А. П. Володченко Генетическое построение геометрии Евклида

Прочтите, и станет возможным обсуждение.
 
В С Т У П Л Е Н И Е
 
Геометрия  в  изложении  Евклида  служила  науке  и  практике  слишком
долго, чтобы сомневаться в её основах и результатах. Но современное понима-ние слова “геометрия” отличается от древнегреческого.
Начертательная  геометрия  взяла  из  геометрии  Евклида  прямоугольную
систему координат и параллельное проектирование. Аналитическая геометрия
при тех же заимствованиях развила численные исследования. Сферическая гео-метрия  поместила  наблюдателя  в  центр  семейства  концентрических  сфер  и
разработала методы отражения неба на плоскости с учётом свойств углов. Это
примеры того, как общая база геометрии Евклида служит разным прикладным
задачам без изменения объёма и свойств исходных понятий.
Проективная геометрия объявила одинаковыми две плоские фигуры, если
они могут быть получены одна из другой центральным проектированием  –  это
позволило научно изучать перспективу, в частности, при её передаче в карти-нах; для логической полноты потребовались и неевклидовские бесконечно уда-лённые объекты. Геометрии Лобачевского и Римана существенно не по-евкли-довски  истолковали  свойства  прямых  линий  и  углов  на  специальных
поверхностях. Это могло бы быть очередными прикладными областями геомет-рии. Однако интерпретации этих геометрий подняли вопрос о том, что именно
они,  а  не  геометрия  Евклида  правильно  отражают  свойства  пространства  в
масштабах  Вселенной  [2,10].  Для  экспериментальной  проверки  этого  тезиса
Гаусс использовал горные вершины, а Лобачевский  –  звёзды. Вопрос  “повис в
воздухе”  из-за недостаточной точности измерений, но неевклидовы геометрии
считают, что геометрия Евклида является их частным случаем при бесконечно
большом  радиусе  кривизны  их  поверхностей  (  сферы,  псевдосферы  )  [7,11].
Неспециалистов  это  вводит  в  заблуждение,  но  даже  специалисты  серьёзно
обсуждают,  какая  из  геометрий  справедлива  для  микромира,  макромира,
Вселенной, “пространства скоростей” [2,6,7,8,10,12]. 
Цитата  [10,стр.221]:  “Осознание  того,  что  любая  дедуктивная  система
должна содержать неопределяемые понятия, которые можно интерпретировать
как  угодно,  лишь  бы  вводимые  объекты  удовлетворяли  аксиомам,  подняло
математику на новый уровень абстракции …что геометрия не сводится исклю-чительно  к  изучению  реального,  физического  пространства.  Геометрия  –
конструкция  чисто  математическая.  Она  применима  для  описания  реального
пространства, но отнюдь не исчерпывается этой своей интерпретацией.”
Наша цель  –  сохраняя образность геометрии Евклида, вернуть её объек-там интуитивно понятный смысл, устранить сомнение в правильности отраже-ния ею свойств пространства и тем самым вернуть нашему рассудку опору на
опыт. Прикладные удобства других математических моделей нас не волнуют.
Считается,  что  Евклид  изложил  свою  геометрию  дедуктивно,  но  это  не
так. Дедуктивными в его изложении являются только отдельные звенья в цепи
рассуждений. Начальными понятиями приняты три типа объектов, их свойства
косвенно  описываются  аксиомами,  из  которых  выводятся  теоремы,  а  потом
накопленные знания переносятся в пространство, понимаемое как формальное
множество  трёх  типов  объектов.  То  есть,  совершается  переход  от  частного  к
общему,  а  это  есть  индукция  с  её  неднозначными  следствиями.  Начатое
Лобачевским изменение системы аксиом и последовавший за этим произвол в
выборе исходных аксиом только подчёркивают индуктивный характер аксиома-тического  построения  геометрии,  если  оно  начинается  с  точки,  как  наимень-шего объекта. По нашему мнению, в дедуктивной теории исходным понятием
должно  быть  нечто  всеобъемлющее  по  отношению  к  другим  объектам  этой
теории. Для геометрии это – пространство.
Цитата  [1,стр.103]:  “По  направленности  логического  следования,  т.  е.
характеру связи между знаниями различной степени общности, содержащимися
в  посылках  и  заключении,  все  умозаключения  делятся  на  следующие  виды:
дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии.” 
Приводим аналогию к структуре всех геометрий, как мы её понимаем – из
кирпичей строятся стены разных форм, назначений и размеров; всё это разме-щено  в  пространстве,  но  не  занимает  всё  пространство,  не  составляет  его
полностью; на примере кирпичей невозможно понять свойства пространства.
Для достижения вышеобъявленной цели мы отказались от аксиоматичес-кого  метода построения  геометрии. В  нашем изложении точка, линия, прямая
линия,  сфера,  поверхность,  тело,  угол,  треугольник,  плоскость,  окружность
явно и конструктивно определяются именно в такой последовательности ( см.
Оглавление ). Пространство принято исходным понятием. Всё рассмотренное в
данной работе до понятия  суммы углов не  может быть оспорено ни  одной из
существующих геометрий и составляет в некотором роде абсолютную геомет-рию.  В  этот  абсолют  входит  и  теорема  (  не  аксиома!  )  о  существовании  и
единственности  параллельных  прямых  заданного  направления.  Показано,  что
только  суммирование  углов  и  переход  к  изучению  многоугольников  потребо-вали  использовать  собственные  свойства  плоскости,  а  все  признаки  равенства
треугольников  вытекают  из  свойств  пространства  и  прямых  линий  в  нём  до
определения  плоскости.  В  традиционном  построении  геометрии  этот  факт  не
проявлялся.
По  результатам  данной  работы  представляется  следующая  картина:
свойства точек, евклидовых прямых и плоских углов в пространстве применя-ются  в анализе свойств объектов геометрий Евклида, Лобачевского и Римана,
впротивовес этим разрозненным геометриям с собственным  “пространством”  в
каждой  из  них.  Именно  такое  понимание  Пространства  вокруг  нас  и  в  нас
можно считать достигнутой целью автора. Из работ [7,10] следует, что такое же
понимание  пространства  используется  исследователями  при  недостаточности
средств  двумерной  геометрии,  однако  результаты  исследования  намеренно
возвращаются в рамки планиметрии.
Для  чего  нам  нужны  геометрические  знания?  Землемерие,  техника,
астрономия  –  это во-первых. Логика  –  во-вторых. В-третьих, перспектива кос-
мической навигации  и анализ микромира. Но если в логике можно  быть фор-мальным,  то  при  взаимодействии  с  реальным  миром  формализм  недопустим!
Не  можем  мы  Пространству  навязывать  выдуманные  свойства.  Поэтому  надо
изучать единое пространство с единых позиций без субъективных ограничений.
Генетический  метод построения теории  [4]  отличается от аксиоматичес-кого тем, что при нём аксиомы не используются в качестве исходных предло-жений  теории,  а  всем  изучаемым  объектам  даётся  определение,  содержащее
способ их образования или опознания. Применяя этот метод к геометрии, автор
данной работы примыкает к сторонникам конструктивной логики [4], особенно
при  обсуждении  бесконечности.  Сторонники  классической  логики  и  традици-онной геометрии на этом основании могут проявить антагонизм, например, при
обсуждении  авторского  понимания  взаимодействия  дискретного  и  непрерыв-ного. Само это понимание выявляется в работе постепенно и шлифуется почти
до её конца. Поэтому рекомендуется читать работу без пропусков даже давно
известных  вопросов  –  при  генетическом  построении  теории  каждый  следую-щий шаг и вывод опираются на совокупность предыдущих, а в формулировках
отражаются важные нюансы. Этой же цели служит сквозная нумерация всего,
на что приходится ссылаться в рассуждениях.
Система  определений,  аксиом,  постулатов  Евклида  цитируется  по  [9]  и
служит фоном для генетического метода построения геометрии ( текст аксиом в
этом  учебнике  не  содержит  буквенных  обозначений  подобно  [7]  ).  Важно
отметить,  что  вся  исходная  база  Евклида  задействована  в  данной  работе  без
изменения смысла. Этот эффект комментируется в разделе 18.1.
Определения Евклида:
Е1
– Точка есть то, что не имеет частей.
Е2
– Линия есть длина без ширины.
Е3
– Границы линии суть точки.
Е4
–  Прямая линия есть та, которая одинаково расположена относительно
всех своих точек. 
Е5
– Поверхность есть то, что имеет длину и ширину.
Е6
– Границы поверхности суть линии.
Е7
–  Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена отно-сительно всех своих прямых.
Е8
– Телом называется то, что имеет длину, ширину и глубину.
Е9
– Границы тела суть поверхности.
Аксиомы Евклида:
Е10
– Равные одному и тому же равны между собой.
Е11
– Если к равным прибавить поровну, то суммы будут равны.
Е12
– Если от равных отнять поровну, то остатки будут равны.
Е13
– Совмещающиеся друг с другом равны.
Е14
– Целое больше своей части.
Постулаты Евклида:
Е15
–  От  каждой  точки  до  каждой  другой  точки  можно  провести  одну
прямую линию.
Е16
– Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Е17
– Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.
Е18
– Все прямые углы равны между собой.
Е19
–  Две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по
одну  сторону  внутренние  углы,  в  сумме  меньше  двух  прямых,  при
продолжении в ту же сторону пересекаются.
Далее  вводится  сквозная  нумерация  определений  (  Оi
),  аксиом  (  А
i
)  и
теорем  (  Т
i
).  Некоторые  из  них  оригинальны,  но  есть  и  заимствованные  из
традиционного курса геометрии без ссылок на источники.
При  изложении  материала  не  учитывались  педагогические  аспекты  пре-подавания геометрии, поэтому данная работа не является учебником. Однако и
игрой в слова она не может считаться, так как её понятия отражают проблемы

отношения нашего разума к реальному миру.


(см. далее https://yadi.sk/i/G_AYYk8Q3NskkZ )