.е. математические знания и результаты математических преобразований в среде ученых ставятся под сомнение и это находит отражение в отдельных трудах, посвященных взаимодействию математики и тесно связанных с ней прикладных наук, когда математические расчеты предлагается проверять на здравый смысл, в том числе в отдельных случаях это представлено в анекдотичной форме.
Апофеозом научного заблуждения при этом можно считать слова, приведенные, например, в работе Г.А. Аракеляна: «… когда физика как наука о природе достигает уровня, при котором основными ее инвариантными конструктами выступают голые числа, а не размерные величины, начинает явственно ощущаться и осознаваться единство физической и математической науки». Вся трагедия этого высказывания состоит в том, что автор, без сомнения обладающий большим багажом современных научных знаний, несмотря на правильный вывод приведенного суждения, способен воспринимать математические и физические величины, физические константы не как размерностные понятия, а как «голые» числа. И он не одинок в своем заблуждении, так как приведенное высказывание не осуждается в научном мире, а воспринимается как нормальное явление. Все имеющиеся факты свидетельствуют о том, что «голые» числа в настоящее время прочно занимают свое место в науке, и ученые, стоящие во главе крупных научных школ, без тени сомнения пользуются такими понятиями, как «безразмерная переменная».
Гипотеза о единстве, на основе которой органически решаются многие выявленные проблемы точных наук, показывает, что «голые» числа сами по себе ничего не могут выразить в законченном виде. Числа, несомненно, могут существовать в нашем сознании как самостоятельная количественная категория, однако любое математическое преобразование требует обязательного осмысления взаимодействия качественных частей математических величин, т.е. анализа размерностей. Количественная категория вторична, она в образе пустого числа не имеет самостоятельного значения и не может участвовать в математических операциях отдельно от качественного содержания, которое может быть выражено как очень конкретно, так и абстрактно в самом общем виде. Тот факт, что на каком-то отрезке изучения математической проблемы можно оперировать только количественной частью математических величин, например, заучивать или переписывать таблицу умножения без анализа качественного содержания сомножителей и произведения, не дает основания принимать это в целом как аксиому или некий всеобщий закон. Для полного и правильного восприятия количественной операции следует ясно представлять себе, каким образом данная математическая процедура согласуется с взаимодействием качественных частей математических величин, т.е. взаимодействием размерностей.
Отнесение физических констант, включая p, а также различного рода коэффициентов к «голым» числам является глубочайшим заблуждением современной науки».
Автор работы [6] не ограничился констатацией некорректности использования в математике голых чисел, но и, что более важно, предложил и обосновал гипотезу о единстве количественных и качественных категорий во всех разделах математики. Мы согласны с А. Митрохиным в необходимости единства качества и количества в математике, но не будем перелагать его гипотезу, ограничившись отсылкой читателей к первоисточнику, отметив только, что ни в одном разделе математики невозможно корректное производство математических операций без участия в математических преобразованиях качественных составляющих. Поскольку работа А. Митрохина существенно расширяет знание области неопределенности и заблуждений в математике, полагаем необходимым привести, с небольшими сокращениями, в нашей работе в приложении №1 «Заключение», которое было получено им в результате исследования и которое само по себе достаточно полно отражает как гипотезу, так и итоги проделанного исследования.
Отметим, что единство количественного и качественного в математических преобразованиях, за использование которого в полном объеме ратует А. Митрохин, не надуманная проблема, а является следствием логического абстрагирования от качественных категорий реального мира (наибольшей общности) к математике. Однако во времена оные абстрагирование от качества было проведено таким образом, что качественные категории, сопровождающие математические потребности, и обуславливающие появление соответствующих чисел, оказались отброшенными не только мысленно, но и практически. И эта, достаточно простая операция, необходимая как частность узкого круга практических потребностей («голые» числа почти не применяются в практике, за ними всегда стоят либо предметы, либо качества) была распространена на весь математический аппарат, что и послужило основанием считать математику только количественной наукой. Подходит пора возвращения к истокам, пора возвращения качества в математику.
Мы не приводим еще ряда других заблуждений, которые будут затрагиваться по мере изложения материала, но убеждены, что и ими перечень некорректных представлений в математике не ограничивается. Появление некорректностей - естественное следствие поэтапного, от частного к общему, изучения человеком природных явлений, но их виртуальное наличие в теории оказывает постоянное негативное воздействие на адекватное восприятие законов природы и на развитие самой математики, и тех наук, в которых она находит применение.
Эти заблуждения особенно наглядно проявляются в теории чисел. Той самой теории, которая считается «продуктом чистого разума», и с которой начинается отрицание возможности применения в математике законов диалектики. Посмотрим, имеются ли хоть какие то основания для такого отрицания.

(Основы русской геометрии)

Появление диалектического мышления, так же, как и математического, было невозможно до такого периода развития общества, на котором оно достигает способности абстрактного восприятия действительности. Причем развитие математического аппарата, вызываемое практикой, могло значительно опережать познание диалектики и, соответственно, оказывать существенное воздействие на постижение ее законов и категорий. Можно полагать, что именно математика (арифметика и геометрия) породила диалектическое мышление. Диалектика же как наука, развившись и охватив своим влиянием все остальные науки (кроме математики), позабыла о своих «родителях». Иначе чем объяснить, что современная математика оперирует, как полагают, обезличенными числами, абсолютно абстрактными количественными отношениями, и числа сами по себе не несут в математике никакой качественной нагрузки и не «подчиняются» законам диалектики.
Отметим, что все эти уверения в бескачественности и обезличенности чисел не очень-то соответствуют истине. На самом деле в математике нет ни одного самого по себе бескачественного или обезличенного числа. Подчеркнем - ни одного! И это утверждение касается не качественного сопровождения чисел, а непосредственно самих «голых» чисел.
Да, действительно, математические числа, сами по себе, не обладают ни одним природным свойством и выраженной не численной индивидуальностью. Только с этой точки зрения они бескачественны и обезличенны. Однако числа обладают так называемыми формальными свойствами, которые не являются качественными, соответствующими природным свойствам, и потому не имеют размерности, а, следовательно, и не различаются между собой. Это обстоятельство как бы тоже свидетельствует о том, что числа - продукты творчества свободного ума, отказавшего числам в качественной размерности, и как вывод - безразмерностные числа не могут описывать диалектику природных процессов.
Но сами для себя и того множества, в которое эти числа входят, они обладают и качеством и, как уже упоминалось, индивидуальностью (иначе не видать бы им этого множества) будучи даже безразмерностными. Только их качественность имеет характер формального группового различия и не сразу определяется. К тому же количественная величина числа не считается индивидуальностью, поскольку можно написать бесчисленное множество чисел тождественных по количественной величине. (Например, в квантовой механике постулируется тождественность всех фотонов и электронов. Однако это не мешает физикам считать, к примеру, электрон не формальным образованием, а частицей, то есть индивидуальностью. Тем не менее, формальное тождество количественных величин многих чисел лишает на сегодня данные числа индивидуальности.)
Познакомимся с «обезличенными» числами бесконечного натурального ряда, названного Гегелем «дурным» за его «кажущуюся» бескачественность. Основное свойство чисел натурального ряда заключается в том, что операции сложения, вычитания и умножения с ними обусловливают появление тоже целых чисел. Рассмотрим элементы этого ряда и выясним, являются ли его члены качественными или бескачественными числами:
0; 1; 2; 3; 4; 5; … …25; 26; …
или
0 1 2 3 4… …25 26 …
Прежде всего, фиксируется то обстоятельство, что каждое число - целое, отделенное от другого целого точкой с запятой, запятой или некоторым пространственным промежутком. Это настолько привычно, что не вызывает никаких вопросов. А между тем вопрос присутствует: Зачем отделять числа друг от друга, если они и количественно, и качественно обезличены?
Оказывается если их не отделять, то бесконечного ряда просто не будет. Появляется не ряд, а что-то бесформенное и неопределенное. Поняв это, делаем первый вывод: чтобы иметь дело с определенными числами необходимо нужное количество цифр некоторым образом отделять от другого количества цифр (т.е. использовать геометрию). Эта известная всем с первого класса немудрящая процедура в диалектике является процессом наделения тела-целого качеством отдельного. По аналогии с выделением отдельного из целого констатируем: каждое математическое число само по себе обладает формальным качеством отдельного и уравнивается этим качеством со всеми другими числами. И как отдельное оно не имеет размерности.
Данное отдельное становится хотя и формальным (не имеющим размерности), но действенным качеством, объединяющим каждое число со всеми остальными числами. Каждое число - математическое целое. Такое же целое в математике, как материальное тело целое в природе. В нем неявно заложены свойства всех чисел математики. Оно, данное число, - «срез» в определенном месте бесконечного числового поля, представление чисел данного места. Вместилище всего множества чисел, проявленное через одно число. Оно математическое целое, выраженное посредством цифр или определенных знаков. Количество этих цифр и их численные величины - индивидуальность числа, его количественное свойство.
Отдельность - единое свойство всех абстрактных математических чисел. Через него у множества чисел появляется общее качество - отдельное, превращающее каждое число в математическое целое. А само число становится отдельным числом только тогда, когда оно отделено от другого числа некоторым подобием пространства или знаком, отображающим пространственность (прослеживается аналогия с разделением тел), и имеет свою индивидуальную численную величину.
Надо полагать, что математическое целое не то же самое, что телесное целое. Оно есть формальное «образование» и определяет только отдельность формы числа (поскольку не имеет размерности), можно сказать формальную отдельность одного, составленного из цифр числа, от другого. В этом случае, численная величина отдельности становится ее другой качественной определенностью, оставаясь также и ее индивидуальной величиной. И потому уже невозможно считать численную величину одной отдельности бескачественной относительно численной величины другой отдельности. Отсюда следует второй вывод: формальное безразмерностное количество приобретает в отдельном своеобразное значение качества, то есть, образует единое для всех чисел количественное (численное) качество, оставаясь индивидуальным для данной отдельности, для данного числа. Рассуждая онтологически, перед нами элемент своеобразного «превращения» численной (количественной) величины числа в его качественную составляющую, ту самую составляющую, которая и обусловливает существование закона перехода количественных изменений в качественные. Именно единое для всех чисел качество - «количественная величина числа» и определяет возможность проведения различных математических операций с числами.
Проведем еще одну операцию с рядом натуральных чисел. Не будем убирать точку с запятой, а уберем через число одну точку сверху. Например:
0,1; 2,3; 4,5; …; 25,26; … ® ¥ .
Получается осмысленный ряд. Но это уже не ряд целых чисел, а ряд чисел дробных. Причем в данном ряду не окажется ни одного целого числа. Однако все числа ряда обладают качеством отдельного и по этому качеству едины сами по себе и с целыми числами. Но у них появилось и новое качество, - качество дробности. И это новое качество делает целые и дробные отдельности качественно несопоставимыми между собой. Качественно различными числами по формальной количественной качественности.
Если качество целого единственно (в том смысле, что ряд заполнен только целыми числами), то качество дробного количества - множественно (дробные числа проявляют множество различных, формальных качеств). Но именно целые числа «порождают» большое разнообразие чисел дробных. И потому, без целого не получается дробного.
Целые числа тоже образуют множество. Например, множество различных, последовательных чисел натурального ряда, проявляющихся в процессе добавления к величине предыдущего числа количественной единицы. Процесс добавления единицы нарушает качественную однородность натурального ряда, образуя два новых качественно различных вида чисел:
- четные числа;
- нечетные числа.
Это хорошо известное качественное разделение целых чисел в арифметике и заложено в основу одного важнейшего гносеологического понятия - «противоположности». Обратим внимание: понятия «четное» и «нечетное» не несут никакого противоречия. Они противоположности, понимаемые как:
- четное одно количество,
- нечетное другое количество.
И ничего более. Это не логические противоположности типа да - нет, или «+», и «-», обусловливающие возникновение именно логического противоречия, хотя они по внутреннему смыслу тоже не противоречивы. Это те количественные противоположности, которые составляют сущность диалектического закона противоположностей. В таком понимании противоположности отсутствует даже намек на противоречия. Противоположностью оказывается различие чисел по численной величине, по количественному качеству. И только.
Без чисел, входящих в натуральный ряд, невозможно представить никаких целых чисел. При этом их разнородность начинается не с четных и нечетных чисел, а с первых двух цифр ряда 0 и 1, значительно отличающихся по своим свойствам от других чисел ряда.
Нуль и «ничто», и «все». Нуль - число особого качества. Единственное число в натуральном ряду, обусловливающее проведение таких математических операций, которые не могут проводиться ни с одним другим числом. Оно не относится ни к четным, ни к нечетным числам. Оно само по себе число.
Единица тоже качественно особое число и как начало счета натурального ряда чисел, и как число, не подвергающееся степенному «воздействию», и как делитель или сомножитель других чисел и т.д. Оно целое, основа качественного отдельного всех чисел. Предтеча различия целых, дробных и других «необычных» чисел.
Однако в математике на сегодня понятия о качественном различии между целыми и дробными числами отсутствует. И потому последовательный натуральный ряд целых чисел не считается полным, поскольку между любой парой целых чисел как бы можно расположить сколь угодно большое количество чисел дробных.
Эта удивительная логика почему-то забывает, что в промежутке между любыми двумя целыми числами находится не только множество простых дробных чисел, но и не меньшее количество тоже дробных иррациональных чисел. И стоит оказаться в этом промежутке хотя бы одному иррациональному числу, то его будет достаточно, чтобы прервать последовательность любой пары чисел, демонстрируя тем самым качественное отличие дробных чисел от целых, и бессмысленность утверждения о возможности существования между целыми числами даже одного дробного числа. Новое качество - свойство иррациональности, обусловливает невозможность завершения вычисления чисел и требует, как будет показано далее, осмысленного использования их в уравнениях, особенно при возможности сокращения на иррациональные числа.
Данный пример демонстрирует нахождение среди конечных, дробных чисел (дробление которых заканчивается на некоторой операции), чисел иного качества, вычисление точной величины которых не заканчивается за бесконечный промежуток времени. Да и сами целые числа легко и незаметно включаются в состав дробных простым добавлением «бесконечного» количества нулей после запятой или делением целого числа на единицу. Например, 25/1. (Это обстоятельство и спровоцировало представление о возможности расположения между целыми числами бесчисленного количества дробных чисел.) Каждое дробное число, как и целое, является индивидуальным по своему количественному качеству и единым со всеми другими числами по качеству «отдельного».
Но качественное разнообразие математических величин не заканчивается делением их на четные и нечетные, целые и дробные. Вслед за ними появляются числа соизмеримые и несоизмеримые, иррациональные и трансцендентные, мнимые и комплексные, гиперкомплексные и … т.д., демонстрируя формальную многокачественность самих математических величин. И, следовательно, возможность проведения математических операций с ними не только по качеству отдельного (которое у некоторых видов чисел может, по-видимому, оказаться несколько иным), но и по другим качествам.
Таким образом, каждое математическое число обладает, по меньшей мере, двумя формальными диалектическими свойствами-качествами (формальными, поскольку они не имеют размерности и качественно не связаны между собой), превращающими их в отдельности и индивидуальности:
Качественное свойство, - отображающее отдельное;
Количественное свойство, - индивидуальная величина числа.
Убедившись в том, что в математике отсутствуют «голые» числа, познакомимся в самой общей форме с теми процессами, которые носят название математические операции.
Математические операции с числами - это всегда качественные процессы даже тогда, когда они проводятся с «бескачественными» числами. И они протекают, как это показано выше, в полном соответствии с законом отрицания отрицания. Но те же самые процессы являются одновременно и процессами перехода количественных изменений в качественные. Покажем это на примере простого сложения:
2 + 2 = 4.
Два тождественных однокачественных по отдельности и по численной качественности целых числа при сложении образовали целое, отдельное того же качества, но другой по признаку отдельности численной величины, количественной качественности. Новую отдельность, не равную ни одной из двух слагаемых отдельностей, и ничем не напоминающую эти отдельности. И, следовательно, количественно иную отдельность. Отдельность иного количественного качества. То, что она имеет иное качество, нам не заметно уже потому, что мы не считаем количественную величину качественным показателем, поскольку считаем ее обезличенной безразмерностной и не обладающей вещественным качеством. Но обезличенность не может являться основанием для постулирования отсутствия качеств. Математические качества хотя и имеют формальный характер, но их формальность не противоречит диалектическим законам, и более того обуславливает математическим операциям возможность строгого соблюдения законов диалектики. И уже поэтому изменение количественной величины любого числа само обусловливает изменение того или иного качества. Особенно это заметно на операциях со степенями. Возьмем, например, целое число 2 и извлечем из него квадратный корень.
Ö2 = 1,414213562… .
До извлечения квадратного корня имелось два формальных качества: целое - как отдельность и целое число - как количество. В результате извлечения корня получили: сохранение одного качества - целого, как отдельности. И появление другого количественного качества - дробности. Но эта дробность, как бы не является «правильной» дробностью, она несоизмерима ни с другими дробями, ни с другими числами, поскольку обладает еще одним дополнительным, формальным качеством - иррациональностью. Данное качество выделяет иррациональные числа не только из целых чисел, но и из дробных. Оно обуславливает им свойство численной нескончаемости, а, следовательно, и невозможность проведения точных математических операций ни с целыми, ни с дробными, ни с иррациональными числами.
Получение новой количественной величины при извлечении квадратного корня из числа 2, породило новое формальное качество, отличающееся от всех остальных математических качеств. И так же, в полном соответствии с законами диалектики, проявлялись другие формальные математические качества, вызывая изумление своей «несуразностью» и, понятной всем математикам, ненадобностью. И математики, начиная с Пифагора, прилагали массу усилий для борьбы, в течение десятилетий и столетий, с этими «несуразностями», не замечая, что противоборствуют законам диалектики.
Представление о том, как с древнейших времен кардинально решаются проблемы осознания новых открытий в науке, и в частности в математике, дает нахождение иррациональных чисел пифагорейцами, описанное в [3]: «Открытие несоизмеримых соотношений легенда приписывает Гиппазию из Метапонта (V век до н.э.). По преданию, в тот момент, когда Гиппазий пришел к этому открытию, пифагорейцы находились в открытом море, - и они выбросили Гиппазия за борт, обвинив его в том, что он привнес в мироздание элемент, противоречивший пифагорейскому учению о сводимости всех явлений природы к целым числам или их отношениям».
Если даже этот случай является легендой, то это очень показательная легенда, демонстрирующая наглядно, как тяжело воспринимается учеными все то, что вносит элемент нового в уже устоявшуюся научную парадигму.
Естественно, что закон перехода количественных изменений в качественные действует во всей математике включая геометрию. Покажем это на простом геометрическом примере. Допустим, на плоскости проведена прямая А (рис. 15), и нам неизвестно какими свойствами обладает пространство этой плоскости. Пока прямая одна, никаких вопросов не возникает. Прямая А – одно, пока неизвестное качество. Проведем еще одну прямую Б. Две прямые – это уже другое качество. Нам еще неизвестно, что это за качество и как оно связано с прямыми А и Б. Чтобы определить новое качество, необходимо определиться с постановкой задачи. Говорить о постановке задачи без представления о том, какая и для чего нужна определенность, бессмысленно, поскольку у предмета бесчисленное количество качеств. Определенность сводит их к нескольким или даже к одному. Определенность достигается изменением количества рассматриваемых качеств.
Так вот, две прямые на плоскости (в зависимости от их взаимного расположения и пространства, в котором они находятся) могут оказаться параллельными либо в статической геометрии, либо в геометрии динамической. Определенность – это и есть условие проявления того качества, к которому относится рассматриваемое
явление (фигура), а параллельность то новое качество, которое проявилось при добавлении на плоскости к одной прямой другой. Добавление нового количества в материальном мире принципиально, и всегда вызывает изменение качества.
Другое дело, заметно ли нам изменение или незаметно. Но оно всегда есть и всегда определяет нарождающееся новое качество предмета.
Перейдем к еще одному закону диалектики, закону единства противоположностей. Его очень часто и, похоже, ошибочно называют законом единства и борьбы противоположностей. Ошибка начинается с понимания термина «противоположность». Самое распространенное понимание термина включает понятия: контраст, антитеза, полярность и даже антипод, т.е. как бы в определенной степени противоречие. Но в математике не встречаются антиподы. В математике имеются числа и действия, которые хотя и противоположны по своему характеру, но определяются без всякого противоречия как одно и другое. Например, «+» и «-» : одно это плюс, другое это минус. Логические «да» или «нет» тоже обладают таким же качеством: да - это одно, нет - это другое.
Наконец, как было показано выше, последовательные четные и нечетные числа натурального ряда, которые естественно не являются противоположностями, и различаются только на единицу, тем не менее, определяются логически как противоположности. И можно сделать вывод, что противоположность это не противоречие, а две стороны одного и того же количественного качества: одно и другое.
Противоположность это не противоречие, а другое. То же самое, но другое. То же самое по качеству отдельности, но другое по количественному качеству. Математическая противоположность это численное отличие одной отдельности от другой. Количественная характеристика отдельного, или его другое качество. То самое, что отличает по величине одно число от другого. Противоположность это то, что исключает тождественность. Противоположность это изменение.
Понимание противоположности как существования полюсов у отдельного и их резкого противостояния вплоть до противоречия это не диалектика, это покушение на диалектику. Противоположность, понимаемая как противостояние, как противоборство, между качествами «отдельностей», отсутствует и не может возникнуть. Ибо это не количественное качество. Оно безразмерностная отдельность, подобная всем другим отдельностям и не изменяющаяся до определенного состояния с изменением своей количественной величины. Противоположности одной отдельности в математике не антагонистичны, они одно и то же, но разного численного количества.
Что-то приближающееся к противоречию, а скорее к безразличию, по-видимому, возникает в математике при неодинаковом изменении количественной величины каждой отдельности. Например, числа 4 и 3 - отдельности, сопоставимые между собой по количественному качеству. Допустим, число 3 возрастает и достигает величины 3×107 или другой величины. Оно становится несопоставимым с числом 4, хотя оба они продолжают обладать одинаковым качеством отдельности, и никакого противоречия между ними не возникает. Дальнейшее возрастание числа 3×107 переводит, его по количественной величине, в ранг бесконечности ¥. Число 3×107 в новом ранге ¥, становится неопределенным по численной величине и, следовательно, хотя и остается той же самой отдельностью, переходит в новое количественное качество. Качество, полностью несопоставимое с числом 4 и потому ему не противоположное, а безразличное, поскольку ни в одной математической операции они совместно уже не могут быть задействованы. И невозможно определить, противоречит ли отдельность бесконечного количества отдельности количественной величины числа 4. В математике, похоже, такое противоречие не возникает, поскольку, в отличие от природных качеств, формальные математические качества не обладают всеобщими взаимосвязями.
В вещественной природе, в отличие от математики, все качества взаимосвязаны. Однако, качество отдельного не является свойством или составной частью остальных качеств тел и не взаимосвязано с ними. Оно отображает только телесную безразмерностную самость - целое. Сами качества вещественных тел остаются неизменными до тех пор, пока существует сложившаяся взаимосвязь между ними. При изменении условий существования вещественных систем, так же как и в математике, происходит изменение численной величины каждого их свойства, постепенно перестраивающее эти взаимосвязи. Поскольку перестройка взаимосвязей происходит в условиях нелинейного изменения численных величин всех свойств (нелинейная деформация свойств), то наступает момент, когда некоторое свойство (свойства) разрушается, вызывая перестройку связей между всеми остальными свойствами. Происходит качественный скачок, количество переходит в качество. И возникает другое целое, другое вещество, имеющее другую количественную величину параметров и иную форму взаимосвязи всех свойств, иное качество. Вещество с иной численной величиной качеств, и может оказаться противоположным ранее существовавшему, возможно даже «антагонистичным» ему.
Таким образом, состояние, сопоставимое по одному качеству в формальной системе качеств, не может привести к противоречию, а только к противоположности. Противоречие возникает при несопоставимых численных величинах различных материальных качеств. Противоречия всегда вызываются разными величинами качеств. Противоположности - одинаковые качества, но разные численные количества свойств тел. Отсюда в материальной природе не может быть тождественных элементов. Постоянное численное изменение отдельного свойства тела (системы) - путь к противоречию.
Качество противоположности даже в математике может обусловливать стремление к изменению. Допустим, что имеется два последовательных числа 4 и 5. С первого же взгляда ясно, что это последовательные числа натурального ряда. В то же время они различны между собой количественно и как бы противополагаются друг другу (четное и нечетное), представляя собой количественные противоположности. Однако эти противоположности вызывают не противопоставления или противоборство, а понуждение к развитию ряда. И мы, интуитивно, не задумываясь, представляем, что слева от 4 может находиться только 3, а справа от 5 только 6. И понимаем, что этими, еще отсутствующими числами, ряд не заканчивается. Числовой путь только начинается и конца ему не предвидится. Это числовое единство отдельного, противоположного только по количественной величине, и вызывает внутреннее побуждение к развитию и к движению.
И можно констатировать: законы диалектики не нарушаются ни в одном разделе математики. Именно это обстоятельство и обусловливает математике поражающую всех универсальность и точность при использовании ее в естественных науках.
А теперь, переходя от математики чисел к геометрии, рассмотрим понятие «бесконечность» как то, что определяет пространственную протяженность (распространенность) природы и входит в качестве одной из базовых составляющих в геометрию.

(Черняев А.Ф.   Основы русской геометрии)

Понятие «бесконечность» - ¥ - зародилось, скорее всего, при осмысливании последовательности натурального числового ряда. Последовательность натурального числового ряда – очень интересная вещь. Слово «по… следовать», или следовать ПО чему либо, недвусмысленно указывает на движение. Скажем, я двигаюсь по поверхности Земли и втыкаю колышки с табличкой
Здесь колышки (цифры) неподвижны, а я двигаюсь с мешком колышков. Так вот, то, что воткнуто, пребывает неподвижным, а то, что в мешке, двигается со мной. В сущности, числовой ряд – это процесс, который начинается от точки, в которой мы в данный момент находимся. Все поставленные цифры -  колышки относятся к другому классу – к классу неподвижных объектов. И поэтому никакой бесконечности ни дурной, ни хорошей нет. Есть две вещи:
а)   ограниченное и точно известное число неподвижных объектов (мы их поставили);
б)   есть процесс, который конечен в силу дискретности, создаваемой колышком «n» и колышком «n+1».
                                            
     Строго говоря, идея бесконечности возникает в уме, который не фиксирует, что фактически совершаются два маятникоподобных движения, а именно: «рывками» движение в сторону возрастания ряда и быстрое и непрерывное мысленное возвращение в начальную точку 1. Последнее позволяет сохранить и возобновить в памяти начало процесса, ибо только начало обеспечивает бесконечность движения от него. Иначе мы в любой отрезок времени (через час, через год, через миллион лет) будем иметь дело с двумя колышками n и n +1.
Общий вывод: Дискретное, то есть конечное (отграниченное) по определению, никогда не образует бесконечность – ни как движение, ни как процесс, ни как нахождение рядом, ни как отображение пространства.
Бесконечность возникает лишь как обратная сторона безначальности, о которой мы ничего сказать не можем, так как все, с чем мы имеем дело, конечно (дискретно, отдельно), а, следовательно, начально. Безначальное – это непознаваемое целое.
Вся наша космогония, да и все остальное, использующее понятие ¥ в физике и математике, – есть не более чем игра ума, построенная на иллюзии, что конечное отличается от бесконечного только тем, что в одном случае мы видим границу, а во втором она скрыта во мраке. И здесь забывается, что конечное это одно качество, бесконечное – другое, к тому же неизвестное, качество. А потому некорректно говорить о бесконечности природы или мира. Мир безграничен (т.е. и безначален и бесконечен одновременно) – поэтому нет никаких оснований для переноса любых умственных (или наблюдаемых в опытах) построений с граничными (дискретными, отдельными, конечными) объектами на него. Отсюда и все математические трюки с Вселенной, которая становится хоть и бесконечной, но ограниченной.
Для демонстрации непонимания бесконечности приведем пример о возрасте Вселенной из Клайна [3]:
«Начиная с Аристотеля, математики проводили различия между актуальной бесконечностью объектов и потенциальной бесконечностью. Чтобы пояснить эти понятия, рассмотрим возраст Вселенной. Если предположить, что Вселенная возникла в какой-то момент времени, в далеком прошлом, и будет существовать вечно, то ее возраст потенциально бесконечен: в любой момент времени возраст Вселенной конечен, но он продолжает возрастать и, в конце концов, превзойдет любое число лет. Множество (положительных) целых чисел также потенциально бесконечно: оборвав счет, например, на миллионе, мы всегда можем затем прибавить к нему 1, 2, и т.д. Но если Вселенная существовала в прошлом всегда, то ее возраст в любой момент времени актуально бесконечен. Аналогично множество целых чисел, рассматриваемое в «готовом виде» как существующая совокупность, актуально бесконечно».
Этот пример очень показательно демонстрирует непонимание качества бесконечности:
 Если Вселенная возникла, то она не может существовать вечно, так как вечно – это существовать всегда.
-   Если же Вселенная существует всегда, то она не имеет возраста, так как растет только то, что ранее возникло, то есть, что движется от … к … ,  и, следовательно, конечно.
Отсюда бесконечное множество целых чисел в «готовом» виде существовать не может даже мысленно, поскольку для своего существования оно требует числа, с которого начинается отсчет. То есть наличия  границы.
Поскольку бесконечное как безграничное качественно отличается от конечного, и неизвестно в чем заключается это отличие, математические операции с бесконечностью по правилам логики неправомерны. Единственное качество, которое известно о бесконечности, это безграничность, одновременное существование бесконечности и безначальности (полностью отсутствуют колышки, как и числа). Но если сущность бесконечного – безграничность, то ставится под сомнение корректность целого сонма математических теорем и даже разделов, например, теории бесконечных множеств Кантора, и, в частности, идеи взаимно однозначного соответствия между множествами. Взаимно однозначное соответствие предполагает, что на всем протяжении безграничного числового поля качество определяемого пространства и чисел, его заполняющих, остается неизменным. То есть опирается на формальную бескачественность чисел самих по себе. Покажем это еще на одном примере из того же Клайна [3]:
«Основная идея сводилась к установлению взаимно однозначного соответствия между множествами. Так, 5 книгам и 5 шарам можно сопоставить одно и то же число 5 потому, что книги и шары можно разбить на пары, каждая из которых содержит по одной и только по одной книге и по одному и только по одному, шару. Аналогичное разбиение на пары Кантор применил, устанавливая взаимно однозначное соответствие между элементами бесконечных множеств. Например, взаимно однозначное соответствие между положительными целыми числами и четными числами можно установить, объединив те и другие в пары:
1   2   3   4    5 …
2   4   6   8   10 …
Каждому целому числу при этом соответствует ровно одно четное число (равное удвоенному целому), а каждому четному числу соответствует ровно одно целое число (равное половине четного). Следовательно, в каждом из двух бесконечных множеств - целых чисел и множества четных чисел – элементов столько же, сколько и в другом множестве. Установленное соответствие (то, что все множество целых чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с частью этого множества) казалось неразумным предшественникам Кантора и заставляло их отвергать все попытки рассмотрения бесконечных множеств. Но это не испугало Кантора».
Предшественники Кантора интуитивно чувствовали, что за понятием бесконечности, может оказаться нечто неопределенное и неизвестное, что и заставляло их сомневаться в возможности объединения бесконечного множества чисел в единое множество даже во взаимно однозначном соответствии. Но объединение оказывается невозможным в первую очередь потому, что сами числа обладают формальными качествами. Мы об этом можем и не догадываться, но числа-то этого никогда «не забывают». И в указанном примере во взаимно однозначное соответствие ставятся цифры числовой последовательности натурального ряда, не имеющие качества (смешаны четные и нечетные числа), числам четным, то есть имеющим одинаковое качество, и получаем сапоги всмятку. Это одно. Другое же заключатся в том, что в безначальности-бесконечности мы произвольным образом устанавливаем начало – 1 в первом ряду и 2 во втором, что несопоставимо, поскольку неизвестно, к какой отдельности принадлежит первое нечетное число и второе – четное число. А это уже совсем иное «взаимно однозначное» соответствие, не имеющее никакого отношения к бесконечным множествам. И получается, что «бесконечное множество» Кантора очередная иллюзия, мешок, в отверстие которого сыплется все, что попало (в основном цифры как значки или числа как величины). Возможны два варианта:
1.   Мешок не имеет дна (не является множеством как объектом) и как был пустым, так пустым и остается в любой момент «заполнения»
2.   Мешка нет вообще, – есть только воображаемое отверстие и «вещественные числа», которые берутся снизу и суются в отверстие сверху.
И то и другое не имеет отношения к понятию бесконечности.
Опираясь на бескачественность математических понятий, Кантор установил невозможное - взаимно однозначное соответствие между точками прямой, плоскости и n-мерного пространства. При этом игнорировалось, что каждый из этих протяженных объектов обладает самостоятельным качеством, различной размерностью и потому не может находиться во взаимно однозначном соответствии друг другу. А их качественное различие, как и качественное различие целых и дробных чисел, не может образовывать взаимно однозначного соответствия.
Но вернемся к математике и вспомним, что понятие бесконечности в современной науке в первую очередь является понятием математическим. По-видимому, исторически свое начало оно ведет из древних Индии, Египта и Греции. Мыслилось оно и как реальное вещественное пространство, бесконечное вширь (в смысле отсутствия внешних границ, безграничное наружу). И как пространство каждого места, бесконечное «вглубь» (в смысле бесконечной делимости, безграничное внутрь). В свою очередь качественная бесконечность мыслилась двояко: как движение, нескончаемый процесс, постоянное становление (потенциальная бесконечность) или как нечто мысленно данное, имеющееся пустое бытие (актуальная бесконечность). Опуская иные определения бесконечности из-за их недостаточной диалектической обоснованности, рассмотрим оставшееся в науке деление, опять же на две части, понятия «бесконечность». И эта своего рода дихотомия тоже не является случайностью. Она - следствие диалектического обобщения категорий покоя и движения и распространение этого обобщения за границы окружающего мира. При этом потенциальная вещественная бесконечность (протяженность) символизирует непрерывность движения, его постоянную незавершенность, неопределенность и неисчерпаемость в любой области пространства как вглубь, так и наружу. Бесконечность же актуальная в свою очередь мыслится (именно мыслится, поскольку не имеет никакого отношения к реальной бесконечности) как пустота с плавающими в ней отдельными телами, как статическая данность, существующая повсеместно в виде некоторых структур и проявляющаяся в самых различных, вещественных объектах в безграничной области пустого пространства. Но проявляющаяся не как всеобщая, зримая субстанция, не как взаимосвязанная с пространством сущность, а как вкрапинки единой картины, как элементы неподвижной мозаики, выхваченные без связей из общей системы актуальной бесконечности, представители единой, мыслимой абсолютно абстрактной структуры мира (основа абстрактной статической геометрии).
Можно предполагать, что отображение и актуальной, и потенциальной бесконечности в геометрии есть следствие, с одной стороны логики отображаемого предмета и своеобразия реального мира, а с другой - влияние на восприятие этого мира особенностей ощущения человека. Поэтому при рассмотрении геометрической бесконечности приходится интегрировать эти области на актуальные и на потенциальные аспекты проблемы. Попробуем определить диалектику качеств, которые следует ожидать и в актуальной мыслимой, и в потенциальной бесконечности. Рассмотрение начнем с достаточно изученной, но это не значит, что с более понятной, не имеющей четких границ в математике, актуальной бесконечности.
Актуальная геометрическая бесконечность - метрическое трехмерное пустое (следовательно, только мыслимое), изотропное, однородное пространство - понимается как самостоятельная субстанция, наполненная статической (тоже мыслимой) материей - точками, структурированной по иерархии равнозначных бесконечностей. Она воспринимается внешним наблюдателем как фон, как метрическое, трехмерное изотропное пространство. Пространство как субстанция точек и фигур безгранично, непрерывно и бесконечно по длине, но не обладает протяженностью, образует однородную и изотропную нематериальную систему (пустую вместимость). Время, как и пространство, самостоятельная субстанция, а потому в актуальной геометрической бесконечности отсутствует. При теоретическом описании предметов актуальной бесконечности материальные объекты заменяются точками, связи иногда линиями, а чаще опускаются, что может приводить к распадению взаимосвязей системы. Прямые и точки равнозначны и взаимообратимы во всем бесконечном пространстве. Движение точек фиктивно, мыслимо, нереально и как бы воспроизводит (проявляет) элементы уже наличествующей структуры, но воспроизводит не как результат движения, а как проявление уже имеющихся, но скрытых в этой области данных фигур и элементов. Движения, как изменения положения точки (фигуры) относительно пространства или других фигур, в актуальной геометрии не существует. Проявление, отображаясь траекториями, происходит без взаимодействия с пространством, т.е. по инерции.
Актуальная бесконечность геометрически представляется как вневременной набор в определенном порядке некоторого множества протяженных (безграничных) равнозначных и непрерывных структур, не имеющих конца и как бы налагающихся друг на друга. Качественные различия между структурами отсутствуют. Переход от одной бесконечности к другой осуществляется скачком (и трудно представим). Метричность (при ее использовании) ни в фиктивном (мыслимом) движении, ни в переходе по количественной величине не меняется. Реальное движение в актуальной бесконечности неосуществимо. Каждая из «возникающих» в ней геометрий описывает параметры одной или нескольких структур.
Отсутствие качественных свойств и связей между геометрическими структурами обусловливает возможность теоретического рассмотрения четырех и более мерных, актуальных бесконечностей, хотя эмпирического подтверждения этому не наблюдается, и нет ясности в понимании того, что же определяет пространственную мерность, так же как и нет подтверждения замкнутости или искривленности пространства. Фиктивная замкнутость или искривленность - следствие теоретического применения методов определения кривизны Гаусса и варьирования граничными условиями, предполагает возможность существования безграничного, но конечного пространства, и не является элементом актуальной бесконечности, а некорректным смешиванием плоскостности (одного качества) с протяженностью (другого качества), к тому же относящегося не к актуальному, а к потенциальному пространству.
Здесь следует отметить ошибочность введения в геометрию Риманом понятия «безграничного» пространства как некоторого аналога понятию «бесконечного». Безграничное, по Риману, понимается не как поверхность некоторой ничем не ограниченной бесконечной протяженности, а как поверхность конечной протяженности, не имеющей границ. В качестве примера указывается на поверхность сферы, которая не имеет границ, но, тем не менее, конечна по численной величине. Здесь имеет место путаница в понятиях. Она вызвана отсутствием в современной геометрии понятия «качество» и игнорированием протяженности как качественного свойства. Понятие протяженность предполагает одним из своих свойств, структурную безграничность во всех направлениях от любого центра или рассматриваемой точки. Т.е. то качество, которым не может обладать сферическая плоскость - другое качество. И потому понятие сферическая безграничность не является аналогом понятия бесконечность. Оно всегда отграничение одного объема от другого. Всегда конечное для определенного направления протяженности, кроме параллельного. (Для сферы - ограничение протяженности во всех направлениях, если исходить из ее центра, т.е. ограничение бесконечности.)
Введение в некоторое геометрическое пространство актуальной бесконечности несобственных точек, прямых и абсолюта, нарушает равнозначность геометрических элементов, деформирует актуальность и привносит в данные статические геометрии отдельные качества потенциальной бесконечности. И это вполне естественно. Актуальная и потенциальная геометрии, похоже, неразрывны в формальном мышлении и в своих отображениях, но не в природе.
Все геометрии, кроме статической геометрии Евклида, как и возможно вся математика, построены с использованием как свойств актуальной, так и потенциальной бесконечности. Однако в них значительно преобладают свойства актуальной бесконечности. Изучение свойств потенциальной бесконечности только начинается и потому охарактеризовать их значительно сложнее, да и геометрия, имеющая своим базисом потенциальную бесконечность, только создается. Рассмотрим некоторые из свойств, которые проявляются в потенциальной бесконечности.
Прежде всего, потенциальная бесконечность предполагает материальность (телесность) пространства и его бесконечное самодвижение. Самодвижение как атрибут материи включает и движение тел относительно самих себя (пульсация) и перемещение их относительно друг друга и пространства. Именно повсеместное нескончаемое движение является символом потенциальной бесконечности. И его полностью отображает девиз, использованный капитаном Немо: «Подвижное в подвижном». Но не только движение.
Материальность и безграничность, понимаемые как бесконечность внутрь и наружу, предполагают наличие качественной иерархической, разграниченной между собой ранговой, ячеистой, взаимосвязанной структуры бесконечностей так, что каждый их уровень дискретен сам для себя и состоит из взаимосвязанных динамических ячеек. Но для «верхнего» ранга эта дискретность проявляется как непрерывность. То есть, как дискретность не различается. Эта непроявляемость дискретности - следствие несводимости одинаковых по мощности (одно качество), но различных по взаимодействию рангов (другое качество).
Пространство потенциальной бесконечности образуется определенным образом структурированной материей и обладает всеми свойствами материальных тел. Искривленность поверхности тел и пространства в смысле Римана, как и Эйнштейна, отсутствует. Свойства тел, включая время, бесчисленны, взаимосвязаны, взаимозависимы и принадлежат всем телам во всем бесконечном пространстве, как и самому пространству.
Тела движутся в вещественном пространстве, взаимодействуя с пространством и изменяя скорость в результате взаимодействия, с одновременным изменением количественных величин своих свойств. Само пространство повсюду неоднородно и анизотропно как вглубь, так и наружу. Его анизотропность проявляется в самодвижении, в существовании напряженностей различных полей, в наличии многоплотностных образований в каждой области пространства.
Потенциальная бесконечность многоплотностна (многомерна). Каждая мерность связана со всеми свойствами тел, образующих пространство, и обусловлена соответствующей плотностью. Введение методом Римана большого количества взаимно независимых мерностей возможно только мысленно и только в актуальном пространстве. Оно не отображает качественных различий в протяженностях и приводит к разрушению взаимосвязи между свойствами пространства.
При переходе к геометрии потенциальной бесконечности следует учитывать, что сложившееся понимание первичных элементов: точки, прямой, плоскости вряд ли применимо в рамках потенциальной бесконечности. Так, точка в потенциальной геометрии представляет собой бесконечную внутрь и отграниченную от внешнего пространства поверхностью сферу определенного ранга (короче - точка это сфера, не имеющая центра). Ее ранг не сопоставим с рангом окружающего пространства. Напряженные точки одного ранга при сближении «отталкиваются», а при раздвигании «притягиваются». То есть обладают физическими свойствами. Поэтому точки одного ранга не могут «выстраиваться» в линию «впритык». Обязательно между ними должно оставаться опять же несоизмеримое по рангу пространство, содержащее нейтральную зону одинаковой с другой точкой напряженности. Точки же различных рангов несовместимы и не могут «соседствовать» друг с другом. Движение точек (в смысле перемещения) сопровождается их качественным и количественным изменениями, а параметры движения определяются напряженностью внешнего поля. Метричность, в смысле существования жесткого неизменного во всех областях пространства единого эталонного метра, отсутствует (следствие анизотропности пространства). Движение твердого тела (метра) в любом направлении (кроме эквипотенциальной поверхности) сопровождается изменением его объема, и, следовательно, протяженности (конечно в сопоставлении со статическим состоянием). Геометрическая линия в потенциальном пространстве - условность. Она может быть проведена от поверхности одной точки до поверхности другой. За этой поверхностью линия стремится в бесконечность к недостижимому центру точки, и потому ее длина тоже бесконечна, а точка - всегда разрыв линии. Линией можно полагать след траектории движущейся точки. А поскольку точка в анизотропном пространстве не может двигаться с постоянной скоростью, то «искривление» линии и будет отражать эту реальность.
Движение и самодвижение тел-точек их силовая деформация (динамика) такая же равноправная категория геометрии, как и покой. Однако отображать движение в геометрии сложнее еще и потому, что именно покой как статичность - основная категория, определяющая структуру существующих геометрических соотношений (инвариантов) и одновременно динамичность как инвариантное отображение их бесконечности.
Таким образом, представление актуальной и потенциальной бесконечности имеет как общие свойства, связанные с самой бесконечностью, с ее неопределенностью, и безграничностью, так и различные свойства, характеризуемые для актуальности статичностью бесконечности, а для потенциальности - напряженностью, инвариантным «движением», становлением. Так, актуальную бесконечность наиболее полно отображает евклидова геометрия, а основные положения геометрии, отражающей потенциальную бесконечность, будут изложены ниже. Все остальные геометрии включают в себя в различных пропорциях свойства как актуальной, так и потенциальной бесконечности.
Однако оба вида бесконечности, - актуальная и потенциальная обладают одним общим качеством, которое, как это ни удивительно, до сих пор пропущено в философской литературе, делая ущербным и односторонним само понимание термина «бесконечность».
Рассмотрим, что же, в соответствии с диалектической логикой, означает само понятие «бесконечность», исходя не из понимания безграничной протяженности или пространственной распространенности, а из того, какой термин отображает противоположное понятие.
Общепринято и в учебниках по философии зафиксировано, что антиподом понятия «бесконечное» является понятие «конечное». Но понятие «конечное» предполагает существование у бесконечного «начала». Однако бесконечное потому и бесконечное, что не имеет ни начала, ни конца. Да и само «конечное» существует не потому, что имеется его «антипод» бесконечное, а потому, что существует более явный антипод «начальное». Понятие «конечное» антипод понятию «начальное», по структуре самой логики. Там, где появляется «конечное» почти всегда можно найти «начальное», но практически никогда «бесконечное», разве что в философской литературе. Так как «бесконечное» не имеет ни начала, ни конца, то и быть прямым  антиподом конечного оно не может по определению. А поскольку в бесконечном «начало» и «конец» отсутствуют, то антиподом его может быть только термин «безначальное»
Понятие «бесконечное» по диалектике - это одновременно «безначальное».
Безначальное как антипод бесконечного логически отрицает существование конечного. Там где есть бесконечное, конечного быть не может.
По-другому говоря, у бесконечного ни в одной точке пространства не может быть начала. Бесконечный мир по определению не имеет ни конца, ни начала.
В сущности термин «бесконечное» это проявление антропоцентризма. Субъект всегда «движется» в бесконечность от себя, как от начала, как бы становясь центром мира. Не имея представления о безначальном, мы при бытийном логическом мышлении не можем выйти на понятие «конечное» и вынуждены вводить этот термин «руками», опираясь на эмпирику каждодневного и постоянного общения с конечными вещами. Вводить конечное, логически ошибочно понимаемое как противопоставление бесконечному. О понятии «конечное» философы уже были информированы хорошо, хотя и получили эту информацию, «перепрыгнув» через безначальное.
И, в общем-то, можно было бы и дальше обходиться без термина «безначальное». Но, не имея его, мы не в состоянии объяснить существование конечного в бесконечном. И более того, необъяснимым оказывается то обстоятельство, что бесконечное образуется вещами только конечными, поскольку у данных антиподов отсутствует переход от конечного к бесконечному. При наличии безначального возникает возможность такого перехода. И элементом перехода становится точка, тело другого ранга относительно бесконечного. То есть то, что по своему рангу не сопоставимо ни с чем и не имеет ни начала, ни конца (то, что ни начальное, ни конечное). Точка-тело, возникшая в бесконечности, сама по себе ни начало, ни конец и существует как бы как «неподвижное» образование. Но в природе неподвижность отсутствует и потому, пульсируя в унисон с окружающим пространством, точка приобретает движение. И в момент минимума и максимума пульсации у точки проявляются начало и конец. Безначальное становится начальным, а начальное, это то же, что и конечное. Так проявляет себя конечное в бесконечном. Так структура бесконечного образуется структурами конечными. Так может появляться выделенная точка на бесконечности в любой области этой самой бесконечности. Базисная точка, точка от которой начинается конечное в бесконечном.  
Повторимся. Рассуждая о бесконечности и конечности на бытийно-логическом уровне, мы упираемся в скрытое противоречие отсутствия либо бесконечности, либо конечности вещей. Если у бесконечного отсутствует начало, то отсутствует и конец. Получается, что в природе нет ничего конечного. И, следовательно, нет никаких конечных вещей и нас с вами - конечных, рассуждающих о бесконечности. И снова перед нами антиномия и эта антиномия логически не преодолевается. Ее просто пропустили, постулировав самостоятельное существование конечного и бесконечного. Но мы-то существуем, доказывая это даже своими рассуждениями, и тем самым каким-то образом совершаем алогизм, разрешая противоречие. Каким же образом?
Мы уже констатировали, что бесконечное есть безначальное и вся природа не имеет ни начала, ни конца. Если этот тезис правомерен, то правомерен и противоположный тезис: каждая точка пространства есть начальная точка конечного, она же и конечная точка бесконечного. А из этой посылки вытекает одно из основных положений диалектики: Любая точка пространства и конечна, и бесконечна, и начальна, и безначальна. Все и конечно, и бесконечно. Каждая точка (тело) пространства индивидуальна. Тождественные точки (тела) в нем отсутствуют». Конечное и бесконечное в точке есть результат позиции наблюдателя (субъекта). Наблюдатель вне точки (тела) фиксирует ее конечность. «Переместившись» внутрь - фиксирует ее бесконечность.
Но, имея представление о безначальном и начальном, мы встаем перед проблемой: Как определиться в бесконечности с безначальной точкой? Иначе говоря, как выяснить в какой точке бесконечного пространства мы находимся? Ведь если каждая точка пространства индивидуальна, то мы, находясь на ней, должны всегда иметь возможность определить место своего нахождения, определиться с индивидуальностью этого места. Именно это и следует из диалектики начального и безначального. Естественно, что до постановки такого вопроса ответа на него не было. И современная математика такого ответа не дает. Поэтому оставим этот вопрос и перейдем к качественным аспектам математики.