Клайн М. Математика. Поиск истины
Страница 1 из 1
Клайн М. Математика. Поиск истины
Белов Сб Мар 12, 2011 9:10 pm
Клайн М. Математика. Поиск истины Зарождение математики и ее роль в познании
ЗАРОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ РОЛЬ В ПОЗНАНИИ
Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в ней математика*.
Кант
Боги открыли людям не все. В поиск пустив¬шись, люди сами открыли немало.
Ксенофан
Платье нередко многое говорит о человеке. Шекспир
Хотя информация, которую мы получаем от наших органов ЧУBCTB, рассматривается, анализируется, подвергается экспери¬ментальной проверке и хотя мы располагаем ныне такими мощ¬ными вспомогательными средствами, как телескоп, микроскоп и различного рода приборы, позволяющие производить всевозмож¬ные наблюдения, а также точнейшими измерительными устрой¬ствами, полученное с их помощью знание ограниченно и может считаться достоверными лишь в определенных пределах. Нам гораздо больше известно, чем раньше, о числе планет, о сущест¬вовании у некоторых из них спутников, о темных пятнах на Солн¬це, о применении компаса в навигации. Но достигнутый про¬гресс знания составляет лишь крохотную толику того поистине неисчерпаемого множества разнообразных и важных явлений, которые нам необходимо и желательно знать.
Решающий, гигантский по своим масштабам и непреходящий по своему значению шаг к расширению и приумножению нашего знания внешнего мира был сделан, когда для изучения его стали применять математику. Математика не только уточнила и расши¬рила наше знание явлений, доступных органам чувств человека, но и позволила открыть весьма важные явления, не воспри¬нимаемые нами, но оттого не менее реальные по их воздействию, чем прикосновение к раскаленной плите. То, что в нашей повседневной жизни незримо присутствуют такие физические «духи», не вызывает сомнений. О том, как они были открыты, и пойдет наш рассказ.
Для нас, получивших современное образование, природа и «земные» приложения математики хорошо известны и воспри¬нимаются как нечто само собой разумеющееся. Еще цивилизации, которые мы считаем творцами западно-европейской математики, а именно цивилизации Древнего Египта и Вавилона, около 3000 лет до н. э. создали набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения практических задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Вавилоняне и египтяне не сознавали, что математика способна распространить их знание природы за пределы доступного чувственному опыту. Созданную ими "математику можно сравнить с алхимией, пред¬шествовавшей химии.
Математика как логический вывод и средство познания при¬роды — творение древних греков, которым они начали всерьез заниматься примерно за шесть веков до новой эры. Не сохранилось никаких документов VI — V вв. до н. э., способных рассказать нам, что заставило древних греков прийти к новому пониманию математики и ее роли. Вместо этого мы располагаем лишь более или менее правдоподобными догадками историков, один из которых, в частности, утверждает, что греки обнаружили противоречия в результатах, полученных древними вавилонянами при определении площади круга, и вознамерились выяснить, какой из результатов верен. Аналогичные расхождения обнаружились и по другим вопросам. В качестве еще одного объяснения историки ссылаются на философские интересы греков, но это только догадки, которые скорее поднимают вопросы, чем дают объяснения. Кое-кто считает, что дедуктивная математика ведет свою родословную от аристотелевской логики, возникшей в пылу дискуссий на общественно-политические темы. Однако древнегре¬ческая, математика зародилась до Аристотеля.
По-видимому, нам остается лишь констатировать, что у греков начиная с VI в. до н. э. сложилось определенное миропонимание, сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете является математическим. Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к изучению природы, то лежащий в основе мироздания мате-матический план удастся раскрыть и познать.
Как бы то ни было, именно греки были первыми, кому достало дерзости и гения дать рациональное объяснение явлений при¬роды. Неуемная тяга греков к познанию была окрашена волную¬щими, переживаниями поиска и исследования. Занимаясь изыска¬ниями, греки наносили новые области знания на «карты» (при¬мером такой «карты» может служить геометрия Евклида), чтобы те, кто идет следом, могли скорее достичь границ неведомого и принять участие в освоении новых областей.
На несколько более прочной исторической основе мы стоим, когда ссылаемся на то, что Фалес (около 640—546 до н. э.) из греческого города Милета в Малой Азии доказал несколько теорем евклидовой геометрии. Никаких документов того времени не сохранилось, и утверждение, что Фалес Милетский доказал теоремы логическими средствами довольно спорно. Не подлежит, однако, сомнению, что и он, и его современники в Малой Азии размышляли о плане, заложенном в основы мироздания.
Более достоверно известно, что разработанная пифагорейцами (мистическо-религиозным орденом, существовавшим в VI в. до н.э.) программа выявления рационального плана, лежащего в осно¬ве природы, предусматривала использование математики. Пифаго¬рейцев поражало, что физически столь разнообразные объекты обнаруживают тождественные математические свойства. Напри¬мер, Луна и резиновый мяч имеют одинаковую форму и много других общих свойств, присущих всем шарам. Разве не очевидно, что математические соотношения, кроющиеся за внешним раз¬нообразием, и должны быть сущностью явлений?
Если говорить более конкретно, то пифагорейцы усматривали сущность вещей и явлений в числе и числовых соотношениях. Число для них, было первым принципом в описании природы, оно же считалось материей и формой мира. По преданию, пифа¬горейцы полагали, что «все вещи суть числа». Их вера в число станет более понятной, если учесть, что пифагорейцы представляли числа наглядно в виде множеств точек (возможно, симво¬лизировавших для них частицы) и располагали точки в виде фигур, которые могли представлять реальные объекты. Например, множества назывались соответственно треугольными и квадратными числами и вполне могли представлять треугольные и квадратные объекты. Не подлежит сомнению и то, что, когда пифагорейцы развили и усовершенствовали свое учение, они начали понимать числа как абстрактные понятия, а физические объекты как их кон¬кретные реализации.
Пифагорейцам принадлежит идея сведения музыкальных интервалов к простым соотношениям между числами; они пришли к этой мысли, совершив два открытия. Первое — что высота звука, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины, и второе — что гармонические созвучия издают струны, длины которых относятся между собой, как некоторые целые числа. Например, гармоническое созвучие возникает, если заставить колебаться две одинаково натянутые струны, одна из которых вдвое длиннее другой. Музыкальный интервал между издавае¬мыми такими -струнами тонами ныне называется октавой. Другое гармоническое созвучие создают две струны, длины кото¬рых относятся, как три к двум: в этом случае тон, издаваемый более короткой струной, на квинту выше тона более длинной. Длины любых двух струн, рождающих гармоническое созвучие, действительно относятся между собой, как целые числа.
Движения планет пифагорейцы также сводили к числовым соотношениям. По их представлениям, тела, перемещаясь в пространстве, производят звуки, причем быстро движущееся тело издает более высокий звук, чем движущееся медленно. Возможно, такого рода идеи были навеяны свистящим звуком, который возникает при раскручивании веревки с тяжелым предметом на конце. Согласно пифагорейской астрономии, чем больше рас-стояние от планеты до Земли, тем быстрее планета движется. Следовательно, звуки, издаваемые планетами, изменяются в зави¬симости от их удаленности от Земли, и все звуки подчиняются определенной гармонии. Как и всякая гармония, такая «музыка сфер» может быть сведена к чисто числовым соотношениям. Но тогда и движения планет можно свести к числовым соотноше¬ниям.
Другие характерные особенности природы пифагорейцы также сводили к числу. Особенно высоко они ценили числа 1, 2, 3, 4, образующие четверицу, или тетрактис. По преданию, клятва пифагорейцев гласила: «Клянусь именем Тетрактис, ниспослан¬ной нашим душам. В ней источник и корни вечно цветущей природы». Природа, по мнению пифагорейцев, состояла из «четве¬рок» — четырех геометрических элементов (точки, линии, поверх¬ности и тела) и четырех материальных элементов (земли, воздуха, огня и воды),— игравших важную роль в философии, Платона.
Четыре числа, входившие в тетрактис, в сумме давали десять, поэтому число «десять» пифагорейцы провозгласили идеальным числом и усматривали в нем символ всего мира. Но, так как число «десять» идеально, в небесах должны быть десять тел. Чтобы получить нужное число небесных тел, пифа¬горейцы придумали Центральный огонь, вокруг которого обра¬щаются Земля, Солнце, Луна и пять известных тогда планет9 а также Антиземлю, лежащую по другую сторону от Централь¬ного огня. Ни Центральный огонь, ни Антиземля невидимы, так как мы обитаем на той части Земли, которая обращена в противо¬положную от них сторону. Так пифагорейцы построили астро¬номическую теорию, основанную на числовых соотношениях.
Приведенные примеры позволят нам понять высказывание, приписываемое знаменитому пифагорейцу Филолаю, жившему в V в. до н. э.:
Если бы ни число и его природа, ничто существовавшее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам... Мощь числа проявляется, как нетрудно заметить, не только в деяниях демонов, и богов, но и во всех поступках и помыслах людей, во всех ремеслах и музыке. (|!ЗЬ с. 21.)
Натурфилософию пифагорейцев трудно назвать состоятельной. Не удалось им продвинуться сколько-нибудь далеко ни в одной из областей естествознания. Их теории с полным основанием можно назвать поверхностными. Тем не менее то ли благо¬приятное стечение обстоятельств, то ли гениальное прозрение позволили пифагорейцам создать два учения, первостепенное значение которых обнаружилось лишь позднее. Первое — что природа устроена на математических принципах и второе — что числовые соотношения суть основа, единая сущность и инструмент познания порядка в природе.
Атомисты Левкипп (ок. 440 до н. а.) и Демокрит (ок. 460— ок. 370 до н. э.) также отводили математике немаловажную роль. Они считали, что вся материя состоит из атомов, различаю¬щихся положением, размерами и формой. Эти свойства атомов физически реальны. Все остальные свойства, такие, как вкус, теплота и цвет, присущи не самим атомам, а обусловлены воздействием атомов на воспринимающего субъекта. Такое чувственное знание ненадежно, так как меняется от одного воспринимающего субъекта к другому. Подобно пифагорейцам, атомисты утверждали, что реальность, лежащая в основе постоянно меняющихся свойств реального мира, может быть выра-жена на языке математики. Все происходящее в этом мире строго предопределено математическими законами.
Первым йз греков, кому мы обязаны наиболее существен¬ным продвижением в математическом исследовании природы, был Платон (427—347 до н. э.). Он не только воспринял некоторые учения пифагорейцев, но и был выдающимся философом, чьи идеи во многом определяли развитие мысли в Греции достопамят¬ного IV в. до н. э. Платон основал в Афинах Академию, ставшую центром притяжения мыслителей его времени и просущество¬вавшую девять веков. Свои взгляды Платон особенно отчетливо и ясно ИЗЛОЖИЛ в диалоге «Филеб». В вводной главе «Истори¬ческая ретроспектива» мы упоминали о том, что реальный мир, согласно Платону, построен на математических принципах. То, что воспринимают наши органы чувств, не более чем несо¬вершенное представление реального мира. Реальность и рацио¬нальность физического мира может быть постигнута только с помощью математики, ибо «Бог вечно геометризует». Платон пошел дальше, чем пифагорейцы: он стремился не только познать природу, но и выйти за ее пределы, чтобы постичь идеальный мир, построенный на математических принципах, который, по мысли Платона, и есть подлинная реальность. Чувственное, преходящее и несовершенное подлежало замене на абстрактное, вечное и совершенное. Платон полагал, что несколькоf тонких наблюдений внешнего мира позволят составить представление об основных идеях, которые затем могут быть развиты разумом. Необходимость в дальнейших наблюдениях отпадала. После тога как исходные наблюдения произведены, природа должна быть полностью заменена математикой. Платон подверг критике пифа¬горейцев за то, что они, исследовав числа, в которых запечатлена гармония музыкальных созвучий, так и не дошли до изучения естественной гармонии самих чисел. Для Платона математика была не только посредником между идеями и данными чувствен¬ного опыта: математический порядок он считал точным отраже¬нием самой сути реальности. Платон заложил также основы дедуктивно-аксиоматического метода, который мы кратко обсудим. В этом методе Платон видел идеальный способ систематизации уже накопленного знания и получения нового.
Наиболее выдающиеся из последователей Платона разделяли его мысль, что математика занимается изучением внешнего мира и позволяет получать о нем истинное знание. Хотя Аристотель и его сторонники занимали несколько иную позицию, чем плато¬ники, тем не менее по вопросу об отношении математики к реаль¬ному миру школа Аристотеля также отстаивала версию о мате¬матическом плане, лежащем в основе всего мироздания. Аристо¬тель утверждал, что математические абстракции почерпнуты из материального мира, однако в его сочинениях нигде не говорится, что математика вносит поправки в чувственное знание, расширяя его. Аристотель считал, что в основе движения небесных тел лежат некие математические принципы, но для него математи¬ческие законы были не более чем описанием событий. Самым важным для Аристотеля была конечная причина, или цель, событий, т. е. он исходил из телеологической концепции.
Когда Александр Македонский (356—323 до н. э.) вознаме¬рился покорить мир, он перенес центр греческой Ойкумены из Афин в один из городов Египта, который он с присущей ему «скромностью» переименовал в Александрию. Именно там, в Александрии, Евклид (около 300 до н. э.) написал первый досто¬памятный документ математического знания — свои классические «Начала». В этой работе впервые было применено доказательство. Помимо «Начал» Евклиду принадлежат также сочинения по механике, оптике и музыке, в которых основная роль отведена математике. Математика выступала как идеальная версия того, что составляло содержание известного нам реального мира. Некоторые из теорем Евклида несли в себе новое знание геометрических фигур и свойств целых чисел. Но поскольку ори¬гинальные манускрипты Евклида до нас не дошли, мы не знаем, было ли это новое знание его целью и в какой мере он заботился о надежности знания, добытого чувственным опытом. Одно можно сказать с уверенностью: Евклид проложил путь другим творцам и создателям математики.
Греки «Александрийского периода» (около 300 до н. э.— 600 н. э.) необычайно расширили математику. Упомянем лишь обширный труд Аполлония (ок. 262 — ок. 190 до н. э.) «Кони¬ческие сечения», серию первоклассных работ Архимеда (ок. 287— 212 до н. э.) по многим областям математики и механики, труды по тригонометрии Гиппарха, Менелая и Птолемея (ок. 90—160) и в конце периода «Арифметику» Диофанта. Во всех этих сочинениях так же, как в «Началах» Евклида, излагались идеальные версии объектов, отношений и явлений реального мира. Все они внесли свою лепту в расширение нашего знания.
Греческая цивилизация погибла под натиском римских и мусульманских завоевателей. С ее падением Европа вступила в период Средневековья, продолжавшийся целое тысячелетие — с 500 по 1500 г. Главенствующую роль в средневековой культуре играла церковь, рассматривавшая жизнь на Земле как подго¬товку к загробной жизни на небесах. Исследование природы любыми средствами, как математическими, так и нематемати¬ческими, считалось предосудительным занятием. Тем не менее отдельные мыслители и даже целые группы (Роберт Гроссетест, Роджер Бэкон, Джон Пекхэм, мертонианцы из Оксфорда, к числу которых принадлежали Уильям Оккама, Томас Брадвар, Абеляр из Бата, Тьерри из Шартра и Уильям из Конка) предпринимали попытки продолжить математические и физические исследования. В частности, они видели в математике не противоречащее истине описание физических явлений, и некоторые из них, главным образом Абеляр и Тьерри, настаивали на экспериментальном изучении природы. Все эти мыслители считали, что реальный физический мир в основе своей рационален и математическое рассуждение способно дать знание о нем. Не следует забывать и о вкладе, который в период Средневековья внесли в математику индийцы и арабы и который постепенно вошел в общий свод мате¬матического знания.
Началом современного периода, о котором . в основном и пойдет речь в нашей книге, принято считать конец XV — начало XVI вв. Что касается XVI в., то его часто называют эпохой Ренессанса — возрождения греческой мысли. Для нас сейчас несущественно, каким образом греческие манускрипты попали в Италию, ставшую центром Возрождения.
Европейцы не сразу откликнулись на новые веяния. На протя¬жении этого периода, который нередко называют гуманисти¬ческим, европейские мыслители не столько следовали высоким целям древних греков, сколько изучали труды греческих авторов, но примерно к 1500'г. европейские умы, воспринявшие направлен¬ность античной мысли — приложение разума к исследованию при¬роды и поиск математического плана, лежащего в основе мироздания,— принялись действовать. Однако они столкнулись с серьезной проблемой, поскольку цели, которые ставили перед собой греки, находились в противоречии с культурной традицией, сложившейся в Европе того периода. В то время как греки не сомневались, что природа устроена на математи¬ческих принципах и неизменно и неуклонно следует некоему идеальному плану мыслители конца Средневековья приписывали весь план и все действие христианскому Богу. Именно Бог был для них творцом и создателем плана мироздания, и все явления природы неукоснительно следовали предначертаниям этого высшего существа. Весь мир — творение Бога и беспре¬кословно подчиняется его воле. Математики и естествоиспы¬татели эпохи Возрождения, будучи правоверными христианами, разделяли эту доктрину. Но католическое, вероучение отнюдь не включало в себя греческое учение о математическом плане, лежа-щем в основе природы. Каким же образом можно согласовать тогда попытку понять созданное Богом мироздание с поиском математических законов природы? Пришлось добавить (к уже существовавшим учениям) новый тезис — о том, что христианский Бог сотворил мир на математической основе. Католическое вероучение, постулирующее первостепенное значение попыток понять волю Господа и его творения, приняло форму поиска математического плана, заложенного Богом в основу миро¬здания. Как мы вскоре убедимся, узнав некоторые подробности, работа математиков на протяжении XVI—XVIII вв. была по существу религиозным исканием. В поисках математических законов природы они священнодействовали, раскрывая славу и величие творения божьего.
Математическое знание, истина о плане, положенном Богом в основу мироздания, при таком подходе обретали столь же бого-вдохновенный характер, как и любая строка Священного писания. Разумеется, смертным не дано постичь божественную мудрость плана с той полнотой и ясностью, с какой она ведома самому Господу Богу, но люди могли смиренно и с подобающей скромностью по крайней мере пытаться приблизиться к божествен¬ному разуму и понять, как устроен мир.
Можно пойти дальше и утверждать, что математики XVI— XVIII вв. были уверены в существовании математических законов, лежащих в основе всех явлений природы, и настойчиво стремились найти их, ибо ИСХОДИЛИ из априорного убеждения, что Бог и эти законы включил в общую схему мироздания. Каждое открытие закона природы провозглашалось как еще одно свидетельство мудрости Бога, а не проницательности исследователя. Убеждения и взгляды математиков и естествоиспытателей распространились по всей Европе эпохи Возрождения. Незадолго до того обнаружен¬ные работы греческих авторов противостояли глубоко религиоз¬ному христианскому миру, и духовные лидеры Возрождения, рожденные в одном мире, но тяготевшие к другому, слили учения обоих миров воедино.
Наряду с этим новым интеллектуальным увлечением стало приобретать все более широкую поддержку направление, основан¬ное на идее «назад к природе». Многие естествоиспытатели отвергли нескончаемое умствование на основе догматических принципов, туманных по смыслу и оторванных от опыта, и обра¬тились к самой природе как источнику подлинного знания. К началу XVII в. в Европе сложились предпосылки того, что нередко называют «научной революцией». Многие события спо¬собствовали или ускорили ее наступление: географические экспедиции открыли новые земли и народы; изобретение теле¬скопа и микроскопа позволило обнаружить новые явления; компас облегчил навигацию в.условиях открытого моря; гелиоцентри¬ческая теория Коперника (см. гл. IV) заставила по-новому взглянуть на нашу планетную систему. Реформация пошатнула догмы католицизма. Математика вскоре снова стала играть главную роль — ключа к природе.
Бегло обозревая исторический фон, на котором происходило развитие европейской математики, мы стремились главным обра¬зом показать, что математика и применение ее к исследованию при¬роды (основная тема последующих глав нашей книги) не возникли неожиданно, как гром среди ясного неба. Свое внимание мы сосредоточим не на элементарной математике, дающей средства для корректировки и расширения нашего знания о явлениях, в основном доступных нашим органам чувств, а на успехах, достигнутых математикой в открытии и описании явлений, либо не доступных непосредственному восприятию, либо вообще, не воспринимаемых нами. При этом нам не понадобится постигать тонкости математических методов, но важно будет понять, каким образом математика позволяет описывать физические явления и получать знание о них.
Каковы существенные особенности математического метода? Первая отличительная особенность — введение основных понятий. Некоторые из таких понятий, например точка, линия и целое число, подсказаны непосредственно материальным, или физи¬ческим, миром. Помимо элементарных понятий в математике немаловажную роль играют понятия, созданные человеческим разумом. Примерами таких понятий могут служить понятия отрицательного числа, буквенные обозначения классов чисел, комплексные числа, функции, всевозможные кривые, бесконечные ряды, понятия математического анализа, дифференциальные урав¬нения, матрицы и группы, многомерные пространства.
Некоторые из перечисленных нами понятий полностью лишены интуитивной основы. Другие, например понятие производной (мгновенной скорости изменения), имеют под собой некую инту¬итивную основу в физических явлениях. Но хотя производная и связана с физическим понятием скорости, ее в гораздо большей степени можно рассматривать как конструкцию, созданную разу¬мом, причем на качественно совершенно ином уровне, нежели, скажем, понятие математического треугольника.
На протяжении всей истории математики новые понятия поначалу вызывали весьма настороженное отношение. Даже по¬нятие отрицательного числа сначала было отвергнуто серьезными математиками. Тем не менее каждое новое понятие, хотя и неохот¬но, принималось после того, как становилась очевидной его полез¬ность в приложениях.
Вторая существенная особенность математики — ее абстракт¬ность. Платон в диалоге «Государство» так сказал о геометрах:
Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведе¬ниям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отраже¬ния в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе, как мысленным взором, ([2], с. 318—319.)
Если математика должна быть могучей, то в одном абстрактном понятии она должна охватывать существенные особенности всех физических проявлений этого понятия. Например, мате¬матическая прямая должна включать в себя все наиболее значи¬тельные особенности туго натянутых веревок, краев линеек, границ полей и траекторий световых лучей.
В том, что математические понятия представляют собой абстракции, нетрудно убедиться на примере наиболее элементар¬ного понятия — числа. Непонимание абстрактного характера этого понятия может приводить к недоразумениям. Поясним эту мысль на простом примере. Человек заходит в обувной магазин и покупает три пары обуви по 20 долл. за пару. Продавец говорит, что три пары обуви по 20 долл. за пару стоят 60 долл. и ожидает, что покупатель уплатит ему эту сумму. Покупатель же возражает, утверждая, что три пары по 20 долл. за пару — это 60 пар обуви, и настаивает, чтобы продавец приготовил 60 пар обуви. Прав ли покупатель? Прав, как прав и продавец. Если число пар обуви, умноженное на доллары, может давать доллары, то почему бы тому же произведению не давать пары обуви? Ответ, разумеется, состоит в том, что мы не умножаем туфли на доллары. Мы абстрагируем числа 3 и 20 из физической ситуации, умножаем одно число на другое, получаем число 60 и интер¬претируем результат в соответствии с физической ситуацией.
Еще одна отличительная особенность математики — идеализация. Математик идеализирует, намеренно отвлекаясь от толщины меловой линии при рассмотрении прямых или принимая Землю при решении некоторых задач за идеальную сферу. Сама по себе идеализация не является серьезным отступлением от реальности, но при любой попытке приложить ее к реальности возникает вопрос, достаточно ли близок исследуемый объект (например, реальная частица или траектория) к его идеальному образу.
Наиболее поразительной особенностью математики, является используемый ею метод рассуждения. Основу его составляет набор аксиом и применение к этим аксиомам дедуктивного доказа¬тельства (вывода). Слово «аксиома» происходит от греческого «мыслить подобающим образом». Само понятие аксиомы — истины, столь самоочевидной, что она ни у кого не вызывает сомнения,— введено греками. Платоновское учение об анамнезисе утверждало, что люди обладают априорным знанием истин, почерпнутым их душами в объективном мире истин, и что аксиомы геометрии представляют собой воспоминания о некогда известных истинах. Аристотель во «Второй аналитике» упоминает об «общих [положениях], называемых нами аксиомами, из которых, как первичного, ведется доказательство» ([8], с. 200), истинность которых мы постигаем своей безошибочной интуицией. Если бы в доказательстве использовались какие-то факты, не известные нам как истины, то потребовалось бы дополнительное доказатель¬ство, которое устанавливало бы эти факты, и этот процесс при¬шлось бы повторять бесконечно. Аристотель также указывал на то, что некоторые понятия должны оставаться неопределяемыми, ибо в противном случае доказательство не имело бы начала. В наше время такие понятия, как точка и прямая, остаются неопределяемыми. Их значение и свойства зависят от аксиом, предписывающих свойства «точек» и «прямых».
Подобно тому как многие используемые в математике понятия изобретены человеческим разумом, аксиомы об этих понятиях изобретены с таким расчетом, чтобы понятия раскры¬вали те или иные стороны реальности. Например, аксиомы для отрицательных и комплексных чисел с необходимостью должны отличаться от аксиом для положительных чисел или последние должны по крайней мере допускать обобщения, охватывающие отрицательные и комплексные числа. Разумеется, аксиоматизация более новых понятий требует более тонкого подхода, поэтому правильные аксиоматические обоснования некоторых областей математики удалось создать лишь через много лет после воз¬никновения этих областей.
Помимо математических аксиом значительную часть лепты, вносимой математикой в наш физический мир, должно составлять и физическое знание. Оно может принимать форму физических аксиом (например, законов движения Ньютона), обобщений экспериментальных наблюдений или чистой интуиции. Эти физи¬ческие допущения формулируются на языке математики, что позволяет применять к ним математические аксиомы и теоремы.
Но сколь ни фундаментальны понятия и аксиомы, именно дедуктивные выводы из аксиом дают нам возможность получать полностью новое знание, вносящее надлежащие поправки в наши чувственные восприятия. Из многих типов рассуждений (индуктив¬ных, по аналогии, дедуктивных и т. д.) только дедуктивное рассуждение гарантирует правильность заключения. Например, придя к заключению «Все яблоки красные» на том основании, что тысяча просмотренных нами яблок были красными, мы поль¬зуемся индуктивным рассуждением, поэтому наше заключение ненадежно. Заведомо ненадежно и заключение «Джон не мог не закончить этот колледж», которое мы делаем на том основании, что брат-близнец Джона, унаследовавший от родителей такие же способности, как и сам "Джон, закончил этот колледж. В этом случае мы рассуждаем по аналогии, и наше рассуждение также ненадежно. В отличие от этого дедуктивное рассуждение, хотя оно может принимать разнообразные формы, гарантирует правильность заключений. Тот, кто считает, что все люди смертны, не может не согласиться с тем, что Сократ смертен. Лежащее в основе этого рассуждения логическое правило является раз¬новидностью того, что Аристотель называл силлогистическим рассуждением, или силлогизмом. К числу других законов дедуктивного рассуждения Аристотель относил закон противоре¬чия (любое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего (любое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным).
И сам Аристотель, и мир в целом не сомневались в том, что сформулированные Аристотелем принципы дедуктивного рас¬суждения, если их применить к любым посылкам, приводят к заключениям столь же надежным, как и посылки. Следовательно, если посылки были истинными, то заключения также будут истинными. Заметим попутно, что принципы дедуктивного рас¬суждения Аристотель абстрагировал из рассуждений, которыми уже пользовались математики. Дедуктивная логика — дитя мате¬матики.
Необходимо по достоинству оценить, сколь радикальным было неукоснительное следование принципам дедуктивного доказа¬тельства. Мы можем проверить сколько угодно чисел и убедиться, что каждое из них представимо в виде суммы двух простых чисел. Однако мы не можем утверждать, что наш результат есть математическая теорема, поскольку он не был получен путем дедуктивного доказательства. Приведем еще один аналогич¬ный пример. Предположим, что какой-то ученый измерил суммы углов 100 различных треугольников, отличавшихся по распо¬ложению, размерам и форме. В пределах точности измерений все суммы оказались равными 180°. Ученый, разумеется, сделал бы вывод, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Но такое заключение верно только в пределах точности измерений. Кроме того, оставался бы открытым вопрос о том, не дадут ли существенно иной результат измерения, производимые над треугольником какой-нибудь еще не испробованной формы. Индуктивное заключение нашего естествоиспытателя математи¬чески неприемлемо. В отличие от него математик начинает с фак¬тов или аксиом, которые представляются надежными. Кто может усомниться в том, что если к равным величинам прибавить равные величины, то суммы окажутся равными? С помощью таких- неоспоримых аксиом можно, рассуждая дедуктивно, дока¬зать, что сумма углов любого треугольника равна 180°.
В описанном нами дедуктивном процессе для обоснования рас¬суждения используется логика. При этом, по существу, мы до сих пор применяем так называемую аристотелеву логику. Естественно спросить, почему заключения, полученные с помощью такой логики, должны иметь какое-то отношение к природе. Почему теоремы, доказанные человеческим разумом в тиши кабинетов, должны быть применимы к реальному миру, как, впрочем, и аксиомы, которые во многих случаях являются не более чем измышлениями того же человеческого разума? К вопросу о том, почему математика столь эффективна, мы вернемся в гл. XII.
Необходимо отметить еще одну важную характерную черту математики: использование специальных обозначений. Хотя стра¬ница, испещренная математическими символами, способна отпуг¬нуть непосвященного, нельзя не признать, что без специальных обозначений математики погрязли бы в неразберихе слов. Все мы используем те или иные символы, когда прибегаем к мно¬жеству общепризнанных сокращений. Например, мы часто пишем N.Y., вместо New York (Нью-Йорк), и, хотя смысл таких аббре¬виатур нужно знать заранее, не подлежит сомнению, что краткость символики способствует постижению сути дела, в то время как словесное выражение перегружает разум.
Резюмируя, суть тех средств, которыми математики добывают факты о внешнем мире, можно сформулировать следующим образом: математика строит модели целых классов реальных явле¬ний. Понятия, обычно идеализированные (независимо от того, почерпнуты они из наблюдений природы или являются плодами человеческого разума), аксиомы, которые также могут быть под¬сказаны физическими фактами или придуманы людьми, процессы идеализации, обобщения и абстракции, а также интуиция — все идет в ход при построении моделей. Доказательство цемен¬тирует элементы модели воедино. Наиболее известная модель — евклидова геометрия, но мы познакомимся со многими более изощренными и простыми моделями, рассказывающими нам гораздо больше о. менее очевидных явлениях, чём это делает евклидова геометрия.
Наша цель состоит в том, чтобы показать, как прочно входит математика в современный мир не только как метод, позволяющий компенсировать несовершенство наших органов чувств, но и в гораздо, большей степени как метод расшире¬ния того знания, которое человек способен обрести об окружаю¬щем мире. Как сказал Гамлет, «и в небе и в земле сокрыто больше, чем снится вашей мудрости, Горацио». Нам необходимо выйти за пределы знания, добытого чувственным опытом. Суть математики в отличие от чувственного восприятия состоит в том, что, опираясь на человеческий разум и способность человека к рас¬суждениям, она порождает знание о реальном мире, которое сред-нему человеку, даже если он воспитан на рациональной западной культуре, кажется полученным исключительно путем чувственного восприятия.
Важность математики для исследования реального мира под¬черкивал Алфред Норт Уайтхед в своей книге «Наука и современ¬ный мир»:
Ничто не производит столь сильного впечатления, как то обстоя¬тельство, что математика, чем выше она возносится в горные области все более абстрактной мысли, неизменно возвращается на землю, обретая все большее значение для анализа конкретного факта... Парадокс, оконча¬тельно установленный ныне, состоит в том, что именно предельные абстрак¬ции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.
И как заметил однажды Давид Гильберт, один из самых выдающихся математиков XX в., физика в наше время слишком важна, чтобы оставлять ее физикам.
ЗАРОЖДЕНИЕ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ РОЛЬ В ПОЗНАНИИ
Учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в ней математика*.
Кант
Боги открыли людям не все. В поиск пустив¬шись, люди сами открыли немало.
Ксенофан
Платье нередко многое говорит о человеке. Шекспир
Хотя информация, которую мы получаем от наших органов ЧУBCTB, рассматривается, анализируется, подвергается экспери¬ментальной проверке и хотя мы располагаем ныне такими мощ¬ными вспомогательными средствами, как телескоп, микроскоп и различного рода приборы, позволяющие производить всевозмож¬ные наблюдения, а также точнейшими измерительными устрой¬ствами, полученное с их помощью знание ограниченно и может считаться достоверными лишь в определенных пределах. Нам гораздо больше известно, чем раньше, о числе планет, о сущест¬вовании у некоторых из них спутников, о темных пятнах на Солн¬це, о применении компаса в навигации. Но достигнутый про¬гресс знания составляет лишь крохотную толику того поистине неисчерпаемого множества разнообразных и важных явлений, которые нам необходимо и желательно знать.
Решающий, гигантский по своим масштабам и непреходящий по своему значению шаг к расширению и приумножению нашего знания внешнего мира был сделан, когда для изучения его стали применять математику. Математика не только уточнила и расши¬рила наше знание явлений, доступных органам чувств человека, но и позволила открыть весьма важные явления, не воспри¬нимаемые нами, но оттого не менее реальные по их воздействию, чем прикосновение к раскаленной плите. То, что в нашей повседневной жизни незримо присутствуют такие физические «духи», не вызывает сомнений. О том, как они были открыты, и пойдет наш рассказ.
Для нас, получивших современное образование, природа и «земные» приложения математики хорошо известны и воспри¬нимаются как нечто само собой разумеющееся. Еще цивилизации, которые мы считаем творцами западно-европейской математики, а именно цивилизации Древнего Египта и Вавилона, около 3000 лет до н. э. создали набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения практических задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Вавилоняне и египтяне не сознавали, что математика способна распространить их знание природы за пределы доступного чувственному опыту. Созданную ими "математику можно сравнить с алхимией, пред¬шествовавшей химии.
Математика как логический вывод и средство познания при¬роды — творение древних греков, которым они начали всерьез заниматься примерно за шесть веков до новой эры. Не сохранилось никаких документов VI — V вв. до н. э., способных рассказать нам, что заставило древних греков прийти к новому пониманию математики и ее роли. Вместо этого мы располагаем лишь более или менее правдоподобными догадками историков, один из которых, в частности, утверждает, что греки обнаружили противоречия в результатах, полученных древними вавилонянами при определении площади круга, и вознамерились выяснить, какой из результатов верен. Аналогичные расхождения обнаружились и по другим вопросам. В качестве еще одного объяснения историки ссылаются на философские интересы греков, но это только догадки, которые скорее поднимают вопросы, чем дают объяснения. Кое-кто считает, что дедуктивная математика ведет свою родословную от аристотелевской логики, возникшей в пылу дискуссий на общественно-политические темы. Однако древнегре¬ческая, математика зародилась до Аристотеля.
По-видимому, нам остается лишь констатировать, что у греков начиная с VI в. до н. э. сложилось определенное миропонимание, сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете является математическим. Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к изучению природы, то лежащий в основе мироздания мате-матический план удастся раскрыть и познать.
Как бы то ни было, именно греки были первыми, кому достало дерзости и гения дать рациональное объяснение явлений при¬роды. Неуемная тяга греков к познанию была окрашена волную¬щими, переживаниями поиска и исследования. Занимаясь изыска¬ниями, греки наносили новые области знания на «карты» (при¬мером такой «карты» может служить геометрия Евклида), чтобы те, кто идет следом, могли скорее достичь границ неведомого и принять участие в освоении новых областей.
На несколько более прочной исторической основе мы стоим, когда ссылаемся на то, что Фалес (около 640—546 до н. э.) из греческого города Милета в Малой Азии доказал несколько теорем евклидовой геометрии. Никаких документов того времени не сохранилось, и утверждение, что Фалес Милетский доказал теоремы логическими средствами довольно спорно. Не подлежит, однако, сомнению, что и он, и его современники в Малой Азии размышляли о плане, заложенном в основы мироздания.
Более достоверно известно, что разработанная пифагорейцами (мистическо-религиозным орденом, существовавшим в VI в. до н.э.) программа выявления рационального плана, лежащего в осно¬ве природы, предусматривала использование математики. Пифаго¬рейцев поражало, что физически столь разнообразные объекты обнаруживают тождественные математические свойства. Напри¬мер, Луна и резиновый мяч имеют одинаковую форму и много других общих свойств, присущих всем шарам. Разве не очевидно, что математические соотношения, кроющиеся за внешним раз¬нообразием, и должны быть сущностью явлений?
Если говорить более конкретно, то пифагорейцы усматривали сущность вещей и явлений в числе и числовых соотношениях. Число для них, было первым принципом в описании природы, оно же считалось материей и формой мира. По преданию, пифа¬горейцы полагали, что «все вещи суть числа». Их вера в число станет более понятной, если учесть, что пифагорейцы представляли числа наглядно в виде множеств точек (возможно, симво¬лизировавших для них частицы) и располагали точки в виде фигур, которые могли представлять реальные объекты. Например, множества назывались соответственно треугольными и квадратными числами и вполне могли представлять треугольные и квадратные объекты. Не подлежит сомнению и то, что, когда пифагорейцы развили и усовершенствовали свое учение, они начали понимать числа как абстрактные понятия, а физические объекты как их кон¬кретные реализации.
Пифагорейцам принадлежит идея сведения музыкальных интервалов к простым соотношениям между числами; они пришли к этой мысли, совершив два открытия. Первое — что высота звука, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины, и второе — что гармонические созвучия издают струны, длины которых относятся между собой, как некоторые целые числа. Например, гармоническое созвучие возникает, если заставить колебаться две одинаково натянутые струны, одна из которых вдвое длиннее другой. Музыкальный интервал между издавае¬мыми такими -струнами тонами ныне называется октавой. Другое гармоническое созвучие создают две струны, длины кото¬рых относятся, как три к двум: в этом случае тон, издаваемый более короткой струной, на квинту выше тона более длинной. Длины любых двух струн, рождающих гармоническое созвучие, действительно относятся между собой, как целые числа.
Движения планет пифагорейцы также сводили к числовым соотношениям. По их представлениям, тела, перемещаясь в пространстве, производят звуки, причем быстро движущееся тело издает более высокий звук, чем движущееся медленно. Возможно, такого рода идеи были навеяны свистящим звуком, который возникает при раскручивании веревки с тяжелым предметом на конце. Согласно пифагорейской астрономии, чем больше рас-стояние от планеты до Земли, тем быстрее планета движется. Следовательно, звуки, издаваемые планетами, изменяются в зави¬симости от их удаленности от Земли, и все звуки подчиняются определенной гармонии. Как и всякая гармония, такая «музыка сфер» может быть сведена к чисто числовым соотношениям. Но тогда и движения планет можно свести к числовым соотноше¬ниям.
Другие характерные особенности природы пифагорейцы также сводили к числу. Особенно высоко они ценили числа 1, 2, 3, 4, образующие четверицу, или тетрактис. По преданию, клятва пифагорейцев гласила: «Клянусь именем Тетрактис, ниспослан¬ной нашим душам. В ней источник и корни вечно цветущей природы». Природа, по мнению пифагорейцев, состояла из «четве¬рок» — четырех геометрических элементов (точки, линии, поверх¬ности и тела) и четырех материальных элементов (земли, воздуха, огня и воды),— игравших важную роль в философии, Платона.
Четыре числа, входившие в тетрактис, в сумме давали десять, поэтому число «десять» пифагорейцы провозгласили идеальным числом и усматривали в нем символ всего мира. Но, так как число «десять» идеально, в небесах должны быть десять тел. Чтобы получить нужное число небесных тел, пифа¬горейцы придумали Центральный огонь, вокруг которого обра¬щаются Земля, Солнце, Луна и пять известных тогда планет9 а также Антиземлю, лежащую по другую сторону от Централь¬ного огня. Ни Центральный огонь, ни Антиземля невидимы, так как мы обитаем на той части Земли, которая обращена в противо¬положную от них сторону. Так пифагорейцы построили астро¬номическую теорию, основанную на числовых соотношениях.
Приведенные примеры позволят нам понять высказывание, приписываемое знаменитому пифагорейцу Филолаю, жившему в V в. до н. э.:
Если бы ни число и его природа, ничто существовавшее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам... Мощь числа проявляется, как нетрудно заметить, не только в деяниях демонов, и богов, но и во всех поступках и помыслах людей, во всех ремеслах и музыке. (|!ЗЬ с. 21.)
Натурфилософию пифагорейцев трудно назвать состоятельной. Не удалось им продвинуться сколько-нибудь далеко ни в одной из областей естествознания. Их теории с полным основанием можно назвать поверхностными. Тем не менее то ли благо¬приятное стечение обстоятельств, то ли гениальное прозрение позволили пифагорейцам создать два учения, первостепенное значение которых обнаружилось лишь позднее. Первое — что природа устроена на математических принципах и второе — что числовые соотношения суть основа, единая сущность и инструмент познания порядка в природе.
Атомисты Левкипп (ок. 440 до н. а.) и Демокрит (ок. 460— ок. 370 до н. э.) также отводили математике немаловажную роль. Они считали, что вся материя состоит из атомов, различаю¬щихся положением, размерами и формой. Эти свойства атомов физически реальны. Все остальные свойства, такие, как вкус, теплота и цвет, присущи не самим атомам, а обусловлены воздействием атомов на воспринимающего субъекта. Такое чувственное знание ненадежно, так как меняется от одного воспринимающего субъекта к другому. Подобно пифагорейцам, атомисты утверждали, что реальность, лежащая в основе постоянно меняющихся свойств реального мира, может быть выра-жена на языке математики. Все происходящее в этом мире строго предопределено математическими законами.
Первым йз греков, кому мы обязаны наиболее существен¬ным продвижением в математическом исследовании природы, был Платон (427—347 до н. э.). Он не только воспринял некоторые учения пифагорейцев, но и был выдающимся философом, чьи идеи во многом определяли развитие мысли в Греции достопамят¬ного IV в. до н. э. Платон основал в Афинах Академию, ставшую центром притяжения мыслителей его времени и просущество¬вавшую девять веков. Свои взгляды Платон особенно отчетливо и ясно ИЗЛОЖИЛ в диалоге «Филеб». В вводной главе «Истори¬ческая ретроспектива» мы упоминали о том, что реальный мир, согласно Платону, построен на математических принципах. То, что воспринимают наши органы чувств, не более чем несо¬вершенное представление реального мира. Реальность и рацио¬нальность физического мира может быть постигнута только с помощью математики, ибо «Бог вечно геометризует». Платон пошел дальше, чем пифагорейцы: он стремился не только познать природу, но и выйти за ее пределы, чтобы постичь идеальный мир, построенный на математических принципах, который, по мысли Платона, и есть подлинная реальность. Чувственное, преходящее и несовершенное подлежало замене на абстрактное, вечное и совершенное. Платон полагал, что несколькоf тонких наблюдений внешнего мира позволят составить представление об основных идеях, которые затем могут быть развиты разумом. Необходимость в дальнейших наблюдениях отпадала. После тога как исходные наблюдения произведены, природа должна быть полностью заменена математикой. Платон подверг критике пифа¬горейцев за то, что они, исследовав числа, в которых запечатлена гармония музыкальных созвучий, так и не дошли до изучения естественной гармонии самих чисел. Для Платона математика была не только посредником между идеями и данными чувствен¬ного опыта: математический порядок он считал точным отраже¬нием самой сути реальности. Платон заложил также основы дедуктивно-аксиоматического метода, который мы кратко обсудим. В этом методе Платон видел идеальный способ систематизации уже накопленного знания и получения нового.
Наиболее выдающиеся из последователей Платона разделяли его мысль, что математика занимается изучением внешнего мира и позволяет получать о нем истинное знание. Хотя Аристотель и его сторонники занимали несколько иную позицию, чем плато¬ники, тем не менее по вопросу об отношении математики к реаль¬ному миру школа Аристотеля также отстаивала версию о мате¬матическом плане, лежащем в основе всего мироздания. Аристо¬тель утверждал, что математические абстракции почерпнуты из материального мира, однако в его сочинениях нигде не говорится, что математика вносит поправки в чувственное знание, расширяя его. Аристотель считал, что в основе движения небесных тел лежат некие математические принципы, но для него математи¬ческие законы были не более чем описанием событий. Самым важным для Аристотеля была конечная причина, или цель, событий, т. е. он исходил из телеологической концепции.
Когда Александр Македонский (356—323 до н. э.) вознаме¬рился покорить мир, он перенес центр греческой Ойкумены из Афин в один из городов Египта, который он с присущей ему «скромностью» переименовал в Александрию. Именно там, в Александрии, Евклид (около 300 до н. э.) написал первый досто¬памятный документ математического знания — свои классические «Начала». В этой работе впервые было применено доказательство. Помимо «Начал» Евклиду принадлежат также сочинения по механике, оптике и музыке, в которых основная роль отведена математике. Математика выступала как идеальная версия того, что составляло содержание известного нам реального мира. Некоторые из теорем Евклида несли в себе новое знание геометрических фигур и свойств целых чисел. Но поскольку ори¬гинальные манускрипты Евклида до нас не дошли, мы не знаем, было ли это новое знание его целью и в какой мере он заботился о надежности знания, добытого чувственным опытом. Одно можно сказать с уверенностью: Евклид проложил путь другим творцам и создателям математики.
Греки «Александрийского периода» (около 300 до н. э.— 600 н. э.) необычайно расширили математику. Упомянем лишь обширный труд Аполлония (ок. 262 — ок. 190 до н. э.) «Кони¬ческие сечения», серию первоклассных работ Архимеда (ок. 287— 212 до н. э.) по многим областям математики и механики, труды по тригонометрии Гиппарха, Менелая и Птолемея (ок. 90—160) и в конце периода «Арифметику» Диофанта. Во всех этих сочинениях так же, как в «Началах» Евклида, излагались идеальные версии объектов, отношений и явлений реального мира. Все они внесли свою лепту в расширение нашего знания.
Греческая цивилизация погибла под натиском римских и мусульманских завоевателей. С ее падением Европа вступила в период Средневековья, продолжавшийся целое тысячелетие — с 500 по 1500 г. Главенствующую роль в средневековой культуре играла церковь, рассматривавшая жизнь на Земле как подго¬товку к загробной жизни на небесах. Исследование природы любыми средствами, как математическими, так и нематемати¬ческими, считалось предосудительным занятием. Тем не менее отдельные мыслители и даже целые группы (Роберт Гроссетест, Роджер Бэкон, Джон Пекхэм, мертонианцы из Оксфорда, к числу которых принадлежали Уильям Оккама, Томас Брадвар, Абеляр из Бата, Тьерри из Шартра и Уильям из Конка) предпринимали попытки продолжить математические и физические исследования. В частности, они видели в математике не противоречащее истине описание физических явлений, и некоторые из них, главным образом Абеляр и Тьерри, настаивали на экспериментальном изучении природы. Все эти мыслители считали, что реальный физический мир в основе своей рационален и математическое рассуждение способно дать знание о нем. Не следует забывать и о вкладе, который в период Средневековья внесли в математику индийцы и арабы и который постепенно вошел в общий свод мате¬матического знания.
Началом современного периода, о котором . в основном и пойдет речь в нашей книге, принято считать конец XV — начало XVI вв. Что касается XVI в., то его часто называют эпохой Ренессанса — возрождения греческой мысли. Для нас сейчас несущественно, каким образом греческие манускрипты попали в Италию, ставшую центром Возрождения.
Европейцы не сразу откликнулись на новые веяния. На протя¬жении этого периода, который нередко называют гуманисти¬ческим, европейские мыслители не столько следовали высоким целям древних греков, сколько изучали труды греческих авторов, но примерно к 1500'г. европейские умы, воспринявшие направлен¬ность античной мысли — приложение разума к исследованию при¬роды и поиск математического плана, лежащего в основе мироздания,— принялись действовать. Однако они столкнулись с серьезной проблемой, поскольку цели, которые ставили перед собой греки, находились в противоречии с культурной традицией, сложившейся в Европе того периода. В то время как греки не сомневались, что природа устроена на математи¬ческих принципах и неизменно и неуклонно следует некоему идеальному плану мыслители конца Средневековья приписывали весь план и все действие христианскому Богу. Именно Бог был для них творцом и создателем плана мироздания, и все явления природы неукоснительно следовали предначертаниям этого высшего существа. Весь мир — творение Бога и беспре¬кословно подчиняется его воле. Математики и естествоиспы¬татели эпохи Возрождения, будучи правоверными христианами, разделяли эту доктрину. Но католическое, вероучение отнюдь не включало в себя греческое учение о математическом плане, лежа-щем в основе природы. Каким же образом можно согласовать тогда попытку понять созданное Богом мироздание с поиском математических законов природы? Пришлось добавить (к уже существовавшим учениям) новый тезис — о том, что христианский Бог сотворил мир на математической основе. Католическое вероучение, постулирующее первостепенное значение попыток понять волю Господа и его творения, приняло форму поиска математического плана, заложенного Богом в основу миро¬здания. Как мы вскоре убедимся, узнав некоторые подробности, работа математиков на протяжении XVI—XVIII вв. была по существу религиозным исканием. В поисках математических законов природы они священнодействовали, раскрывая славу и величие творения божьего.
Математическое знание, истина о плане, положенном Богом в основу мироздания, при таком подходе обретали столь же бого-вдохновенный характер, как и любая строка Священного писания. Разумеется, смертным не дано постичь божественную мудрость плана с той полнотой и ясностью, с какой она ведома самому Господу Богу, но люди могли смиренно и с подобающей скромностью по крайней мере пытаться приблизиться к божествен¬ному разуму и понять, как устроен мир.
Можно пойти дальше и утверждать, что математики XVI— XVIII вв. были уверены в существовании математических законов, лежащих в основе всех явлений природы, и настойчиво стремились найти их, ибо ИСХОДИЛИ из априорного убеждения, что Бог и эти законы включил в общую схему мироздания. Каждое открытие закона природы провозглашалось как еще одно свидетельство мудрости Бога, а не проницательности исследователя. Убеждения и взгляды математиков и естествоиспытателей распространились по всей Европе эпохи Возрождения. Незадолго до того обнаружен¬ные работы греческих авторов противостояли глубоко религиоз¬ному христианскому миру, и духовные лидеры Возрождения, рожденные в одном мире, но тяготевшие к другому, слили учения обоих миров воедино.
Наряду с этим новым интеллектуальным увлечением стало приобретать все более широкую поддержку направление, основан¬ное на идее «назад к природе». Многие естествоиспытатели отвергли нескончаемое умствование на основе догматических принципов, туманных по смыслу и оторванных от опыта, и обра¬тились к самой природе как источнику подлинного знания. К началу XVII в. в Европе сложились предпосылки того, что нередко называют «научной революцией». Многие события спо¬собствовали или ускорили ее наступление: географические экспедиции открыли новые земли и народы; изобретение теле¬скопа и микроскопа позволило обнаружить новые явления; компас облегчил навигацию в.условиях открытого моря; гелиоцентри¬ческая теория Коперника (см. гл. IV) заставила по-новому взглянуть на нашу планетную систему. Реформация пошатнула догмы католицизма. Математика вскоре снова стала играть главную роль — ключа к природе.
Бегло обозревая исторический фон, на котором происходило развитие европейской математики, мы стремились главным обра¬зом показать, что математика и применение ее к исследованию при¬роды (основная тема последующих глав нашей книги) не возникли неожиданно, как гром среди ясного неба. Свое внимание мы сосредоточим не на элементарной математике, дающей средства для корректировки и расширения нашего знания о явлениях, в основном доступных нашим органам чувств, а на успехах, достигнутых математикой в открытии и описании явлений, либо не доступных непосредственному восприятию, либо вообще, не воспринимаемых нами. При этом нам не понадобится постигать тонкости математических методов, но важно будет понять, каким образом математика позволяет описывать физические явления и получать знание о них.
Каковы существенные особенности математического метода? Первая отличительная особенность — введение основных понятий. Некоторые из таких понятий, например точка, линия и целое число, подсказаны непосредственно материальным, или физи¬ческим, миром. Помимо элементарных понятий в математике немаловажную роль играют понятия, созданные человеческим разумом. Примерами таких понятий могут служить понятия отрицательного числа, буквенные обозначения классов чисел, комплексные числа, функции, всевозможные кривые, бесконечные ряды, понятия математического анализа, дифференциальные урав¬нения, матрицы и группы, многомерные пространства.
Некоторые из перечисленных нами понятий полностью лишены интуитивной основы. Другие, например понятие производной (мгновенной скорости изменения), имеют под собой некую инту¬итивную основу в физических явлениях. Но хотя производная и связана с физическим понятием скорости, ее в гораздо большей степени можно рассматривать как конструкцию, созданную разу¬мом, причем на качественно совершенно ином уровне, нежели, скажем, понятие математического треугольника.
На протяжении всей истории математики новые понятия поначалу вызывали весьма настороженное отношение. Даже по¬нятие отрицательного числа сначала было отвергнуто серьезными математиками. Тем не менее каждое новое понятие, хотя и неохот¬но, принималось после того, как становилась очевидной его полез¬ность в приложениях.
Вторая существенная особенность математики — ее абстракт¬ность. Платон в диалоге «Государство» так сказал о геометрах:
Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведе¬ниям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отраже¬ния в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе, как мысленным взором, ([2], с. 318—319.)
Если математика должна быть могучей, то в одном абстрактном понятии она должна охватывать существенные особенности всех физических проявлений этого понятия. Например, мате¬матическая прямая должна включать в себя все наиболее значи¬тельные особенности туго натянутых веревок, краев линеек, границ полей и траекторий световых лучей.
В том, что математические понятия представляют собой абстракции, нетрудно убедиться на примере наиболее элементар¬ного понятия — числа. Непонимание абстрактного характера этого понятия может приводить к недоразумениям. Поясним эту мысль на простом примере. Человек заходит в обувной магазин и покупает три пары обуви по 20 долл. за пару. Продавец говорит, что три пары обуви по 20 долл. за пару стоят 60 долл. и ожидает, что покупатель уплатит ему эту сумму. Покупатель же возражает, утверждая, что три пары по 20 долл. за пару — это 60 пар обуви, и настаивает, чтобы продавец приготовил 60 пар обуви. Прав ли покупатель? Прав, как прав и продавец. Если число пар обуви, умноженное на доллары, может давать доллары, то почему бы тому же произведению не давать пары обуви? Ответ, разумеется, состоит в том, что мы не умножаем туфли на доллары. Мы абстрагируем числа 3 и 20 из физической ситуации, умножаем одно число на другое, получаем число 60 и интер¬претируем результат в соответствии с физической ситуацией.
Еще одна отличительная особенность математики — идеализация. Математик идеализирует, намеренно отвлекаясь от толщины меловой линии при рассмотрении прямых или принимая Землю при решении некоторых задач за идеальную сферу. Сама по себе идеализация не является серьезным отступлением от реальности, но при любой попытке приложить ее к реальности возникает вопрос, достаточно ли близок исследуемый объект (например, реальная частица или траектория) к его идеальному образу.
Наиболее поразительной особенностью математики, является используемый ею метод рассуждения. Основу его составляет набор аксиом и применение к этим аксиомам дедуктивного доказа¬тельства (вывода). Слово «аксиома» происходит от греческого «мыслить подобающим образом». Само понятие аксиомы — истины, столь самоочевидной, что она ни у кого не вызывает сомнения,— введено греками. Платоновское учение об анамнезисе утверждало, что люди обладают априорным знанием истин, почерпнутым их душами в объективном мире истин, и что аксиомы геометрии представляют собой воспоминания о некогда известных истинах. Аристотель во «Второй аналитике» упоминает об «общих [положениях], называемых нами аксиомами, из которых, как первичного, ведется доказательство» ([8], с. 200), истинность которых мы постигаем своей безошибочной интуицией. Если бы в доказательстве использовались какие-то факты, не известные нам как истины, то потребовалось бы дополнительное доказатель¬ство, которое устанавливало бы эти факты, и этот процесс при¬шлось бы повторять бесконечно. Аристотель также указывал на то, что некоторые понятия должны оставаться неопределяемыми, ибо в противном случае доказательство не имело бы начала. В наше время такие понятия, как точка и прямая, остаются неопределяемыми. Их значение и свойства зависят от аксиом, предписывающих свойства «точек» и «прямых».
Подобно тому как многие используемые в математике понятия изобретены человеческим разумом, аксиомы об этих понятиях изобретены с таким расчетом, чтобы понятия раскры¬вали те или иные стороны реальности. Например, аксиомы для отрицательных и комплексных чисел с необходимостью должны отличаться от аксиом для положительных чисел или последние должны по крайней мере допускать обобщения, охватывающие отрицательные и комплексные числа. Разумеется, аксиоматизация более новых понятий требует более тонкого подхода, поэтому правильные аксиоматические обоснования некоторых областей математики удалось создать лишь через много лет после воз¬никновения этих областей.
Помимо математических аксиом значительную часть лепты, вносимой математикой в наш физический мир, должно составлять и физическое знание. Оно может принимать форму физических аксиом (например, законов движения Ньютона), обобщений экспериментальных наблюдений или чистой интуиции. Эти физи¬ческие допущения формулируются на языке математики, что позволяет применять к ним математические аксиомы и теоремы.
Но сколь ни фундаментальны понятия и аксиомы, именно дедуктивные выводы из аксиом дают нам возможность получать полностью новое знание, вносящее надлежащие поправки в наши чувственные восприятия. Из многих типов рассуждений (индуктив¬ных, по аналогии, дедуктивных и т. д.) только дедуктивное рассуждение гарантирует правильность заключения. Например, придя к заключению «Все яблоки красные» на том основании, что тысяча просмотренных нами яблок были красными, мы поль¬зуемся индуктивным рассуждением, поэтому наше заключение ненадежно. Заведомо ненадежно и заключение «Джон не мог не закончить этот колледж», которое мы делаем на том основании, что брат-близнец Джона, унаследовавший от родителей такие же способности, как и сам "Джон, закончил этот колледж. В этом случае мы рассуждаем по аналогии, и наше рассуждение также ненадежно. В отличие от этого дедуктивное рассуждение, хотя оно может принимать разнообразные формы, гарантирует правильность заключений. Тот, кто считает, что все люди смертны, не может не согласиться с тем, что Сократ смертен. Лежащее в основе этого рассуждения логическое правило является раз¬новидностью того, что Аристотель называл силлогистическим рассуждением, или силлогизмом. К числу других законов дедуктивного рассуждения Аристотель относил закон противоре¬чия (любое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего (любое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным).
И сам Аристотель, и мир в целом не сомневались в том, что сформулированные Аристотелем принципы дедуктивного рас¬суждения, если их применить к любым посылкам, приводят к заключениям столь же надежным, как и посылки. Следовательно, если посылки были истинными, то заключения также будут истинными. Заметим попутно, что принципы дедуктивного рас¬суждения Аристотель абстрагировал из рассуждений, которыми уже пользовались математики. Дедуктивная логика — дитя мате¬матики.
Необходимо по достоинству оценить, сколь радикальным было неукоснительное следование принципам дедуктивного доказа¬тельства. Мы можем проверить сколько угодно чисел и убедиться, что каждое из них представимо в виде суммы двух простых чисел. Однако мы не можем утверждать, что наш результат есть математическая теорема, поскольку он не был получен путем дедуктивного доказательства. Приведем еще один аналогич¬ный пример. Предположим, что какой-то ученый измерил суммы углов 100 различных треугольников, отличавшихся по распо¬ложению, размерам и форме. В пределах точности измерений все суммы оказались равными 180°. Ученый, разумеется, сделал бы вывод, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Но такое заключение верно только в пределах точности измерений. Кроме того, оставался бы открытым вопрос о том, не дадут ли существенно иной результат измерения, производимые над треугольником какой-нибудь еще не испробованной формы. Индуктивное заключение нашего естествоиспытателя математи¬чески неприемлемо. В отличие от него математик начинает с фак¬тов или аксиом, которые представляются надежными. Кто может усомниться в том, что если к равным величинам прибавить равные величины, то суммы окажутся равными? С помощью таких- неоспоримых аксиом можно, рассуждая дедуктивно, дока¬зать, что сумма углов любого треугольника равна 180°.
В описанном нами дедуктивном процессе для обоснования рас¬суждения используется логика. При этом, по существу, мы до сих пор применяем так называемую аристотелеву логику. Естественно спросить, почему заключения, полученные с помощью такой логики, должны иметь какое-то отношение к природе. Почему теоремы, доказанные человеческим разумом в тиши кабинетов, должны быть применимы к реальному миру, как, впрочем, и аксиомы, которые во многих случаях являются не более чем измышлениями того же человеческого разума? К вопросу о том, почему математика столь эффективна, мы вернемся в гл. XII.
Необходимо отметить еще одну важную характерную черту математики: использование специальных обозначений. Хотя стра¬ница, испещренная математическими символами, способна отпуг¬нуть непосвященного, нельзя не признать, что без специальных обозначений математики погрязли бы в неразберихе слов. Все мы используем те или иные символы, когда прибегаем к мно¬жеству общепризнанных сокращений. Например, мы часто пишем N.Y., вместо New York (Нью-Йорк), и, хотя смысл таких аббре¬виатур нужно знать заранее, не подлежит сомнению, что краткость символики способствует постижению сути дела, в то время как словесное выражение перегружает разум.
Резюмируя, суть тех средств, которыми математики добывают факты о внешнем мире, можно сформулировать следующим образом: математика строит модели целых классов реальных явле¬ний. Понятия, обычно идеализированные (независимо от того, почерпнуты они из наблюдений природы или являются плодами человеческого разума), аксиомы, которые также могут быть под¬сказаны физическими фактами или придуманы людьми, процессы идеализации, обобщения и абстракции, а также интуиция — все идет в ход при построении моделей. Доказательство цемен¬тирует элементы модели воедино. Наиболее известная модель — евклидова геометрия, но мы познакомимся со многими более изощренными и простыми моделями, рассказывающими нам гораздо больше о. менее очевидных явлениях, чём это делает евклидова геометрия.
Наша цель состоит в том, чтобы показать, как прочно входит математика в современный мир не только как метод, позволяющий компенсировать несовершенство наших органов чувств, но и в гораздо, большей степени как метод расшире¬ния того знания, которое человек способен обрести об окружаю¬щем мире. Как сказал Гамлет, «и в небе и в земле сокрыто больше, чем снится вашей мудрости, Горацио». Нам необходимо выйти за пределы знания, добытого чувственным опытом. Суть математики в отличие от чувственного восприятия состоит в том, что, опираясь на человеческий разум и способность человека к рас¬суждениям, она порождает знание о реальном мире, которое сред-нему человеку, даже если он воспитан на рациональной западной культуре, кажется полученным исключительно путем чувственного восприятия.
Важность математики для исследования реального мира под¬черкивал Алфред Норт Уайтхед в своей книге «Наука и современ¬ный мир»:
Ничто не производит столь сильного впечатления, как то обстоя¬тельство, что математика, чем выше она возносится в горные области все более абстрактной мысли, неизменно возвращается на землю, обретая все большее значение для анализа конкретного факта... Парадокс, оконча¬тельно установленный ныне, состоит в том, что именно предельные абстрак¬ции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.
И как заметил однажды Давид Гильберт, один из самых выдающихся математиков XX в., физика в наше время слишком важна, чтобы оставлять ее физикам.
Белов- Admin
- Сообщения : 1969
Репутация : 1074
Дата регистрации : 2011-01-30
Откуда : Москва -
Клайн М. Историческая ретроспектива: существует ли внешний мир?
Белов Пн Дек 26, 2016 11:29 pm
Клайн М. Историческая ретроспектива: существует ли внешний мир?
(Математика. Поиск истины)
Философ —- это тот., кто знает нечто о том, что никто другой не знает так хорошо.
Декарт
Нет такой нелепости, которую бы не изрекли философы.
Цицерон
Да разве вся философия не похожа на запись сделанную медом. На первый взгляд она выгля¬дит великолепно. Но стоит взглянуть еще раз — и от нее остается только липкое пятно.
Эйнштейн
Существует ли реальный физический мир независимо от че¬ловека? Существуют ли горы, деревья, суша, море и небо неза¬висима от того, есть ли люди, способные воспринимать все эти объекты? Такой вопрос кажется нелепым: р;азумеетея, существуют. Разве мы не наблюдаем окружающий мир гюстоянно? Разве наши органы чувств не рождают у вас непрерывно ощущения, подтверждающие существование1 внешнего мира? Но люди мысля¬щие полагают не лишним подвергнуть сомнению очевидное, даже если это сомнение разрешается еще одним подтверждением.
Обратимся прежде всего к «любомудрам», или любителям мудрости,— философам, которые на протяжении веков размышля¬ли над различными проблемами, связанным» с человеком и окру¬жающим его миром (правда, подобно всем любящим без взаим¬ности, философам нередко случалось быть «отвергнутыми»). Многие из величайших философов размышляли н о внешнем мире. Одни отрицали, другие допускали его существование, во испыты¬вали серьезные сомнения относительно тою, сколь глубоко мы можем познать этот мир и насколько надежно наше знание. Хотя Бертран Рассел, сам выдающийся философ, заявил в своей книге «Наше знание внешнего мира», что «философия с древнейших вре¬мен претендовала на большее, а достигла меньшего, чем любая другая область знания», полезно все же познакомиться с тем, что говорили по этому поводу хотя бы некоторые из философов. Нас будут интересовать в основном мнения тех, кто всерьез ставил под сомнение способность человека постичь окружающий мир.
Первым из древнегреческих философов, размышлявших над проблемой познания внешнего мира, был Гераклит Эфесский, живший в конце VI — начале V в. до н. э. Гераклит не отрицал существования внешнего мира, но утверждал, что все в этом ми¬ре непрерывно изменяется. Гераклит учил, что «невозможно дважды вступить в один и тот же поток», поэтому, какие бы факты мы ни собрали об окружающем нас мире, они уже в следующий миг не имеют к нему ни малейшего отношения.
Эпикур (341—270 до н. э) в отличие от Гераклита считал, что наши ощущения указывают безошибочный путь к постижению истины, и усматривал в этом-фундаментальный принцип. По мнению Эпикура, именно ощущения говорят нам о том, что мате¬рия существует, что происходит движение и что реальность в ко¬нечном счете сводится к телам, состоящим из существующих в пустоте атомов. Что же касается самих атомов, то они вечны и не подвержены разрушению. Атомы неделимы и неизменны.
Интересовался проблемой внешнего мира и Платон (427 — 347 до н. э.), самый влиятельный философ античного периода. Платон допускал существование внешнего мира, но полагал, что мир, воспринимаемый нашими чувствами, пестр, многообразен, непрерывно меняется и ненадежен. Истинный же мир — мир идей — неизменен и непреходящ. Однако мир идей доступен не чувствам, а только разуму. Наблюдения бесполезны. В диалоге «Государство» Платон со всей определенностью утверждает, что реальное, скрывающееся за видимостью вещей, выражаю¬щее их внутреннюю сущность, есть математическое; понять реаль¬ное — значит обнажить его, отделив от видимости а не облечь в видимость. Подчеркивая значение математики, Платон считал ее составной частью общей системы абстрактных, нематериальных, идеальных идей. Именно идеи выражают образцы совершенства, к которому стремится все на свете — и материальное, и этическое, и эстетическое. В диалоге «Государство» Платон говорит:
Глядит ли кто, разинув рот, вверх или же, прищурившись, вниз, когда пытается с помощью ощущений что-либо распознать, все равно, утверждаю я, он никогда этого не постигнет, потому что для подобного рода вещей не существует познания и человек при этом смотрит не вверх, а вниз, хотя бы он и лежал навзничь »а земле или умел плавать на спине в море. ([2J, с. 340.)
Плутарх в «Жизни Марцелла» сообщает, что знаменитые современники Платона Евдокс и Архит прибегали к физическим аргументам при «доказательстве» математических результатов. Платон с негодованием отвергал такого рода доказательства как подрывающие самые основы геометрийг ибо вместо чистого рассуждения они апеллируют к фактам чувственного опыта.
Отношение Платона к знанию, представляющее для нас особый интерес, наиболее наглядно проявляется в его отношении к астро¬номии. По его утверждению, эта наука занимается не изучением движения наблюдаемых небесных тел. Расположение звезд на небе и их видимые движения — зрелище захватывающее, но дале¬ко не одни лишь наблюдения и объяснения движений составляют предмет истинной4 астрономии. Прежде чем достичь таковой, не¬обходимо «то, что на небе, оставить в стороне», ибо истинная астрономия занимается изучением законов движения звезд по математическому небу, несовершенным изображением которого является видимое небо. В диалоге «Государство» Платон устами Сократа так говорит о предмете изучения истинной астрономии:
Эти узоры на небе, украшающие область видимого, надо признать самыми прекрасными и совершенными из подобного рода вещей, но все же' они сильно уступают вещам истинным с их перемещениями относитель¬но друг друга, происходящими с подлинной быстротой и медленностью, в истинном количестве и всевозможных истинных формах...
Значит, небесным узором надо пользоваться как пособием для изуче¬ния подлинного бытия, подобно тому, как если бы нам подвернулись черте¬жи Дедала ил икакого-нибудь иного мастера или художника, отлично и стара¬тельно вычерченные. Кто сведущ в геометрии, тот, взглянув на них, нашел бы прекрасным их выполнение, но было бы смешно их всерьез рассматривать как источник истинного познания равенства, удвоения или каких-либо отношений.
...Значит, мы будем изучать астрономию так же, как геометрию, с приме¬нением общих положений, а то, что на небе, оставим в стороне, раз мы действительно хотим освоить астрономию. ([2], с 340—341.)
Такая концепция астрономии совершенно неприемлема для современного ума, и ученые без колебаний обвинили Платона в том, что, принизив значение чувственного опыта, он причинил ущерб развитию естествознания. Однако не следует упускать из виду, что подход Платона к астрономии во многом аналогичен методу, которому успешно следует геометр, занимающийся изуче¬нием не столько реальных объектов треугольной формы, сколько мысленных идеализации треугольников. Во времена Платона наблюдательная астрономия практически достигла предела возможного, и Платон вправе был считать, что дальнейший про¬гресс астрономии требует глубокого осмысления собранных дан¬ных и их теоретического обобщения.
К сожалению, платоновская концепция абстрактных идеалов, на века замедлила развитие экспериментального естествознания. Ведь из нее следовало, что истинное знание. приобретается только путем философского созерцания абстрактных идей, а не наблюдений случайных и несовершенных явлений реального мира.
Но были (и есть) философы, допускавшие существование реального внешнего мира, убежденные, что наши ощущения _ дают достаточно точное представление о нем. Аристотель в проти¬воположность Платону не только утверждал существование мира, внешнего по отношению к человеку, но и считал, что наши пред¬ставления о нем получаются путем абстрагирования из него идей, общих различным классам материальных объектов, которые мы воспринимаем как треугольники, сферы, листву и горы. Аристо¬тель подверг критике потусторонний мир Платона и сведение естествознания к математике. Физик в буквальном смысле слова, Аристотель видел в материальных объектах первичную субстан¬цию и источник реальности. Физика и естествознание в целом должны заниматься изучением окружающего мира, извлекая в атом процессе истины о нем. Истинное знание по Аристотелю рождается из чувственного опыта с помощью интуиции и абстрак¬ции. Абстрактные идеи не существуют независимо от человеческо¬го разума.
В поисках истины Аристотель прибег к так называемым универ¬салиям — общим качествам, абстрагирбванным от реальных ве¬щей. По словам Аристотеля, «в науке о природе надо попытаться прежде всего определить то, что относится к началам. Естествен¬ный путь к этому ведет от более понятного и явного для нас к более явному и понятному по природе» ([3], с. 61). Взяв обычные чувственно воспринимаемые свойства вещей, Аристотель как бы придал им самостоятельный статус, возвысив до идеальных поня¬тий. В частности, согласно его взглядам, за Землей, пребывав¬шей в центре мира и содержавшей всю воду, шла область, запол¬ненная воздухом; еще выше, до самой Луны, простиралась об¬ласть, заполненная субстанцией, которая называлась огнем, хотя в действительности представляла смесь огня и воздуха. Все эти субстанции, по Аристотелю, обязаны своим происхождением четырем началам: теплому» холодному, сухому и влажному (см. гл. V и X). Начала комбинируются в пары шестью возможными способами, но две из шести комбинаций {теплого и холодного, сухого и влажного) несовместны по своей природе, а остальные четыре порождают четыре элемента. Земля — порождение холод¬ного и сухого» вода — хшодного и влажного, воздух — тепло¬го и влажного, огонь — теплого и сухого. Элементы не вечны; материя же непрестанно переходит из одной формы в другую. В подлунном мире, простирающемся от Земли до Луны, постоян¬но происходит изменение, разложение, умирание и распад, о чем убедительно свидетельствуют метеорологические и геологические явления.
Хотя влияние древнегреческих мыслителей на последующее^ развитие естествознания неоспоримо, некоторые все же склонны недооценивать их взгляды. Действительно, несмотря на то что античная культура всячески подчеркивала значение математики, мир древнегреческих философов с полным основанием можно было бы назвать донаучным. Они не занимались сколько-нибудь серьезно экспериментированием и в целом оставались в стороне от того* что принято ныне понимать под миром науки.
В Средние века проблема внешнего мира отступила на задний план; помыслам» всех философов безраздельно завладела теоло¬гии. Лишь в эпоху Возрождения философы с возросшим инте¬ресом вновь обратилсь к реальному миру. В Западной Европе того времени зарождается современная философия в вместе с ней — интерес к естествознанию.
Основателем современной философии по праву считается Рене Декарт (1596—1650). Его «Рассуждение о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках» (1637) с тремя приложениями («Диоптрика», «Метеоры» и «Гео¬метрия») принадлежит к числу классических произведений. Хотя Декарт полагал, что его философские и естественнонаучные теории подрывают учение Аристотеля и схоластику, в глубине души он оставался схоластом и верным последователем аристо¬телевой традиции. Идя по стопам Аристотеля, Декарт черпал различные утверждения о природе сущего и реальности из соб¬ственного разума. Возможно, что именно поэтому его произведе¬ния оказывали на естествоиспытателей XVII в. несравненно большее влияние, чем исследования тех ученых, кто начал из¬влекать истину путем наблюдения и экспериментирования, т. е. обращаться к источникам, столь разительно отличавшимся от традиционных.
Признавая, что он едм может заблуждаться ничуть не ме¬нее других, Декарт все же сумел найти прочную основу для возведения здания истины. Он обнаружил один-единственный факт, не вызывавший у него сомнения,— положение Cogito. ergo sum («Мыслю, следовательно, существую»). Сознавая собственную конечность и несовершенство, Декарт заключил, что из самого ощущения ограниченности его возможностей с не-обходимостью следует бытие существа бесконечного и совершен¬ного, с которым он, Декарт, мог бы себя соизмерять. Это сущест¬во, Бог, должно существовать, ибо без столь важного атрибута — бытия — оно не было бы совершенным- С точки зрения Декарта, вывод о существовании Бога более важен для естествознания, чем для теологии, ибо открывает возможность решения главной проблемы — существования объективного мира.
Поскольку все наше знание о мире, внешнем по отношению к нашему разуму, мы черпаем из чувственного опыта, возникает вопрос: не существует ли чего-нибудь помимо ощущений и не является ли объективная реальность иллюзией? На этот вопрос Декарт отвечает так: Бог, как существо совершенное, не^ спо¬собен на обман и не стал бы вселять в нас уверенность в существо¬вании мира, если бы этот мир не был реальным.
Постичь объективную реальность мы можем прежде всего через такой ее физический атрибут, как протяженность. Он присущ
самому понятию материи и невыводим из наших. чувственных
восприятий. Следовательно, никакое знание материального мира
нельзя получить (по крайней мере непосредственно) на основа-
нии чувств. Декарт предложил также классификацию наблюдений
материальных объектов, разделив качества последних на первичные и вторичные. Например, он считал, что такое качество,
как цвет, вторично, ибо воспринимается одним из наших органов
чувств, тогда как протяженность и движение — качества первичные.
Для Декарта весь физический мир представлял собой не что иное, как огромную машину, функционирующую по законам, открыть которые человеческий разум может, в частности, путем математических рассуждений. Экспериментирование Декарт как философ отвергал, хотя, выступая как естествоиспытатель, сам ставил опыты.
Непосредственным результатом прогресса знания, достигну¬того в математике и естествознании, явилось положение, высказан¬ное философом Томасом Гоббсом (1588—1679) в сочинении «Ле¬виафан, или материя, форма и власть государства церковного и гражданского» (1651); суть его заключалась в том,-что вне нас существует только материя в движении. Внешние тела оказыва¬ют давление на наши органы чувств и посредством чисто механи¬ческих процессов вызывают ощущения в нашем мозгу. Все зна¬ние проистекает из этих ощущений, рождающих образы в нашем мозгу. Цепочка таких образов вызывает воспоминание о других об¬разах, возникших ранее: например, образ яблока вызывает из па¬мяти образ дерева. Мышление — это построение цепочек образов. В частности, телам и свойствам тел, запечатленным в образах, при¬сваиваются имена, и мышление состоит в установлении связей между именами путем утверждений и в поиске соотношений, кото¬рые обязательно существуют между этими утверждениями.
В своем сочинении «Человеческая природа» (1650) Гоббс утверждает, что идеи являются образами или воспоминаниями о воспринятом ранее посредством чувств. Не существует врож¬денных идей или идеалов, равно как и универсалий или абст¬рактных идей. Треугольник есть не что иное, как идея (образ) всех ранее воспринятых треугольников. Всякая субстанция» порождающая идеи, материальна. Разум — также субстанция. Язык (например, язык естествознания и математики) состоит из одних лишь символов или имен воспринимаемых ощущений. Всякое знание — не более чем воспоминание, и разум оперирует словами, которые не более чем имена вещей. Истинность и лож¬ность — атрибуты имен, но не вещей. То, что. люди — живые существа, истинно, так как то, что называется человеком, назы¬вается также живым существом.
Знание возникает, когда мозг, организуя и упорядочивая утверждения о физических объектах, выявляет закономерности. Именно такие закономерности порождает занятие математикой. Следовательно, математическая деятельность мозга приводит к истинному знанию реального мира, и математическое знание есть истина. По существу реальность доступна нам только в форме математики.
Гоббс с таким упорством отстаивал исключительное право математики на истину, что это вызвало возражение даже самих математиков. В письме к одному из самых выдающихся физиков своего времени Христиану Гюйгенсу математик Джон Валлис сообщал:
Наш Левиафан подвергает яростным нападкам и ниспровергает на¬ши (да и не только наши) университеты и особенно священников, клир и всю религию, утверждая, будто христианский мир не достиг глубокого знания, которое не было бы ущербным и достойным осмеяния с точки зре¬ния либо философии, либо религии, и люди не смогут якобы до конца постичь религию, если они не разбираются в философии, и философию, если не разбираются в математике.
То, что Гоббс всячески подчеркивал чисто физическое про-
исхождение ощущений и ограниченные возможности мозга в про-
цессе рассуждения, шокировало многих философов, привыкших
видеть в головном мозге нечто большее, нежели массу механиче-
ски действующей материи. Свое сочинение «Опыт о человеческом
разуме» (1690) Джон Локк (1632—1704) начал с положения,
близкого по духу Гоббсу, но явно противоречащего Декарту; он
утверждал, что у человека нет врожденных идей — люди рожда-
ются с разумом пустым, как чистые грифельные доски. Опыт,
накапливаемый с помощью органов чувств, «пишет» на этих дос-.
ках, порождая простые идеи. Некоторые npoctbie идеи являются
точным отражением свойств, присущих телам. Примерами таких
свойств (Локк назвал их первичными) могут служить твердость,
протяженность, форма (фигура), движение (или покой) и число.
Эти свойства существуют независимо от того, воспринимает ли
их кто-нибудь другой или не воспринимает. Другие идеи, порож-
даемые ощущениями, отражают вторичные свойства и представ-
ляют собой результат воздействия реальных свойств тел на разум,
но не соответствуют последним: К вторичным свойствам отно-
сятся цвет, вкус, запах и звук. -
Цель, которую поставил перед собой Локк в своем «Опыте», состояла в установлении границы между познаваемым и непозна¬ваемым, «горизонта..., отделяющего освещенные стороны вещей от темных». При этом для Локка были равным образом неприемлемы взгляды и скептиков, «подвергавших сомнению все и ниспровер-гавших всякое знание потому, что некоторые вещи непознавае¬мы», и тех чрезмерно самоуверенных резонеров, занимавших противоположную позицию и полагавших, будто весь безбрежный океан бытия является «естественным и неоспоримым владением нашего разума, где все подвластно его решениям и ничто не может избегнуть его проницательности». В более конструктивном плане Локк намеревался установить основы знания и суждения, а также указать пути достижения истины или приближения к ней во всех вещах, доступных пониманию человеческого разума.
Поясняя замысел, или план, своего сочинения, Локк за¬метил, что видел цель своего «Опыта»_в исследовании «происхож¬дения, достоверности и объема человеческого познания вместе с основаниями и степенями веры, мнений и убежденности» ([4], с. 71). Следуя «историческому, ясному методу», Локк дал объясне¬ние происхождения идей, затем показал, что познание — это пони¬мание посредством этих идей, и, наконец, подверг анализу природу и основания веры и мнений.
Хотя разум не может создать простые идеи, он обладает способностью размышлять над простыми идеями, сопоставлять и объединять их, тем самым конструируя из простых идей слож¬ные. В этом Локк расходится с Гоббсом. Кроме того, Локк по¬лагал, что разум познает не саму реальность, а лишь идеи реаль¬ности и оперирует с ними. Для познания существенно отношение идей, например их непротиворечивость или противоречивость. Истина состоит в знании, соответствующем реальности вещей.
Основные математические идеи — плоды разума, но в конечном счете они восходят к опыту; тем не менее некоторые идеи невоз¬можно проследить до реальных сущностей. Такие более абстракт¬ные математические идеи разум конструирует из основных идей, повторяя, комбинируя и располагая последние в различном поряд¬ке. Эти абстрактные идеи порождаются восприятием, мышлением, сомнением, верой, рассуждением, желанием и знанием. Именно так мы приходим, например, к идее идеальной окружности. Следо¬вательно, существует внутренний опыт, порождающий абстрактные идеи. Математическое познание универсально, абсолютно, достоверно и значимо. Это познание реально, хотя и состоит из идей.
Демонстративное (выводное, доказательное) познание соеди¬няет эти идеи и таким образом устанавливает истины. Локк от¬дает предпочтение математическому познанию, ибо, по его мнению, идеи, которыми оно оперирует, наиболее ясны и, следовательно, надежны. Кроме того, математика устанавливает отношения между идеями, вскрывая необходимые связи между ними, а такие связи разум постигает лучше всего. Локк не только отдавал предпочтение математическому познанию реального мира, но и отрицал прямое физическое познание, ссылаясь на то, что многие факты относительно структуры материи, например физических сил, посредством которых объекты притягиваются друг к другу или отталкиваются, просто не ясны. Кроме того, считал он, так как мы познаем не реальную субстанцию внешнего мира, а лишь идеи, порождаемые ощущениями, физическое познание вряд ли можно считать удовлетворительным. Тем не менее Локк был убежден, что реальный мир, обладающий свойствами, описы¬ваемыми математикой, существует, как существует Бог и мы сами.
В целом теорию познания Локка, хотя она не вполне после¬довательна, можно назвать интуитивной. В его системе истина присуща только предложениям (утверждениям) и прогресс в по¬знании и правильном суждении достигается путем сравнения — прямого либо через промежуточные идеи — предложений с тем, чтобы установить, согласуются они между собой или нет. Позна¬ние достигается, если это согласие или несогласие воспринимаемо непосредственно и вполне определенно.
Даже при демонстративном познании, когда согласие или несогласие воспринимается не непосредственно, а устанавливается путем формирования других идей, каждый шаг в рассуждении должен быть интуитивно ясным и достоверным. При другом виде познания — чувственном — мы интуитивно постигаем существование отдельных внешних вещей, как они представляют¬ся нашим чувствам.
Первое из средств познания — прямая интуиция — дает нам достоверное знание нашего собственного существования, ибо «в каждом акте чувственного восприятия, рассуждения или мыш¬ления мы мыслим свое бытие, достигая таким образом почти высочайшей степени достоверности». Соотношения в геометрии и алгебре, принципы абстрактной морали и существования Бога доказываются посредством рационального логического вывода, в то время как существование внешних вещей, как они пред¬ставляются нашим чувствам, познаваемо чувственным путем — через ощущения. Они являют собой основополагающие истины, имеющие наиболее важное значение для нашего существования и благоденствия, но они, как нетрудно понять, не позволяют нам проникнуть сколько-нибудь далеко в безбрежный океан жизни.
Локк, подобно Декарту, лишал природу всех вторичных свойств. Природа по Локку — зрелище весьма непривлекательное: беззвучная, бесчувственная; бесцветная, без запаха и вкуса, она сводилась к движению материи, лишенной разума. Влияние Лок¬ка на общественное мышление было огромным. В XVIII в. фило¬софия Локка безраздельно господствовала над умами людей подобно тому, как в XVII в. все находились во власти картезиан¬ской философии (философии Декарта).
В своих теориях познания Гоббс и в меньшей степени Локк настоятельно подчеркивали существование материального мира, внешнего по отношению к человеку. Хотя все знание проистекает из внешнего мира, считали они, наиболее достоверные истины о нем, полученные человеческим разумом (или мозгом), дают законы математики. Епископ Джордж Беркли (1685—1753), снискавший известность не только как церковный деятель, но и как философ, усмотрел в признании первостепенного значения ма¬терии и математики угрозу религии и принижение таких понятий, как Бог и душа. Остроумно и язвительно нападая на Гоббса и Локка, он предложил собственную теорию познания.
С особой настойчивостью Беркли отрицал существование внешнего мира, не зависимого от нашего восприятия и мышления. По существу его аргументация сводилась к утверждению, что все ощущения субъективны и, следовательно, зависят от наблюдателя и его точки зрения. Кажущуюся устойчивость многих чувствен¬ных восприятий (например, посмотрев на дерево дважды через небольшой промежуток времени, мы не заметим в нем никаких изменений) Беркли объяснял тем, что наши восприятия хранятся в разуме божьем. t
Решительное наступление на позиции идейных противников Беркли повел в своем главном философском труде «Трактат о принципах человеческого знания» (1708), где он исследовал основные причины заблуждений и затруднений в науках, а также основания скептицизма, атеизма и безверия. И Гоббс, и Локк утверждали, что наше познание состоит исключительно из идей, порождаемых воздействием на наш разум внешних материаль¬ных объектов. Беркли признавал чувственные восприятия, или ощущения, и выводимые из них идеи, но оспаривал утвержде¬ние о том, что идеи порождаются материальными объектами, внешними по отношению к воспринимающему разуму. Поскольку мы воспринимаем только ощущения и идеи,нет оснований счи¬тать, будто существует нечто внешнее по отношению к нам. В ответ на мысль Локка о том, что наши идеи первичных качеств материальных объектов есть точные копии этих свойств, Беркли ядовито заявлял, что идея не может походить ни на что, кроме идеи:
(Математика. Поиск истины)
Философ —- это тот., кто знает нечто о том, что никто другой не знает так хорошо.
Декарт
Нет такой нелепости, которую бы не изрекли философы.
Цицерон
Да разве вся философия не похожа на запись сделанную медом. На первый взгляд она выгля¬дит великолепно. Но стоит взглянуть еще раз — и от нее остается только липкое пятно.
Эйнштейн
Существует ли реальный физический мир независимо от че¬ловека? Существуют ли горы, деревья, суша, море и небо неза¬висима от того, есть ли люди, способные воспринимать все эти объекты? Такой вопрос кажется нелепым: р;азумеетея, существуют. Разве мы не наблюдаем окружающий мир гюстоянно? Разве наши органы чувств не рождают у вас непрерывно ощущения, подтверждающие существование1 внешнего мира? Но люди мысля¬щие полагают не лишним подвергнуть сомнению очевидное, даже если это сомнение разрешается еще одним подтверждением.
Обратимся прежде всего к «любомудрам», или любителям мудрости,— философам, которые на протяжении веков размышля¬ли над различными проблемами, связанным» с человеком и окру¬жающим его миром (правда, подобно всем любящим без взаим¬ности, философам нередко случалось быть «отвергнутыми»). Многие из величайших философов размышляли н о внешнем мире. Одни отрицали, другие допускали его существование, во испыты¬вали серьезные сомнения относительно тою, сколь глубоко мы можем познать этот мир и насколько надежно наше знание. Хотя Бертран Рассел, сам выдающийся философ, заявил в своей книге «Наше знание внешнего мира», что «философия с древнейших вре¬мен претендовала на большее, а достигла меньшего, чем любая другая область знания», полезно все же познакомиться с тем, что говорили по этому поводу хотя бы некоторые из философов. Нас будут интересовать в основном мнения тех, кто всерьез ставил под сомнение способность человека постичь окружающий мир.
Первым из древнегреческих философов, размышлявших над проблемой познания внешнего мира, был Гераклит Эфесский, живший в конце VI — начале V в. до н. э. Гераклит не отрицал существования внешнего мира, но утверждал, что все в этом ми¬ре непрерывно изменяется. Гераклит учил, что «невозможно дважды вступить в один и тот же поток», поэтому, какие бы факты мы ни собрали об окружающем нас мире, они уже в следующий миг не имеют к нему ни малейшего отношения.
Эпикур (341—270 до н. э) в отличие от Гераклита считал, что наши ощущения указывают безошибочный путь к постижению истины, и усматривал в этом-фундаментальный принцип. По мнению Эпикура, именно ощущения говорят нам о том, что мате¬рия существует, что происходит движение и что реальность в ко¬нечном счете сводится к телам, состоящим из существующих в пустоте атомов. Что же касается самих атомов, то они вечны и не подвержены разрушению. Атомы неделимы и неизменны.
Интересовался проблемой внешнего мира и Платон (427 — 347 до н. э.), самый влиятельный философ античного периода. Платон допускал существование внешнего мира, но полагал, что мир, воспринимаемый нашими чувствами, пестр, многообразен, непрерывно меняется и ненадежен. Истинный же мир — мир идей — неизменен и непреходящ. Однако мир идей доступен не чувствам, а только разуму. Наблюдения бесполезны. В диалоге «Государство» Платон со всей определенностью утверждает, что реальное, скрывающееся за видимостью вещей, выражаю¬щее их внутреннюю сущность, есть математическое; понять реаль¬ное — значит обнажить его, отделив от видимости а не облечь в видимость. Подчеркивая значение математики, Платон считал ее составной частью общей системы абстрактных, нематериальных, идеальных идей. Именно идеи выражают образцы совершенства, к которому стремится все на свете — и материальное, и этическое, и эстетическое. В диалоге «Государство» Платон говорит:
Глядит ли кто, разинув рот, вверх или же, прищурившись, вниз, когда пытается с помощью ощущений что-либо распознать, все равно, утверждаю я, он никогда этого не постигнет, потому что для подобного рода вещей не существует познания и человек при этом смотрит не вверх, а вниз, хотя бы он и лежал навзничь »а земле или умел плавать на спине в море. ([2J, с. 340.)
Плутарх в «Жизни Марцелла» сообщает, что знаменитые современники Платона Евдокс и Архит прибегали к физическим аргументам при «доказательстве» математических результатов. Платон с негодованием отвергал такого рода доказательства как подрывающие самые основы геометрийг ибо вместо чистого рассуждения они апеллируют к фактам чувственного опыта.
Отношение Платона к знанию, представляющее для нас особый интерес, наиболее наглядно проявляется в его отношении к астро¬номии. По его утверждению, эта наука занимается не изучением движения наблюдаемых небесных тел. Расположение звезд на небе и их видимые движения — зрелище захватывающее, но дале¬ко не одни лишь наблюдения и объяснения движений составляют предмет истинной4 астрономии. Прежде чем достичь таковой, не¬обходимо «то, что на небе, оставить в стороне», ибо истинная астрономия занимается изучением законов движения звезд по математическому небу, несовершенным изображением которого является видимое небо. В диалоге «Государство» Платон устами Сократа так говорит о предмете изучения истинной астрономии:
Эти узоры на небе, украшающие область видимого, надо признать самыми прекрасными и совершенными из подобного рода вещей, но все же' они сильно уступают вещам истинным с их перемещениями относитель¬но друг друга, происходящими с подлинной быстротой и медленностью, в истинном количестве и всевозможных истинных формах...
Значит, небесным узором надо пользоваться как пособием для изуче¬ния подлинного бытия, подобно тому, как если бы нам подвернулись черте¬жи Дедала ил икакого-нибудь иного мастера или художника, отлично и стара¬тельно вычерченные. Кто сведущ в геометрии, тот, взглянув на них, нашел бы прекрасным их выполнение, но было бы смешно их всерьез рассматривать как источник истинного познания равенства, удвоения или каких-либо отношений.
...Значит, мы будем изучать астрономию так же, как геометрию, с приме¬нением общих положений, а то, что на небе, оставим в стороне, раз мы действительно хотим освоить астрономию. ([2], с 340—341.)
Такая концепция астрономии совершенно неприемлема для современного ума, и ученые без колебаний обвинили Платона в том, что, принизив значение чувственного опыта, он причинил ущерб развитию естествознания. Однако не следует упускать из виду, что подход Платона к астрономии во многом аналогичен методу, которому успешно следует геометр, занимающийся изуче¬нием не столько реальных объектов треугольной формы, сколько мысленных идеализации треугольников. Во времена Платона наблюдательная астрономия практически достигла предела возможного, и Платон вправе был считать, что дальнейший про¬гресс астрономии требует глубокого осмысления собранных дан¬ных и их теоретического обобщения.
К сожалению, платоновская концепция абстрактных идеалов, на века замедлила развитие экспериментального естествознания. Ведь из нее следовало, что истинное знание. приобретается только путем философского созерцания абстрактных идей, а не наблюдений случайных и несовершенных явлений реального мира.
Но были (и есть) философы, допускавшие существование реального внешнего мира, убежденные, что наши ощущения _ дают достаточно точное представление о нем. Аристотель в проти¬воположность Платону не только утверждал существование мира, внешнего по отношению к человеку, но и считал, что наши пред¬ставления о нем получаются путем абстрагирования из него идей, общих различным классам материальных объектов, которые мы воспринимаем как треугольники, сферы, листву и горы. Аристо¬тель подверг критике потусторонний мир Платона и сведение естествознания к математике. Физик в буквальном смысле слова, Аристотель видел в материальных объектах первичную субстан¬цию и источник реальности. Физика и естествознание в целом должны заниматься изучением окружающего мира, извлекая в атом процессе истины о нем. Истинное знание по Аристотелю рождается из чувственного опыта с помощью интуиции и абстрак¬ции. Абстрактные идеи не существуют независимо от человеческо¬го разума.
В поисках истины Аристотель прибег к так называемым универ¬салиям — общим качествам, абстрагирбванным от реальных ве¬щей. По словам Аристотеля, «в науке о природе надо попытаться прежде всего определить то, что относится к началам. Естествен¬ный путь к этому ведет от более понятного и явного для нас к более явному и понятному по природе» ([3], с. 61). Взяв обычные чувственно воспринимаемые свойства вещей, Аристотель как бы придал им самостоятельный статус, возвысив до идеальных поня¬тий. В частности, согласно его взглядам, за Землей, пребывав¬шей в центре мира и содержавшей всю воду, шла область, запол¬ненная воздухом; еще выше, до самой Луны, простиралась об¬ласть, заполненная субстанцией, которая называлась огнем, хотя в действительности представляла смесь огня и воздуха. Все эти субстанции, по Аристотелю, обязаны своим происхождением четырем началам: теплому» холодному, сухому и влажному (см. гл. V и X). Начала комбинируются в пары шестью возможными способами, но две из шести комбинаций {теплого и холодного, сухого и влажного) несовместны по своей природе, а остальные четыре порождают четыре элемента. Земля — порождение холод¬ного и сухого» вода — хшодного и влажного, воздух — тепло¬го и влажного, огонь — теплого и сухого. Элементы не вечны; материя же непрестанно переходит из одной формы в другую. В подлунном мире, простирающемся от Земли до Луны, постоян¬но происходит изменение, разложение, умирание и распад, о чем убедительно свидетельствуют метеорологические и геологические явления.
Хотя влияние древнегреческих мыслителей на последующее^ развитие естествознания неоспоримо, некоторые все же склонны недооценивать их взгляды. Действительно, несмотря на то что античная культура всячески подчеркивала значение математики, мир древнегреческих философов с полным основанием можно было бы назвать донаучным. Они не занимались сколько-нибудь серьезно экспериментированием и в целом оставались в стороне от того* что принято ныне понимать под миром науки.
В Средние века проблема внешнего мира отступила на задний план; помыслам» всех философов безраздельно завладела теоло¬гии. Лишь в эпоху Возрождения философы с возросшим инте¬ресом вновь обратилсь к реальному миру. В Западной Европе того времени зарождается современная философия в вместе с ней — интерес к естествознанию.
Основателем современной философии по праву считается Рене Декарт (1596—1650). Его «Рассуждение о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках» (1637) с тремя приложениями («Диоптрика», «Метеоры» и «Гео¬метрия») принадлежит к числу классических произведений. Хотя Декарт полагал, что его философские и естественнонаучные теории подрывают учение Аристотеля и схоластику, в глубине души он оставался схоластом и верным последователем аристо¬телевой традиции. Идя по стопам Аристотеля, Декарт черпал различные утверждения о природе сущего и реальности из соб¬ственного разума. Возможно, что именно поэтому его произведе¬ния оказывали на естествоиспытателей XVII в. несравненно большее влияние, чем исследования тех ученых, кто начал из¬влекать истину путем наблюдения и экспериментирования, т. е. обращаться к источникам, столь разительно отличавшимся от традиционных.
Признавая, что он едм может заблуждаться ничуть не ме¬нее других, Декарт все же сумел найти прочную основу для возведения здания истины. Он обнаружил один-единственный факт, не вызывавший у него сомнения,— положение Cogito. ergo sum («Мыслю, следовательно, существую»). Сознавая собственную конечность и несовершенство, Декарт заключил, что из самого ощущения ограниченности его возможностей с не-обходимостью следует бытие существа бесконечного и совершен¬ного, с которым он, Декарт, мог бы себя соизмерять. Это сущест¬во, Бог, должно существовать, ибо без столь важного атрибута — бытия — оно не было бы совершенным- С точки зрения Декарта, вывод о существовании Бога более важен для естествознания, чем для теологии, ибо открывает возможность решения главной проблемы — существования объективного мира.
Поскольку все наше знание о мире, внешнем по отношению к нашему разуму, мы черпаем из чувственного опыта, возникает вопрос: не существует ли чего-нибудь помимо ощущений и не является ли объективная реальность иллюзией? На этот вопрос Декарт отвечает так: Бог, как существо совершенное, не^ спо¬собен на обман и не стал бы вселять в нас уверенность в существо¬вании мира, если бы этот мир не был реальным.
Постичь объективную реальность мы можем прежде всего через такой ее физический атрибут, как протяженность. Он присущ
самому понятию материи и невыводим из наших. чувственных
восприятий. Следовательно, никакое знание материального мира
нельзя получить (по крайней мере непосредственно) на основа-
нии чувств. Декарт предложил также классификацию наблюдений
материальных объектов, разделив качества последних на первичные и вторичные. Например, он считал, что такое качество,
как цвет, вторично, ибо воспринимается одним из наших органов
чувств, тогда как протяженность и движение — качества первичные.
Для Декарта весь физический мир представлял собой не что иное, как огромную машину, функционирующую по законам, открыть которые человеческий разум может, в частности, путем математических рассуждений. Экспериментирование Декарт как философ отвергал, хотя, выступая как естествоиспытатель, сам ставил опыты.
Непосредственным результатом прогресса знания, достигну¬того в математике и естествознании, явилось положение, высказан¬ное философом Томасом Гоббсом (1588—1679) в сочинении «Ле¬виафан, или материя, форма и власть государства церковного и гражданского» (1651); суть его заключалась в том,-что вне нас существует только материя в движении. Внешние тела оказыва¬ют давление на наши органы чувств и посредством чисто механи¬ческих процессов вызывают ощущения в нашем мозгу. Все зна¬ние проистекает из этих ощущений, рождающих образы в нашем мозгу. Цепочка таких образов вызывает воспоминание о других об¬разах, возникших ранее: например, образ яблока вызывает из па¬мяти образ дерева. Мышление — это построение цепочек образов. В частности, телам и свойствам тел, запечатленным в образах, при¬сваиваются имена, и мышление состоит в установлении связей между именами путем утверждений и в поиске соотношений, кото¬рые обязательно существуют между этими утверждениями.
В своем сочинении «Человеческая природа» (1650) Гоббс утверждает, что идеи являются образами или воспоминаниями о воспринятом ранее посредством чувств. Не существует врож¬денных идей или идеалов, равно как и универсалий или абст¬рактных идей. Треугольник есть не что иное, как идея (образ) всех ранее воспринятых треугольников. Всякая субстанция» порождающая идеи, материальна. Разум — также субстанция. Язык (например, язык естествознания и математики) состоит из одних лишь символов или имен воспринимаемых ощущений. Всякое знание — не более чем воспоминание, и разум оперирует словами, которые не более чем имена вещей. Истинность и лож¬ность — атрибуты имен, но не вещей. То, что. люди — живые существа, истинно, так как то, что называется человеком, назы¬вается также живым существом.
Знание возникает, когда мозг, организуя и упорядочивая утверждения о физических объектах, выявляет закономерности. Именно такие закономерности порождает занятие математикой. Следовательно, математическая деятельность мозга приводит к истинному знанию реального мира, и математическое знание есть истина. По существу реальность доступна нам только в форме математики.
Гоббс с таким упорством отстаивал исключительное право математики на истину, что это вызвало возражение даже самих математиков. В письме к одному из самых выдающихся физиков своего времени Христиану Гюйгенсу математик Джон Валлис сообщал:
Наш Левиафан подвергает яростным нападкам и ниспровергает на¬ши (да и не только наши) университеты и особенно священников, клир и всю религию, утверждая, будто христианский мир не достиг глубокого знания, которое не было бы ущербным и достойным осмеяния с точки зре¬ния либо философии, либо религии, и люди не смогут якобы до конца постичь религию, если они не разбираются в философии, и философию, если не разбираются в математике.
То, что Гоббс всячески подчеркивал чисто физическое про-
исхождение ощущений и ограниченные возможности мозга в про-
цессе рассуждения, шокировало многих философов, привыкших
видеть в головном мозге нечто большее, нежели массу механиче-
ски действующей материи. Свое сочинение «Опыт о человеческом
разуме» (1690) Джон Локк (1632—1704) начал с положения,
близкого по духу Гоббсу, но явно противоречащего Декарту; он
утверждал, что у человека нет врожденных идей — люди рожда-
ются с разумом пустым, как чистые грифельные доски. Опыт,
накапливаемый с помощью органов чувств, «пишет» на этих дос-.
ках, порождая простые идеи. Некоторые npoctbie идеи являются
точным отражением свойств, присущих телам. Примерами таких
свойств (Локк назвал их первичными) могут служить твердость,
протяженность, форма (фигура), движение (или покой) и число.
Эти свойства существуют независимо от того, воспринимает ли
их кто-нибудь другой или не воспринимает. Другие идеи, порож-
даемые ощущениями, отражают вторичные свойства и представ-
ляют собой результат воздействия реальных свойств тел на разум,
но не соответствуют последним: К вторичным свойствам отно-
сятся цвет, вкус, запах и звук. -
Цель, которую поставил перед собой Локк в своем «Опыте», состояла в установлении границы между познаваемым и непозна¬ваемым, «горизонта..., отделяющего освещенные стороны вещей от темных». При этом для Локка были равным образом неприемлемы взгляды и скептиков, «подвергавших сомнению все и ниспровер-гавших всякое знание потому, что некоторые вещи непознавае¬мы», и тех чрезмерно самоуверенных резонеров, занимавших противоположную позицию и полагавших, будто весь безбрежный океан бытия является «естественным и неоспоримым владением нашего разума, где все подвластно его решениям и ничто не может избегнуть его проницательности». В более конструктивном плане Локк намеревался установить основы знания и суждения, а также указать пути достижения истины или приближения к ней во всех вещах, доступных пониманию человеческого разума.
Поясняя замысел, или план, своего сочинения, Локк за¬метил, что видел цель своего «Опыта»_в исследовании «происхож¬дения, достоверности и объема человеческого познания вместе с основаниями и степенями веры, мнений и убежденности» ([4], с. 71). Следуя «историческому, ясному методу», Локк дал объясне¬ние происхождения идей, затем показал, что познание — это пони¬мание посредством этих идей, и, наконец, подверг анализу природу и основания веры и мнений.
Хотя разум не может создать простые идеи, он обладает способностью размышлять над простыми идеями, сопоставлять и объединять их, тем самым конструируя из простых идей слож¬ные. В этом Локк расходится с Гоббсом. Кроме того, Локк по¬лагал, что разум познает не саму реальность, а лишь идеи реаль¬ности и оперирует с ними. Для познания существенно отношение идей, например их непротиворечивость или противоречивость. Истина состоит в знании, соответствующем реальности вещей.
Основные математические идеи — плоды разума, но в конечном счете они восходят к опыту; тем не менее некоторые идеи невоз¬можно проследить до реальных сущностей. Такие более абстракт¬ные математические идеи разум конструирует из основных идей, повторяя, комбинируя и располагая последние в различном поряд¬ке. Эти абстрактные идеи порождаются восприятием, мышлением, сомнением, верой, рассуждением, желанием и знанием. Именно так мы приходим, например, к идее идеальной окружности. Следо¬вательно, существует внутренний опыт, порождающий абстрактные идеи. Математическое познание универсально, абсолютно, достоверно и значимо. Это познание реально, хотя и состоит из идей.
Демонстративное (выводное, доказательное) познание соеди¬няет эти идеи и таким образом устанавливает истины. Локк от¬дает предпочтение математическому познанию, ибо, по его мнению, идеи, которыми оно оперирует, наиболее ясны и, следовательно, надежны. Кроме того, математика устанавливает отношения между идеями, вскрывая необходимые связи между ними, а такие связи разум постигает лучше всего. Локк не только отдавал предпочтение математическому познанию реального мира, но и отрицал прямое физическое познание, ссылаясь на то, что многие факты относительно структуры материи, например физических сил, посредством которых объекты притягиваются друг к другу или отталкиваются, просто не ясны. Кроме того, считал он, так как мы познаем не реальную субстанцию внешнего мира, а лишь идеи, порождаемые ощущениями, физическое познание вряд ли можно считать удовлетворительным. Тем не менее Локк был убежден, что реальный мир, обладающий свойствами, описы¬ваемыми математикой, существует, как существует Бог и мы сами.
В целом теорию познания Локка, хотя она не вполне после¬довательна, можно назвать интуитивной. В его системе истина присуща только предложениям (утверждениям) и прогресс в по¬знании и правильном суждении достигается путем сравнения — прямого либо через промежуточные идеи — предложений с тем, чтобы установить, согласуются они между собой или нет. Позна¬ние достигается, если это согласие или несогласие воспринимаемо непосредственно и вполне определенно.
Даже при демонстративном познании, когда согласие или несогласие воспринимается не непосредственно, а устанавливается путем формирования других идей, каждый шаг в рассуждении должен быть интуитивно ясным и достоверным. При другом виде познания — чувственном — мы интуитивно постигаем существование отдельных внешних вещей, как они представляют¬ся нашим чувствам.
Первое из средств познания — прямая интуиция — дает нам достоверное знание нашего собственного существования, ибо «в каждом акте чувственного восприятия, рассуждения или мыш¬ления мы мыслим свое бытие, достигая таким образом почти высочайшей степени достоверности». Соотношения в геометрии и алгебре, принципы абстрактной морали и существования Бога доказываются посредством рационального логического вывода, в то время как существование внешних вещей, как они пред¬ставляются нашим чувствам, познаваемо чувственным путем — через ощущения. Они являют собой основополагающие истины, имеющие наиболее важное значение для нашего существования и благоденствия, но они, как нетрудно понять, не позволяют нам проникнуть сколько-нибудь далеко в безбрежный океан жизни.
Локк, подобно Декарту, лишал природу всех вторичных свойств. Природа по Локку — зрелище весьма непривлекательное: беззвучная, бесчувственная; бесцветная, без запаха и вкуса, она сводилась к движению материи, лишенной разума. Влияние Лок¬ка на общественное мышление было огромным. В XVIII в. фило¬софия Локка безраздельно господствовала над умами людей подобно тому, как в XVII в. все находились во власти картезиан¬ской философии (философии Декарта).
В своих теориях познания Гоббс и в меньшей степени Локк настоятельно подчеркивали существование материального мира, внешнего по отношению к человеку. Хотя все знание проистекает из внешнего мира, считали они, наиболее достоверные истины о нем, полученные человеческим разумом (или мозгом), дают законы математики. Епископ Джордж Беркли (1685—1753), снискавший известность не только как церковный деятель, но и как философ, усмотрел в признании первостепенного значения ма¬терии и математики угрозу религии и принижение таких понятий, как Бог и душа. Остроумно и язвительно нападая на Гоббса и Локка, он предложил собственную теорию познания.
С особой настойчивостью Беркли отрицал существование внешнего мира, не зависимого от нашего восприятия и мышления. По существу его аргументация сводилась к утверждению, что все ощущения субъективны и, следовательно, зависят от наблюдателя и его точки зрения. Кажущуюся устойчивость многих чувствен¬ных восприятий (например, посмотрев на дерево дважды через небольшой промежуток времени, мы не заметим в нем никаких изменений) Беркли объяснял тем, что наши восприятия хранятся в разуме божьем. t
Решительное наступление на позиции идейных противников Беркли повел в своем главном философском труде «Трактат о принципах человеческого знания» (1708), где он исследовал основные причины заблуждений и затруднений в науках, а также основания скептицизма, атеизма и безверия. И Гоббс, и Локк утверждали, что наше познание состоит исключительно из идей, порождаемых воздействием на наш разум внешних материаль¬ных объектов. Беркли признавал чувственные восприятия, или ощущения, и выводимые из них идеи, но оспаривал утвержде¬ние о том, что идеи порождаются материальными объектами, внешними по отношению к воспринимающему разуму. Поскольку мы воспринимаем только ощущения и идеи,нет оснований счи¬тать, будто существует нечто внешнее по отношению к нам. В ответ на мысль Локка о том, что наши идеи первичных качеств материальных объектов есть точные копии этих свойств, Беркли ядовито заявлял, что идея не может походить ни на что, кроме идеи:
Белов- Admin
- Сообщения : 1969
Репутация : 1074
Дата регистрации : 2011-01-30
Откуда : Москва -
продолжение
Белов Пн Дек 26, 2016 11:30 pm
Прибегая к самому крайнему усилию для представления себе существо¬вания внешних тел, мы достигаем лишь того, что созерцаем наши собст¬венные идеи. Но, не обращая внимания на самого себя, дух впадает в заблуждение, думая, что он может представлять и действительно представ¬ляет себе тела, существующие без мысли вне духа, хотя в то же время они воспринимаются им или существуют в нем. ([5J, с. 181.)
Все наше знание — в разуме.
Свою позицию Беркли подкрепил аргументом, который под¬сказал ему, сам того не желая, Локк, различавший идеи первичных и вторичных свойств. Идеи первичных свойств, заявлял Беркли, соответствуют реальным свойствам, идеи вторичных свойств существуют только в духе. «Не в моей власти образовать идею протяженного и движущегося тела без снабжения его некоторым цветом или другим ощущаемым качеством, о котором признаю, что оно существует только в духе» ([5], с. 181),— утверждал Бер¬кли. Но коль скоро вторичные качества существуют только в духе, первичные также отражены только в нем.
Кратко суть построений Беркли сводится к следующему. По¬скольку наше познание ограничено ощущениями и идеями, по¬рождаемыми ощущениями, но не распространяется на сами внешние объекты, необходимость в предположении о существова¬нии внешнего мира отпадает. Внешний мир существует ничуть не в большей степени, чем искры, которые сыплются у человека из глаз, если его сильно ударить по голове. Вывод о существова¬нии материального внешнего мира лишен смысла и недоступен познанию. Если бы внешние тела существовали, то мы никаким способом не могли бы узнать об этом, а если бы они не сущест¬вовали, то по тем же причинам мы должны были бы думать, будто они существуют. Дух и ощущения — вот единственные реальности. Так Беркли опровергал идею о существовании материи.
Но ему было необходимо разделаться и с математикой. Как могло случиться, что дух обрел способность выводить законы, позволяющие не только описывать, но и предсказывать происхо¬дящее в гипотетическом внешнем мире? Что мог Беркли противо¬поставить глубоко укоренившемуся в XVII в. убеждению в истин¬ности знания о внешнем мире, которое дает математика?
Беркли жаждал во что бы то ни стало подорвать веру в непогре¬шимость математики, и он был достаточно искушен, чтобы нанести удар по самому уязвимому месту. Основным понятием дифферен¬циального исчисления было понятие мгновенной скорости прира¬щения функции. Но как надлежит понимать мгновенную скорость приращения — здесь мнения расходились; и Ньютон, и Лейбниц излагали это понятие недостаточно вразумительно. Именно на него и обрушился Беркли (не без основания и с полной убеж¬денностью в своей правоте). В своем сочинении «Аналитик, или рассуждение, адресованное одному неверующему математику [Эдмонду Галлею], где исследуется, являются ли предмет, принци¬пы и заключения современного анализа более отчетливо познавае¬мыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры» (1734) Беркли негодующе вопрошал:
Что такое эти флюксии [термин, которым Ньютон называл мгновенные скорости приращений]? Скорости исчезающе малых приращений. А что такое эти исчезающе малые приращения? Они не есть ни конечные величи¬ны, ни бесконечно малые величины, но они и не нули. Разве мы не имеем права называть их призраками исчезнувших величин? ([5], с. 425—426.)
~^...Но я полагал бы, что тому, кто в состоянии переварить вторую или третью флюксию, второй или третий дифференциал, не следовало бы приверед¬ничать в отношении какого-либо положения в вопросах религиозных. ([51, с. 40К)
То, что дифференциальное исчисление, несмотря на трудности связанные с введением новых понятий, уже доказало свою полез¬ность, Беркли объяснял всего лишь тем, что допущенные ошибки удачно компенсировали друг друга. Критикуя математический анализ, обоснованием которого занимались его современники, Беркли в действительности не отвергал все истины о реальном мире, открытые математикой. Он лишь хотел заставить своих оппонентов призадуматься, подвергнув критике слабое место в их обороне. Суть своей философии Беркли выразил словами:
Весь хор небесный и все, что ни есть на эемле, словом, все тела, которые образуют величественную систему мира, не обладают никакой субстанцией без нашего ума ... Покуда они не воспринимаются мной или не существуют в моем уме или в чьем-нибудь еще сотворенном духе, они вообще лишены существования или присутствуют в разуме некоего Вечного Духа.
Но даже сам Беркли не смог избежать -эпизодических выла¬зок в тот самый внешний мир, существование которого он отри¬цал. В своей последней работе под названием «Сейрис, или цепь философских размышлений, касающихся достоинств дегтярной настойки и разных других предметов, связанных друг с другом и возникающих один из другого» Беркли настоятельно рекомендо¬вал дегтярную настойку как средство от оспы, чахотки, подагры, плеврита, астмы, несварения желудка и многих других болезней. Впрочем, такие временные отходы от занимаемой позиции вряд ли следует ставить в вину Беркли. Всякий, кто заглянет в его сочине¬ние «Три разговора между Гиласом и Фнлонусом», убедится, сколь искусно и с каким блеском он отстаивает свою философию.
Крайние взгляды Беркли на материю и разум породили из¬вестную шутку: «Что такое материя?— Не нашего ума дело. Что такое ум?— Не наша эта материя». Лишая материализм материи, Беркли полагал, что тем самым он отвергает и внешний мир.
Казалось, вряд л» можно высказываться более радикально по вопросу об отношении человека к внешнему миру, чем это де¬лал Бегисли. Но по мнению шотландского философа-скептика Дэвида Юма (1711 — 1776), Беркли ушел не так уж далекое если Беркли признавал мыслящий разум, в котором существовали ощущения и идеи, то Юм отрицал и разум. В своем «Трактате о человеческой природе, или попытке применить основанный на опыте метод рассуждения к моральным предметам» (1739— 1740) Юм утверждал, что мы не знаем ни разума, ни материи. И то и другое — лишь фикций, не воспринимаемые нами. Воспри¬нимаем же мы впечатления (ощущения) и идеи — образы, воспо¬минания, мысли,— но все эти три разновидности воспринимаемого не более чем слабые отголоски впечатлений. Разумеется, впечат¬ления и идеи подразделяются на простые и сложные, но сложные впечатления есть не что иное, как комбинации простых впечат¬лений. Наш разум, по утверждению Юма, тождествен набору наших впечатлений и идей и представляет собой лишь удобный термин для обозначения такого набора.
По вопросу о материи Юм разделял мнение Беркли. Кто га¬рантирует нам бытие перманентно существующего мира телес¬ных объектов? Все, что мы знаем,— это наши чувственные впечат¬ления о таком мире. Соединяя идеи по сходству и располагая их в определенной последовательности, память упорядочивает мир идей так же, как сила тяжести устанавливает порядок во внешнем мире. Пространство и время — всего лишь способ и порядок, в котором являются нам идеи. Ни пространство, ни время не есть объективные реальности. Сила и прочность наших идей вводят нас в заблуждение, заставляя верить в такие реаль¬ности.
Вывод о существовании внешнего мира с неизменными свойст¬вами ничем не обоснован. Нет оснований полагать, будто су¬ществует что-нибудь кроме впечатлений и идей, ничему не соответ¬ствующих и ничего не представляющих. Следовательно, не может быть и научных законов, относящихся к перманентному объектив-ному внешнему миру; то, что мы называем такими законами,— не более чем удобное обозначение для некоторой суммы впечат¬лений. У нас нет способа узнать, повторятся ли те последователь¬ности впечатлений, которые мы наблюдали. Мы сами представ¬ляем собой всего лишь разрозненные наборы восприятий, т. е. впечатления и идей. Мы существуем только в этом смысле. При любой попытке с нашей стороны воспринять самих себя мы доходим лишь до восприятия. Для любого человека все остальные люди и предполагаемый внешний мир — всего лишь восприятия, и нет гарантии, что они действительно существуют.
Лишь одно препятствие стояло на пути всепроникающего скептицизма Юма — существование общепризнанных истин самой математики. Просто отмахнуться от них Юм не мог, и ему не оставалось ничего другого, как попытаться принизить ценность математических истин. По мнению Юма,теоремы чистой мате¬матики — это излишние утверждения, ненужные повторения одного и того же различными способами. То, что дважды два — четыре, не ново. В действительности дважды два — всего лишь иной способ записать или назвать устно число «четы¬ре». Следовательно, и это, и другие утверждения арифметики — не более чем тавтология. Что же касается теорем геометрии, то они представляют собой повторения в более сложной форме аксиом, в которых в свою очередь не больше смысла, чем в утвер¬ждении о том, что дважды два — четыре.
В своем «Трактате о человеческой природе» Юм скептически отозвался о силе разума как орудия для рационального объ¬яснения:
Ни один Объект на обнаруживает себя качествами, доступными нашим ощущениям, или причинами, породившими его, или действиями, проистекающими от него; без помощи опыта наш разум не в состоянии сделать какое-либо заключение относительно реального бытия и существования.
Опыт может подсказать причину и действие, следствие, но основанное на опыте убеждение лишено рациональной основы. Убеждение разумно только в том случае, если его отрицание логически противоречиво, но ни одно убеждение, к которому нас приводит опыт, не отвечает этому требованию. Подлинной науки . о перманентном и объективном мире не существует; наука чисто эмпирическая.
Общую проблему познания физического мира Юм решает,
отрицая самую возможность получения истин о нем. Ни теоремы математики, ни существование Бога, ни существование внешнего мира, причинности, природы, ни чудеса истинами не являют-
ся. Так Юм с помощью разума разрушил то, что было создано
разумом, подчеркивая в то же время ограниченность возмож-
ностей последнего. •
Окончательный вывод всей философии Юма — отрицание им наивысшей способности человека, способности познания мира,— большинство мыслителей XVIII в. восприняло весьма неодобри¬тельно. Слишком велики были достижения математики и другие проявления человеческого разума, чтобы ос них так легко отка¬заться. Иммануил Кант (1724—1804) без обиняков выразил свое непринятие необоснованного расширительного толкования Юмом теории познания Локка: разум должен снова занять подобающее ему место. Кант не сомневался, что человек располагает идеями и истинами, представляющими нечто большее, нежели простое соединение чувственного опыта.
Тем не менее при тщательном изучении итог размышлений Канта оказался не столь обнадеживающим. В своем сочинении «Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей по¬явиться как наука» (1783) Кант писал:
Мы можем с достоверностью сказать, что некоторые чистые априор¬ные синтетические познания имеются и нам даны, а именно чистая матема¬тика и чистое естествознание, потому что оба содержат положения, частью аподиктически достоверные на основе одного только разума, частью же на ос¬нове общего согласия из опыта и тем не менее повсеместно признанные не¬зависимыми от опыта. ([6], с. 89.)
В «Критике чистого разума» (1781) Кант приходит к более уте¬шительному выводу, признавая истинами все аксиомы и теоремы математики. Почему, спрашивает себя Кант, мы столь охотно приемлем эти истины? Сам по себе опыт не может служить оправ¬данием нашей готовности к признанию математических истин. Ответить на поставленный вопрос, по мнению Канта, можно лишь после того, как будет найден ответ -на более общий вопрос: как возможна сама наука математика?
Кант избрал совершенно новый подход к проблеме получе¬ния человеком истинного знания. Первый его шаг состоял в том, чтобы провести различие между двоякого рода суждениями, дающими знание. Суждения первого рода Кант называл анали¬тическими; они не дают нового знания. Примером может служить суждение «Все тела протяженны». Оно лишь констатирует в явном виде свойство, присущее всем телам в силу того, что это — тела, и не сообщает нам ничего нового. Суждения второго рода, выводи¬мые каким-то образом нашим разумом независимо от опыта, Кант называл априорными.
По мысли Канта, опыт не может быть единственным источ¬ником истины, ибо опыт — лишь пестрая смесь ощущений, в ко¬торую не привнесены ни рациональное начало, ни организация. Следовательно, сами по себе наблюдения не дают истин. Исти¬ны, если они существуют, должны быть априорными суждениями. Кроме того, чтобы быть подлинным знанием, истины должны быть синтетическими суждениями — давать новое знание.
За убедительным примером не нужно ходить далеко: он в совокупности математического знания. Почти все аксиомы и теоремы математики Кант относит к априорным синтетиче¬ским суждениям. Утверждение о том, что прямая — это кратчай¬шее расстояние между двумя точками, заведомо синтетическое, ибо сочетает в себе две идеи — прямолинейности и кратчайше¬го расстояния, ни одна из которых не выводима из другой. Вместе с тем это суждение априорно, так как никакой опыт с прямыми и никакие измерения не могли бы убедить нас в том, что перед нами неизменная универсальная истина, какой считал это утверждение Кант. Таким образом, Кант не сомневался, что люди обладают априорными синтетическими суждениями, т. е. подлинными истинами.
Кант попытался пойти дальше. Почему, спросил он себя, мы с такой готовностью принимаем за истину утверждение о том, что прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками? Откуда нашему разуму известны такие истины? Ответить на этот вопрос мы могли бы, если бы знали ответ на вопрос, как возможна сама математика. Кант полагал, что формы пространства и времени присущи нашему разуму независимо от Опыта. Он называл эти формы созерцаниями, считая их чисто априорными средствами познания, не основанными ни на опыте, ни на логическом рас¬суждении. Так как созерцание пространства априори присуще разуму, некоторые аксиомы о пространстве постигаются разумом непосредственно, и геометрам остается лишь извлекать логические следствия из этих аксиом. Законы пространства и времени, законы разума предшествуют познанию реальных явлений, делая- его возможным. По словам Канта, «всеобщие и необходимые законы опыта принадлежат не самой природе, а только разуму, который вкладывает их в природу».
Мы воспринимаем, организуем и постигаем опыт в соответ¬ствии с теми формами мысли, которые присущи нашему разуму. Опыт попадает в них, словно тесто в форму. Рассудок отпеча¬тывает их на воспринятых чувственных впечатлениях, вынуждая ощущения (Подстраиваться под априорные формы мысли. По¬скольку созерцание пространства присуще разуму, он автома¬тически постигает некоторые формы пространства. Такие посту¬латы геометрии, как «прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками» или «через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну*, а также аксиома Евклида о параллельности, которые Кант называл апри¬орными синтетическими суждениями, являются частью «оснаще-ния» нашего разума. Геометрия как наука занимается изучением логических следствий из этих постулатов. Тот факт, что рассудок воспринимает опыт в понятиях «пространственной структуры», предопределяет согласие опыта с исходными аксиомами, посту¬латами и теоремами геометрии.
Поскольку Кант строил пространство из клеток человече¬ского мозга, он не видел оснований для того, чтобы не сделать это пространство евклидовым. Неспособность представить себе другую геометрию, убедила его в том, что таковой просто не су¬ществует. Утверждая ИСТИННОСТЬ евклидовой геометрии, он в то же время доказывал существование априорных синтетических сужде¬ний. По Канту, законы евклидовой геометрии не присущи внеш-нему миру, а сам мир не задуман Богам так, чтобы в нем выпол¬нялась евклидова геометрия. Законы геометрии — это механизм, позволявший человеку привносить в ощущения организацию и рациональное начало. Что же касается Бога, то, по утверждению Канта, природа божественного лежит за пределами рациональ¬ного знания, во мы должны верить в Бога. Но при всей дерзости Канта в философии его суждения о геометрии были весьма опро-метчивы: прожив почти безвыездно в своем родном городе Кениг¬сберге [ныне Калининград! в Восточной Пруссии, Кант тем не ме¬нее вздумал определитъ геометрию мира.
Каких взглядов придерживался Кант относительно матема¬тических законов естествознания? Поскольку весь опыт воспри¬нимается через мыслительные схемы пространства и времени, математика должна быть применима ко всему опыту. В «Мета¬физических начальных «основаниях естествознания» (1787) Кант трактует законы Ньютона и следствия из них как самоочевидные. Он утверждает, будто ему удалось доказать, что первый закон Ньютона может быть выведен из чистого разума и что этот за¬кон — единственное допущение, при котором природа может быть познана человеческим разумом.
В более общем плане Кант полагал, что мир науки есть мир чувственных впечатлений, упорядоченных и управляемых рас¬судком в соответствии с такими врожденными категориями, как пространство, время, причина, действие и субстанция. Наш разум как бы обставлен мебелью, в которой с удобством могут располо¬житься гости. Чувственные впечатления поступают из внешнего мира, но этот мир, к сожалению, непознаваем. Реальность может быть познана только в субъективных категориях познающего ра¬зума. Следовательно, невозможен иной способ организации опыта, чем геометрия Евклида и механика Ньютона.
Согласно Канту, по мере расширения опыта и возникнове¬ния новых наук, разум не формулирует новые принципы путем обобщения нового опыта: для интерпретации последнего лишь включаются дополнительные* ранее не использовавшиеся области рассудка. Способность разума к пониманию возрастает с накоп¬лением опыта. По этой причине одни истины (например* законы механики) постигаются позже других* известных на протяжении столетий.
Кант утверждал также, что мы не можем надеяться приоб¬рести достоверное знание на основании, одного лишь чувствен¬ного знакомства с объектами. Мы никогда не познаем реаль¬ные вещи в себе. Но если мы способны познать что-нибудь досто¬верно, то это должно быть результатом процесса, происходящего в нашем рассудке при изучении данных, полученных на внеш¬него мира.
Философия Канта, которую мы обрисовали лишь в самых об¬щих чертах,— это прославление разума, однако Кант приписал ему роль исследователя не природы, а сокровенных тайн человече¬ской души. Опыт Кант признавал лишь как необходимый элемент познания,, так как ощущения,, вызываемые внешним миром,, по-ставляют «сырой материал», организуемый рассудком. Математи¬ка обрела в философии Канта свое место открывателя непрелож¬ных законов разума.
Из приведенного нами беглого очерка теории познания Канта видно, что существование математических истин он сделал крае¬угольным камнем своей философии. В частности, Кант опирался на истины евклидовой геометрии. Увы! Созданная в XIX в. неевкли¬дова геометрия опровергла все аргументы Канта,
Несмотря на превосходную философию Канта и признание его работ, наиболее знаменитый из английских философов XIX в. Джон Стюарт Милль (1806—1873) вернулся к взглядам Юма, не¬сколько видоизменив их. Милль был позитивистом; он утверждал, что, хотя знание в основном проистекает из опыта, оно включает также соотношения, формулируемые познающим разумом относи¬тельно чувственных данных. Доказать существование внешнего мира невозможно, но в равной мере невозможно доказать, что внешний мир не существует.
Под внешним объектом мы понимаем нечто существующее независимо от того, мыслим мы его или нет, остающееся не¬изменным, даже если вызываемые им ощущения изменяются, и общее для многих наблюдателей, хотя испытываемые ими ощу¬щения могут отличаться. По Миллю, представление о внешнем мире в любой момент времени лишь в малой степени состоит из реальных ощущений, а в основном — из возможных ощущений (не тех, которые некто испытывает, а тех, которые он испытал бы, двигаясь или поворачивая голову). Материя есть то, что может перманентно порождать ощущения. Память, согласно Миллю, также играет некую роль в познании такого типа.
Внешний мир мы познаем только через ощущения. Такое зна¬ние несовершенно, и нам неведомы его точные границы и протя¬женность. Простые идеи, рожденные ощущениями, наш разум комбинирует в сложные; такое знание номинально, но не сущест¬венно. Знание, добытое методом индукции, не достоверно, а лишь вероятно, но это — все, чем мы располагаем в науке и можем руководствоваться в жизни.
Как считал Милль, наши умозаключения в математике, на¬пример в евклидовой геометрии, необходимы только в том смыс¬ле, что они следуют из исходных допущений. Однако сами ис¬ходные допущения (аксиомы) основаны на наблюдениях и пред¬ставляют собой обобщения опыта. Арифметика и алгебра также основаны на опыте. Выражения 2 + 2 = 3+1=4 являются психо¬логическими обобщениями. Алгебра же есть не что иное, как более абстрактное продолжение таких обобщений.
Методу индукции Милль придавал первостепенное значение, считая его источником возможных обобщений, подобных законам природы. Причина — не более как антецедент последующего. Все происходящее имеет причину, выводимую из опыта. Именно в этом и состоит по Миллю точный смысл принципа однородности природы.
Помимо экспериментального знания нет ничего, что было бы возможно или необходимо. Опыт и психология могут полностью объяснить наше знание, и на них зиждется наша уверенность в существовании внешнего мира. Милль был эмпириком, хотя его взгляды отличаются от скептицизма Юма. Идеи Милля близки к эмпиризму и логическому позитивизму XX в. и, можно сказать, способствовали возникновению данных направлений в философии.
Какие выводы относительно существования внешнего мира и надежности нашего знания можно сделать из этого ретроспек¬тивного обзора взглядов выдающихся философов прошлого? * Мы разделяем точку зрения Эйнштейна:
Вера в существование внешнего мира, независимого от воспринимающе¬го субъекта, лежит в основе всего естествознания. Но так как чувственное восприятие дает информацию об этом внешнем мире, или о «физической реальности», опосредствовано, мы можем охватить последнюю только путем рассуждений. ([7], с. 136.)
Опыт не может служить доказательством существования реальности — он носит личный характер.
* О взглядах современных философов, сложившихся под влиянием новейших достижений естествознания, мы расскажем в последующих главах.
Хотя мы встали на позицию эмпириков и вознамерились выяснить, что же можно, узнать о внешнем мире, нам лучше всего начать с ответа на вопрос, насколько надежны наши чувствен¬ные восприятия. Этим мы займемся в гл. I. Прежде всего нас будет интересовать, в какой мере математике удается вносить поправки в то, что можно было бы назвать иллюзиями, и в особенности открывать полностью невоспринимаемые нами физические явления.
Все наше знание — в разуме.
Свою позицию Беркли подкрепил аргументом, который под¬сказал ему, сам того не желая, Локк, различавший идеи первичных и вторичных свойств. Идеи первичных свойств, заявлял Беркли, соответствуют реальным свойствам, идеи вторичных свойств существуют только в духе. «Не в моей власти образовать идею протяженного и движущегося тела без снабжения его некоторым цветом или другим ощущаемым качеством, о котором признаю, что оно существует только в духе» ([5], с. 181),— утверждал Бер¬кли. Но коль скоро вторичные качества существуют только в духе, первичные также отражены только в нем.
Кратко суть построений Беркли сводится к следующему. По¬скольку наше познание ограничено ощущениями и идеями, по¬рождаемыми ощущениями, но не распространяется на сами внешние объекты, необходимость в предположении о существова¬нии внешнего мира отпадает. Внешний мир существует ничуть не в большей степени, чем искры, которые сыплются у человека из глаз, если его сильно ударить по голове. Вывод о существова¬нии материального внешнего мира лишен смысла и недоступен познанию. Если бы внешние тела существовали, то мы никаким способом не могли бы узнать об этом, а если бы они не сущест¬вовали, то по тем же причинам мы должны были бы думать, будто они существуют. Дух и ощущения — вот единственные реальности. Так Беркли опровергал идею о существовании материи.
Но ему было необходимо разделаться и с математикой. Как могло случиться, что дух обрел способность выводить законы, позволяющие не только описывать, но и предсказывать происхо¬дящее в гипотетическом внешнем мире? Что мог Беркли противо¬поставить глубоко укоренившемуся в XVII в. убеждению в истин¬ности знания о внешнем мире, которое дает математика?
Беркли жаждал во что бы то ни стало подорвать веру в непогре¬шимость математики, и он был достаточно искушен, чтобы нанести удар по самому уязвимому месту. Основным понятием дифферен¬циального исчисления было понятие мгновенной скорости прира¬щения функции. Но как надлежит понимать мгновенную скорость приращения — здесь мнения расходились; и Ньютон, и Лейбниц излагали это понятие недостаточно вразумительно. Именно на него и обрушился Беркли (не без основания и с полной убеж¬денностью в своей правоте). В своем сочинении «Аналитик, или рассуждение, адресованное одному неверующему математику [Эдмонду Галлею], где исследуется, являются ли предмет, принци¬пы и заключения современного анализа более отчетливо познавае¬мыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры» (1734) Беркли негодующе вопрошал:
Что такое эти флюксии [термин, которым Ньютон называл мгновенные скорости приращений]? Скорости исчезающе малых приращений. А что такое эти исчезающе малые приращения? Они не есть ни конечные величи¬ны, ни бесконечно малые величины, но они и не нули. Разве мы не имеем права называть их призраками исчезнувших величин? ([5], с. 425—426.)
~^...Но я полагал бы, что тому, кто в состоянии переварить вторую или третью флюксию, второй или третий дифференциал, не следовало бы приверед¬ничать в отношении какого-либо положения в вопросах религиозных. ([51, с. 40К)
То, что дифференциальное исчисление, несмотря на трудности связанные с введением новых понятий, уже доказало свою полез¬ность, Беркли объяснял всего лишь тем, что допущенные ошибки удачно компенсировали друг друга. Критикуя математический анализ, обоснованием которого занимались его современники, Беркли в действительности не отвергал все истины о реальном мире, открытые математикой. Он лишь хотел заставить своих оппонентов призадуматься, подвергнув критике слабое место в их обороне. Суть своей философии Беркли выразил словами:
Весь хор небесный и все, что ни есть на эемле, словом, все тела, которые образуют величественную систему мира, не обладают никакой субстанцией без нашего ума ... Покуда они не воспринимаются мной или не существуют в моем уме или в чьем-нибудь еще сотворенном духе, они вообще лишены существования или присутствуют в разуме некоего Вечного Духа.
Но даже сам Беркли не смог избежать -эпизодических выла¬зок в тот самый внешний мир, существование которого он отри¬цал. В своей последней работе под названием «Сейрис, или цепь философских размышлений, касающихся достоинств дегтярной настойки и разных других предметов, связанных друг с другом и возникающих один из другого» Беркли настоятельно рекомендо¬вал дегтярную настойку как средство от оспы, чахотки, подагры, плеврита, астмы, несварения желудка и многих других болезней. Впрочем, такие временные отходы от занимаемой позиции вряд ли следует ставить в вину Беркли. Всякий, кто заглянет в его сочине¬ние «Три разговора между Гиласом и Фнлонусом», убедится, сколь искусно и с каким блеском он отстаивает свою философию.
Крайние взгляды Беркли на материю и разум породили из¬вестную шутку: «Что такое материя?— Не нашего ума дело. Что такое ум?— Не наша эта материя». Лишая материализм материи, Беркли полагал, что тем самым он отвергает и внешний мир.
Казалось, вряд л» можно высказываться более радикально по вопросу об отношении человека к внешнему миру, чем это де¬лал Бегисли. Но по мнению шотландского философа-скептика Дэвида Юма (1711 — 1776), Беркли ушел не так уж далекое если Беркли признавал мыслящий разум, в котором существовали ощущения и идеи, то Юм отрицал и разум. В своем «Трактате о человеческой природе, или попытке применить основанный на опыте метод рассуждения к моральным предметам» (1739— 1740) Юм утверждал, что мы не знаем ни разума, ни материи. И то и другое — лишь фикций, не воспринимаемые нами. Воспри¬нимаем же мы впечатления (ощущения) и идеи — образы, воспо¬минания, мысли,— но все эти три разновидности воспринимаемого не более чем слабые отголоски впечатлений. Разумеется, впечат¬ления и идеи подразделяются на простые и сложные, но сложные впечатления есть не что иное, как комбинации простых впечат¬лений. Наш разум, по утверждению Юма, тождествен набору наших впечатлений и идей и представляет собой лишь удобный термин для обозначения такого набора.
По вопросу о материи Юм разделял мнение Беркли. Кто га¬рантирует нам бытие перманентно существующего мира телес¬ных объектов? Все, что мы знаем,— это наши чувственные впечат¬ления о таком мире. Соединяя идеи по сходству и располагая их в определенной последовательности, память упорядочивает мир идей так же, как сила тяжести устанавливает порядок во внешнем мире. Пространство и время — всего лишь способ и порядок, в котором являются нам идеи. Ни пространство, ни время не есть объективные реальности. Сила и прочность наших идей вводят нас в заблуждение, заставляя верить в такие реаль¬ности.
Вывод о существовании внешнего мира с неизменными свойст¬вами ничем не обоснован. Нет оснований полагать, будто су¬ществует что-нибудь кроме впечатлений и идей, ничему не соответ¬ствующих и ничего не представляющих. Следовательно, не может быть и научных законов, относящихся к перманентному объектив-ному внешнему миру; то, что мы называем такими законами,— не более чем удобное обозначение для некоторой суммы впечат¬лений. У нас нет способа узнать, повторятся ли те последователь¬ности впечатлений, которые мы наблюдали. Мы сами представ¬ляем собой всего лишь разрозненные наборы восприятий, т. е. впечатления и идей. Мы существуем только в этом смысле. При любой попытке с нашей стороны воспринять самих себя мы доходим лишь до восприятия. Для любого человека все остальные люди и предполагаемый внешний мир — всего лишь восприятия, и нет гарантии, что они действительно существуют.
Лишь одно препятствие стояло на пути всепроникающего скептицизма Юма — существование общепризнанных истин самой математики. Просто отмахнуться от них Юм не мог, и ему не оставалось ничего другого, как попытаться принизить ценность математических истин. По мнению Юма,теоремы чистой мате¬матики — это излишние утверждения, ненужные повторения одного и того же различными способами. То, что дважды два — четыре, не ново. В действительности дважды два — всего лишь иной способ записать или назвать устно число «четы¬ре». Следовательно, и это, и другие утверждения арифметики — не более чем тавтология. Что же касается теорем геометрии, то они представляют собой повторения в более сложной форме аксиом, в которых в свою очередь не больше смысла, чем в утвер¬ждении о том, что дважды два — четыре.
В своем «Трактате о человеческой природе» Юм скептически отозвался о силе разума как орудия для рационального объ¬яснения:
Ни один Объект на обнаруживает себя качествами, доступными нашим ощущениям, или причинами, породившими его, или действиями, проистекающими от него; без помощи опыта наш разум не в состоянии сделать какое-либо заключение относительно реального бытия и существования.
Опыт может подсказать причину и действие, следствие, но основанное на опыте убеждение лишено рациональной основы. Убеждение разумно только в том случае, если его отрицание логически противоречиво, но ни одно убеждение, к которому нас приводит опыт, не отвечает этому требованию. Подлинной науки . о перманентном и объективном мире не существует; наука чисто эмпирическая.
Общую проблему познания физического мира Юм решает,
отрицая самую возможность получения истин о нем. Ни теоремы математики, ни существование Бога, ни существование внешнего мира, причинности, природы, ни чудеса истинами не являют-
ся. Так Юм с помощью разума разрушил то, что было создано
разумом, подчеркивая в то же время ограниченность возмож-
ностей последнего. •
Окончательный вывод всей философии Юма — отрицание им наивысшей способности человека, способности познания мира,— большинство мыслителей XVIII в. восприняло весьма неодобри¬тельно. Слишком велики были достижения математики и другие проявления человеческого разума, чтобы ос них так легко отка¬заться. Иммануил Кант (1724—1804) без обиняков выразил свое непринятие необоснованного расширительного толкования Юмом теории познания Локка: разум должен снова занять подобающее ему место. Кант не сомневался, что человек располагает идеями и истинами, представляющими нечто большее, нежели простое соединение чувственного опыта.
Тем не менее при тщательном изучении итог размышлений Канта оказался не столь обнадеживающим. В своем сочинении «Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей по¬явиться как наука» (1783) Кант писал:
Мы можем с достоверностью сказать, что некоторые чистые априор¬ные синтетические познания имеются и нам даны, а именно чистая матема¬тика и чистое естествознание, потому что оба содержат положения, частью аподиктически достоверные на основе одного только разума, частью же на ос¬нове общего согласия из опыта и тем не менее повсеместно признанные не¬зависимыми от опыта. ([6], с. 89.)
В «Критике чистого разума» (1781) Кант приходит к более уте¬шительному выводу, признавая истинами все аксиомы и теоремы математики. Почему, спрашивает себя Кант, мы столь охотно приемлем эти истины? Сам по себе опыт не может служить оправ¬данием нашей готовности к признанию математических истин. Ответить на поставленный вопрос, по мнению Канта, можно лишь после того, как будет найден ответ -на более общий вопрос: как возможна сама наука математика?
Кант избрал совершенно новый подход к проблеме получе¬ния человеком истинного знания. Первый его шаг состоял в том, чтобы провести различие между двоякого рода суждениями, дающими знание. Суждения первого рода Кант называл анали¬тическими; они не дают нового знания. Примером может служить суждение «Все тела протяженны». Оно лишь констатирует в явном виде свойство, присущее всем телам в силу того, что это — тела, и не сообщает нам ничего нового. Суждения второго рода, выводи¬мые каким-то образом нашим разумом независимо от опыта, Кант называл априорными.
По мысли Канта, опыт не может быть единственным источ¬ником истины, ибо опыт — лишь пестрая смесь ощущений, в ко¬торую не привнесены ни рациональное начало, ни организация. Следовательно, сами по себе наблюдения не дают истин. Исти¬ны, если они существуют, должны быть априорными суждениями. Кроме того, чтобы быть подлинным знанием, истины должны быть синтетическими суждениями — давать новое знание.
За убедительным примером не нужно ходить далеко: он в совокупности математического знания. Почти все аксиомы и теоремы математики Кант относит к априорным синтетиче¬ским суждениям. Утверждение о том, что прямая — это кратчай¬шее расстояние между двумя точками, заведомо синтетическое, ибо сочетает в себе две идеи — прямолинейности и кратчайше¬го расстояния, ни одна из которых не выводима из другой. Вместе с тем это суждение априорно, так как никакой опыт с прямыми и никакие измерения не могли бы убедить нас в том, что перед нами неизменная универсальная истина, какой считал это утверждение Кант. Таким образом, Кант не сомневался, что люди обладают априорными синтетическими суждениями, т. е. подлинными истинами.
Кант попытался пойти дальше. Почему, спросил он себя, мы с такой готовностью принимаем за истину утверждение о том, что прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками? Откуда нашему разуму известны такие истины? Ответить на этот вопрос мы могли бы, если бы знали ответ на вопрос, как возможна сама математика. Кант полагал, что формы пространства и времени присущи нашему разуму независимо от Опыта. Он называл эти формы созерцаниями, считая их чисто априорными средствами познания, не основанными ни на опыте, ни на логическом рас¬суждении. Так как созерцание пространства априори присуще разуму, некоторые аксиомы о пространстве постигаются разумом непосредственно, и геометрам остается лишь извлекать логические следствия из этих аксиом. Законы пространства и времени, законы разума предшествуют познанию реальных явлений, делая- его возможным. По словам Канта, «всеобщие и необходимые законы опыта принадлежат не самой природе, а только разуму, который вкладывает их в природу».
Мы воспринимаем, организуем и постигаем опыт в соответ¬ствии с теми формами мысли, которые присущи нашему разуму. Опыт попадает в них, словно тесто в форму. Рассудок отпеча¬тывает их на воспринятых чувственных впечатлениях, вынуждая ощущения (Подстраиваться под априорные формы мысли. По¬скольку созерцание пространства присуще разуму, он автома¬тически постигает некоторые формы пространства. Такие посту¬латы геометрии, как «прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками» или «через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну*, а также аксиома Евклида о параллельности, которые Кант называл апри¬орными синтетическими суждениями, являются частью «оснаще-ния» нашего разума. Геометрия как наука занимается изучением логических следствий из этих постулатов. Тот факт, что рассудок воспринимает опыт в понятиях «пространственной структуры», предопределяет согласие опыта с исходными аксиомами, посту¬латами и теоремами геометрии.
Поскольку Кант строил пространство из клеток человече¬ского мозга, он не видел оснований для того, чтобы не сделать это пространство евклидовым. Неспособность представить себе другую геометрию, убедила его в том, что таковой просто не су¬ществует. Утверждая ИСТИННОСТЬ евклидовой геометрии, он в то же время доказывал существование априорных синтетических сужде¬ний. По Канту, законы евклидовой геометрии не присущи внеш-нему миру, а сам мир не задуман Богам так, чтобы в нем выпол¬нялась евклидова геометрия. Законы геометрии — это механизм, позволявший человеку привносить в ощущения организацию и рациональное начало. Что же касается Бога, то, по утверждению Канта, природа божественного лежит за пределами рациональ¬ного знания, во мы должны верить в Бога. Но при всей дерзости Канта в философии его суждения о геометрии были весьма опро-метчивы: прожив почти безвыездно в своем родном городе Кениг¬сберге [ныне Калининград! в Восточной Пруссии, Кант тем не ме¬нее вздумал определитъ геометрию мира.
Каких взглядов придерживался Кант относительно матема¬тических законов естествознания? Поскольку весь опыт воспри¬нимается через мыслительные схемы пространства и времени, математика должна быть применима ко всему опыту. В «Мета¬физических начальных «основаниях естествознания» (1787) Кант трактует законы Ньютона и следствия из них как самоочевидные. Он утверждает, будто ему удалось доказать, что первый закон Ньютона может быть выведен из чистого разума и что этот за¬кон — единственное допущение, при котором природа может быть познана человеческим разумом.
В более общем плане Кант полагал, что мир науки есть мир чувственных впечатлений, упорядоченных и управляемых рас¬судком в соответствии с такими врожденными категориями, как пространство, время, причина, действие и субстанция. Наш разум как бы обставлен мебелью, в которой с удобством могут располо¬житься гости. Чувственные впечатления поступают из внешнего мира, но этот мир, к сожалению, непознаваем. Реальность может быть познана только в субъективных категориях познающего ра¬зума. Следовательно, невозможен иной способ организации опыта, чем геометрия Евклида и механика Ньютона.
Согласно Канту, по мере расширения опыта и возникнове¬ния новых наук, разум не формулирует новые принципы путем обобщения нового опыта: для интерпретации последнего лишь включаются дополнительные* ранее не использовавшиеся области рассудка. Способность разума к пониманию возрастает с накоп¬лением опыта. По этой причине одни истины (например* законы механики) постигаются позже других* известных на протяжении столетий.
Кант утверждал также, что мы не можем надеяться приоб¬рести достоверное знание на основании, одного лишь чувствен¬ного знакомства с объектами. Мы никогда не познаем реаль¬ные вещи в себе. Но если мы способны познать что-нибудь досто¬верно, то это должно быть результатом процесса, происходящего в нашем рассудке при изучении данных, полученных на внеш¬него мира.
Философия Канта, которую мы обрисовали лишь в самых об¬щих чертах,— это прославление разума, однако Кант приписал ему роль исследователя не природы, а сокровенных тайн человече¬ской души. Опыт Кант признавал лишь как необходимый элемент познания,, так как ощущения,, вызываемые внешним миром,, по-ставляют «сырой материал», организуемый рассудком. Математи¬ка обрела в философии Канта свое место открывателя непрелож¬ных законов разума.
Из приведенного нами беглого очерка теории познания Канта видно, что существование математических истин он сделал крае¬угольным камнем своей философии. В частности, Кант опирался на истины евклидовой геометрии. Увы! Созданная в XIX в. неевкли¬дова геометрия опровергла все аргументы Канта,
Несмотря на превосходную философию Канта и признание его работ, наиболее знаменитый из английских философов XIX в. Джон Стюарт Милль (1806—1873) вернулся к взглядам Юма, не¬сколько видоизменив их. Милль был позитивистом; он утверждал, что, хотя знание в основном проистекает из опыта, оно включает также соотношения, формулируемые познающим разумом относи¬тельно чувственных данных. Доказать существование внешнего мира невозможно, но в равной мере невозможно доказать, что внешний мир не существует.
Под внешним объектом мы понимаем нечто существующее независимо от того, мыслим мы его или нет, остающееся не¬изменным, даже если вызываемые им ощущения изменяются, и общее для многих наблюдателей, хотя испытываемые ими ощу¬щения могут отличаться. По Миллю, представление о внешнем мире в любой момент времени лишь в малой степени состоит из реальных ощущений, а в основном — из возможных ощущений (не тех, которые некто испытывает, а тех, которые он испытал бы, двигаясь или поворачивая голову). Материя есть то, что может перманентно порождать ощущения. Память, согласно Миллю, также играет некую роль в познании такого типа.
Внешний мир мы познаем только через ощущения. Такое зна¬ние несовершенно, и нам неведомы его точные границы и протя¬женность. Простые идеи, рожденные ощущениями, наш разум комбинирует в сложные; такое знание номинально, но не сущест¬венно. Знание, добытое методом индукции, не достоверно, а лишь вероятно, но это — все, чем мы располагаем в науке и можем руководствоваться в жизни.
Как считал Милль, наши умозаключения в математике, на¬пример в евклидовой геометрии, необходимы только в том смыс¬ле, что они следуют из исходных допущений. Однако сами ис¬ходные допущения (аксиомы) основаны на наблюдениях и пред¬ставляют собой обобщения опыта. Арифметика и алгебра также основаны на опыте. Выражения 2 + 2 = 3+1=4 являются психо¬логическими обобщениями. Алгебра же есть не что иное, как более абстрактное продолжение таких обобщений.
Методу индукции Милль придавал первостепенное значение, считая его источником возможных обобщений, подобных законам природы. Причина — не более как антецедент последующего. Все происходящее имеет причину, выводимую из опыта. Именно в этом и состоит по Миллю точный смысл принципа однородности природы.
Помимо экспериментального знания нет ничего, что было бы возможно или необходимо. Опыт и психология могут полностью объяснить наше знание, и на них зиждется наша уверенность в существовании внешнего мира. Милль был эмпириком, хотя его взгляды отличаются от скептицизма Юма. Идеи Милля близки к эмпиризму и логическому позитивизму XX в. и, можно сказать, способствовали возникновению данных направлений в философии.
Какие выводы относительно существования внешнего мира и надежности нашего знания можно сделать из этого ретроспек¬тивного обзора взглядов выдающихся философов прошлого? * Мы разделяем точку зрения Эйнштейна:
Вера в существование внешнего мира, независимого от воспринимающе¬го субъекта, лежит в основе всего естествознания. Но так как чувственное восприятие дает информацию об этом внешнем мире, или о «физической реальности», опосредствовано, мы можем охватить последнюю только путем рассуждений. ([7], с. 136.)
Опыт не может служить доказательством существования реальности — он носит личный характер.
* О взглядах современных философов, сложившихся под влиянием новейших достижений естествознания, мы расскажем в последующих главах.
Хотя мы встали на позицию эмпириков и вознамерились выяснить, что же можно, узнать о внешнем мире, нам лучше всего начать с ответа на вопрос, насколько надежны наши чувствен¬ные восприятия. Этим мы займемся в гл. I. Прежде всего нас будет интересовать, в какой мере математике удается вносить поправки в то, что можно было бы назвать иллюзиями, и в особенности открывать полностью невоспринимаемые нами физические явления.
Белов- Admin
- Сообщения : 1969
Репутация : 1074
Дата регистрации : 2011-01-30
Откуда : Москва -
ОБМАН ЧУВСТВ И ИНТУИЦИЯ
Белов Пт Янв 27, 2017 12:10 am
Ощущения — это обман наших чувств. Декарт
Несмотря на то что Беркли отрицал существование мира вне нас, а Юм, Гераклит, Платон и МиллЬ признавали это только с раз¬личными оговорками и ограничениями, физики и математики убеждены в том, что внешний мир существует. Они утверждают, что даже если бы все люди внезапно исчезли, то внешний, или физический, мир продолжал бы существовать. Если в чаще леса на землю падает дерево, то звук раздается независимо от того, слышит его кто-нибудь или не слышит. Мы наделены пятью чувствами: зрением, слухом, осязанием, вкусом и обонянием^ и каждое из них непрерывно воспринимает «послания» из этого мира.
Из практических соображений, а именно для того, чтобы выжить или иметь возможность улучшить условия бытия в реаль¬ном мире, мы определенно хотим знать об этом мире как можно больше. Нам необходимо отличать сушу от моря. Нам нужно выращивать съедобные растения и разводить животных, строить укрытия и защищаться от диких зверей. Почему бы нам для достижения этих целей не полагаться на свои органы чувств? Ведь именно так поступают примитивные цивилизации. Но подоб¬но тому, как мир чист для того, кто чист сердцем, мир прост для того, кто простодушен.
Пытаясь улучшить материальные условия своего существова¬ния, мы вынуждены расширять наше знание внешнего мира. Это побуждает нас напрягать до предела и наши органы чувств. К сожалению, они не только ограничены по своим возможно¬стям, но и способны вводить нас в заблуждение. Если бы мы полагались только на наши органы чувств, то последствия этого могли бы быть самыми печальными. Нетрудно назвать случаи, когда наши чувства обманывают нас.
Самым ценным из пяти чувств, по-видимому, является зре¬ние, и следует прежде всего проверить, в какой мере мы мо¬жем доверять ему. Начнем с примеров. За долгие годы ученые придумали и построили много обманчивых картинок, наглядно демонстрирующих, сколь ограничены возможности нашего глаза. Физики и астрономы в XIX в. проявляли большой интерес к оптическим иллюзиям, ибо их очень заботила надежность визуаль¬ных наблюдений. На рис. 1 показана Т-образная фигура, предло¬женная Вильгельмом Вундтом, ассистентом знаменитого естество¬испытателя Германа Гельмгольца (1821 — 1894). При взгляде на эту картинку кажется, что вертикальная линия длиннее горизон¬тальной, хотя в действительности обе они имеют равную длину. Иллюзию Вундта можно обратить: на рис. 2 показана другая Т-образная фигура, у которой обе линии — горизонтальная и вертикальная — кажутся одинаковыми по длине, в действитель¬ности же горизонтальная линия длиннее.
Рис. 1 * Рис 2
Рис. 3, который предложил в 1899 г. Франц Мюллер-Лайер, дает нам пример иллюзии другого рода. Она известна под на¬званием иллюзии Эрнста Маха. В действительности здесь обе гори¬зонтальные линии имеют одинаковую длину.
>- < <—> <г—Ч
Рис. 3 Рис. 4
Точкой на рис. 4 помечена середина горизонтального отрезка. Иллюзия неравенства его правой и левой частей создается стрел¬ками на концах.
Рис. 5
На рис. 5 верхнее основание нижней трапеции кажется короче верхнего основания верхней трапеции. Попутно заметим, что, как ни трудно в это поверить, максимальная ширина нижней трапеции по горизонтали превышает ее высоту.
На рис. 6 поразительную иллюзию создают углы — тупой и острый: диагонали АВ и АС двух параллелограммов равны, хотя диагональ АС кажется гораздо короче.
Рис. 6 Рис. 7
Удивительное впечатление производит также картинка с двумя наклонными линиями, пересекаемыми двумя вертикальными прямыми (рис. 7). Если правую наклонную линию продолжить, то она пересечется с левой в ее верхнем конце. Кажущаяся точка пересечения расположена несколько ниже. Эту хорошо известную иллюзию приписывают Иоганну Поггендорфу (около 1860).
Три горизонтальных отрезка на рис. 8 равны, хотя кажется, что они имеют различную длину. Эта иллюзия обусловлена вели¬
Рис. 8
чиной углов, образуемых с горизонтальными отрезками линий на концах. В определенных пределах больший угол вызывает иллю¬зию большего удлинения центрального горизонтального участка.
Рис. 9
Поразительная иллюзия контраста изображена на рис. 9. Окружности в центре левой и правой фигур равны, хотя окруж¬ность в обрамлении шести окружностей большего радиуса кажет¬ся меньше, чем окружность в обрамлении шести окружностей меньшего радиуса.
Другой механизм лежит в основе иллюзии Мюллера-Лайера. Линии, отходящие от верхнего и нижнего концов вертикального отрезка А на рис. 10, воспринимаются как верхние и нижние
края двух стен, образующих выступающий угол. Вертикальное ребро А выходит на первый план «сцены реального мира». Справа на рис. 10 две стены образуют угол, уходящий от зрителя. В резуль¬тате вертикальное ребро В отступает на задний план. Убеждение в постоянстве размеров зрительно увеличивает длину ребра В и уменьшает длину ребра А.
Оптическую иллюзию, изображенную на рис. 11 и 12, первым описал Иоганн Цёлльнер. Он случайно заметил^ этот эффект на рисунке ткани. Длинные параллельные прямые на рис. 11 кажутся расходящимися, а на рис. 12 — сходящимися.
Рис. 12
Картинка, демонстрирующая так называемую иллюзию Херин-га (рис. 13), была впервые опубликована Эвальдом Херингом' в 1861 г.: горизонтальные прямые кажутся здесь изогнутыми на фоне сходящихся наклонных прямых.
Рис. 13
Ненадежность зрения подтверждается еще одним примером, придуманным С. Толанским. На рис. 14 изображена фигура, обыч¬но встречающаяся в работах но статистике. Основание CD фигуры равно ее высоте. Если попростить зрителя провести отрезок, равный полуширине (половине CD) фигуры, то он, как правило, проводит отрезок Л В, тогда как в действительности полуширине равен отрезок XY.
с в Рис 14 N
Нам всем хорошо знакома иллюзия, используемая широко, сознательно и высокопрофессионально, а именно реалистическая живопись. Художник намеренно пытается изобразить трехмерную сцену аа плоском (даумершш) холсте. Одно из великих достиже¬ний художников эпохи Возрождения заключалось в создании математической схемы, известной под названием теории линей¬ной перспективы, которая позволяет добиться желаемого эффекта.
С некоторыми простыми примерами иллюзии, рожденной ли¬нейной персвемтишй, мы встречаемся в своем повседневном опыте. Принцип, используемый в этих примерах и в теории ли¬нейной перспективы, состоит в том, что линии в реальной сцене, идущие от зрителя, должны казаться СХОДЯЩИМИСЯ в некоторой точке — так называемой точке схода. Простым примером могут служить два параллельных рельса железной дороги: кажется, что они сходятся-вдали в некоторой точке (рис. 15).
Эффект перспективы особенно заметен на рис. 16, где лучи, идущие в точку схода, проведены для создания иллюзии объемной сцены. Высокие ящики в действительности одинаковы (имеют одну и ту же длину, ширину и высоту), но кажется, что «дальний» ящик больше. Опыт говорит, что с увеличением расстояния до наблюдаемого, предмета его размеры кажутся меньше, поэтому правый ящик выглядит больше, чем на самом деле.
Питая горячее пристрастие к реалистической живописи, мы охотно идем на то, чтобы быть обманутыми. Более того, этот обман доставляет нам удовольствие. Написанные в реалистической
Рис 15
манере-картины двумерны, но если они нарисованы в соответствии с законами математической теории линейной перспективы, то, гля¬дя на них, мы испытываем такое ощущение, будто разглядываем трёхмерную сцену. Хорошим примером такого рода «объемных изображений» может служить «Афинская академия» Рафаэля (рис. 17).
Резюмируя, мы можем утверждать, что математическая теория линейной перспективы позволяет использовать оптические иллю¬зии. Изображая на заднем плане предметы и человеческие фигуры меньших размеров, чем на переднем, художник добивается глу¬бины изображения, ибо и в действительности человеческий глаз видит так, что далекие предметы кажутся ему меньше, чем близкие. Прибегают художники и к другому оптическому эффекту: краски более далеких предметов они смягчают, делая более блеклыми по сравнению с яркими красками предметов, находящихся на переднем плане.
В своем повседневном опыте мы сталкиваемся и с другими оптическими иллюзиями. Солнце и Луна вблизи горизонта вы¬глядят по размерам больше, чем когда они стоят высоко в небе: вблизи горизонта оба светила кажутся нам ближе, и мы подсозна¬тельно поддаемся этой иллюзии. Разумеется, точные измерения показывают, что размеры Солнца и Луны остаются неизменными.
Измерив угол, под которым глаз видит диаметр Луны, мы обнаружили бы, что он близок к половине градуса. Так как половина дуги небосвода составляет 180°, угол, под которым виден диаметр Луны, равен 1/360 угловых размеров небосвода. Площадь же лунного диска составляет поразительно малую долю (около 1/100 000) площади небосвода, но если вспомнить, сколь вели¬колепное зрелище являет собой наше ночное светило в полно-луние, то трудно поверить, что занимаемая им площадь столь^ ничтожна.
Ряд других оптических иллюзий связан с явлением рефрак¬ции, или преломления, света. Всем нам приходилось замечать, что палка, частично погруженная в воду, кажется переломленной в том месте, где она входит в воду.
С древних времен внимание людей привлекало такое проявле¬ние рефракции в воздухе как мираж. Это явление порождается совместным действием двух эффектов: разного преломления лучей света в неодинаково нагретых Солнцем (и потому имеющих различную плотность) слоях воздуха и полного внутреннего отражения. Когда нам случается в жаркий день ехать на автомо¬биле по длинному прямому участку гладкого ровного шоссе, то мы наблюдаем еще один мираж. Издали кажется, будто дорога впереди покрыта водой, но, подъехав ближе, мы убеждаемся, что воды нет и в помине. Чем же обусловлен такой эффект?
Мираж возникает только в том случае, если поверхность до¬роги сильно нагрета солнцем. Соприкасаясь с дорожным по¬лотном, воздух нагревается, плотность его становится меньше, и более легкие нижние слои поднимаются вверх. Следовательно, свет в нижних слоях преломляется слабее, чем в верхних. Пред¬ставим себе эту последовательность слоев с меняющейся плот¬ностью (рис. 18). Проходя через них, свет попадает в наши глаза
из нижних слоев, расположенных у самой земли. Наблюдатель видит свет, идущий в действительности из точки Л, как бы при¬ходящим из точки В. Именно такую картину он наблюдал бы, если бы перед ним простиралась водная поверхность, так как при взгляде на нее или на мокрую дорогу он увидел бы отражение неба. Таким образом, нагрев дороги создает такую же картину отражения света, какую мы привыкли связывать с водной поверх¬ностью. Зрение вводит нас в заблуждение, и нам кажется, что дорога залита водой или что впереди расстилается водная поверхность
Нагретый' воздух
Поверхность Земли
Изображение неба
Рис. 18
Большинство приведенных нами примеров оптической иллю¬зии придуманы, причем намеренно, психологами. Но чтобы убедиться в постоянных ошибках зрения и понять, чем они выз¬ваны, совсем не обязательно обращаться к искусственным при¬мерам. Из-за рефракции света в земной атмосфере, мы про¬должаем видеть Солнце и после того, как оно скрывается за горизонтом. Земля кажется нам плоской. Мы «своими глазами» видим, как Солнце обращается вокруг Земли, которая кажется нам неподвижной. Предположим, что Солнце стоит высоко в небе. На вопрос «Видите ли вы сейчас Солнце?» вы, не задумываясь, отвечаете утвердительно. Между тем испускаемый Солнцем свет доходит до нас только через восемь минут, а за это время может произойти немало событий (например, Солнце может взорваться). Когда Солнце стоит у самого горизонта, мы видим его не круглым, а несколько сплюснутым: вертикальный диа¬метр Солнца кажется нам несколько укороченным. Это явление также обусловлено преломлением солнечных лучей в атмосфере. Звезды же, находящиеся от нас на невообразимо больших рас¬стояниях, кажутся нам крохотными пятнышками света.
Искажения видимых изображений часто называют иллюзиями, но «иллюзии» необычайно многообразны. Сигналы о цветовых ощущениях поступают в мозг от сетчатки глаза по трем каналам. Существуют три типа цветовых рецепторов (колбочек), каждый из них чувствителен к одному из трех первичных цветов: красному, зеленому или синему. Белый свет возбуждает все три цветовых канала. Каждый предмет поглощает одни световые лучи и отра¬жает другие. Видимый нами цвет — это то, что предмет отражает. Белый предмет отражает падающий на него свет во всем спектре. Но является ли коричневый стол в действительности коричневым? Пламя свечи в ярко освещенной комнате выглядит тусклым, а в темной комнате — ярким. Кусок дерева кажется нам твердым, а в действительности представляет собой весьма рыхлую структуру из атомов, удерживаемых силами межатомного сцепления. Твердость куска дерева — это не твердость сплошной среды.
Ошибки свойственны и другим типам ощущений: температуры, вкуса, громкости и высоты звука, скорости движения. Примером может служить иллюзия в восприятии температуры. Опустите одну руку в таз с горячей водой, а другую — в таз с холодной. Выждав несколько минут, погрузите обе руки в таз с чуть теплой водой. Хотя обе руки теперь находятся в одной и той же воде, руке, бывшей перед этим в тазу с горячей водой, она кажется прохладной, тогда как другой руке — теплой. Интересно отметить, что если руку погрузить в воду, нагреваемую (или охлаждаемую) постепенно, так что изменение температуры про¬исходит незаметно, то рука успевает адаптироваться к изменению температуры.
Вкусовые ощущения также порождают иллюзии. Сладкие напитки постепенно начинают казаться менее сладкими. Подержите несколько секунд во рту крепкий раствор сахара в воде, а затем попробуйте на вкус обычную пресную воду — вы отчетливск ощутите солоноватый привкус.
Ошибки в оценке скорости общеизвестны. После получасовой поездки по скоростной автотрассе нам кажется, что автомобиль, едущий со скоростью около 50 км/ч, тащится до смешного медленно. Общеизвестна иллюзия, возникающая при встрече двух поездов на станции. Если ваш поезд стоит, а встречный движется, то вы легйо впадаете в заблуждение, и вам кажется, что ваш поезд также движется.
Некоторые искажения в нашем чувственном восприятии воз¬никают, когда наши рецепторы утомляются или адаптируются к продолжительному и интенсивному раздражению. Такое может случиться с любым из наших органов чувств и привести к весьма серьезным ошибкам. В качестве примера можно привести хотя бы иллюзию тяжести. Если в течение нескольких минут подержать в руках тяжелый предмет, то после этого другой, более легкий предмет покажется нам почти невесомым.
Помимо иллюзий, связанных с чувственным восприятием реальных физических объектов или явлений, необходимо иметь в виду и ограниченность восприятия наших органов чувств. Нормальное человеческое ухо способно различать на слух частоты в пределах 20—20 000 Гц (колебаний в секунду). Нормальный человеческий глаз воспринимает свет с длиной волны (см. гл. VII) в диапазоне 380—760 нм (Л нм^=10-9 м). И звук, и свет (точнее электромагнитные волны) существуют и физически реальны в гораздо более широком диапазоне, чем тот, который доступен нашим органам чувств. Даже белый свет не белый, а, как показал еще Ньютон, представляет собой смесь многих частот. Наш глаз регистрирует только смесь, не разлагая ее на отдельные компоненты. В действительности в реальном мире нет красок. Цвет по словам Гёте.— это то, что мы видим.
Мы воспринимаем непосредственно не физический объект, а информацию о нем, которую дают наши органы чувств. Они же дают и всегда .будут давать не подлинное изображение объ¬ективной реальности, доступной или недоступной нам, а скорее картину отношений между человеком и реальностью.
Тем не менее люди считают, что наша интуиция действует и за пределом чувственного опыта и мы можем с уверенностью полагаться на нее. Попробуем разобраться, сколь надежна человеческая интуиция.
Предположим, что некто совершает поездку на автомобиле из Нью-Йорка в Буффало (расстояние 400 миль) и по дороге туда развивает скорость 60 миль/ч, а по дороге обратно — всего лишь 30. Какова его средняя скорость? Интуиция почти заведомо подсказывает нам, что средняя скорость равна 45 миль/ч. Правильный же ответ, который получается, если расстояние разделить на время в пути, оказывается иным: около 40 миль/ч.
Рассмотрим еще несколько примеров проявления нашей хвале¬ной интуиции. Предположим, что мы открыли в банке счет на сумму Р долл. Банк выплачивает вкладчикам / процентов годо¬вых, причем проценты начисляются не от начальной, а от текущей суммы (сложные проценты). Мы хотим выждать, покуда исход¬ная сумма не удвоится. Предположим, что это произойдет через п лет. Интуиция подсказывает нам, что если бы мы открыли счет на хумму 2Р долл., то она удвоилась бы быстрее, чем за п лет. В действительности же нам пришлось бы ждать удвоения нашего вклада одинаково долго.
Предположим, что некто сначала поднимается на веслах вверх по реке на 2 мили, а затем спускается вниз по реке на 2 мили. Скорость течения — 3 мили/ч. В стоячей воде наш гребец способен развивать скорость 5 миль/ч. Сколько времени
-уйдет у него на весь путь туда и обратно? Интуиция подсказы¬вает нам, что, когда лодка плывет вниз по реке, течение помогает ровно настолько, насколько оно мешает, когда лодка плывет вверх по реке. Следовательно, гребец преодолевает расстояние 4 мили со скоростью 5 миль/ч, затрачивая на весь путь туда и обратно 4Д ч. Интуиция обманывает нас; на весь путь туда и обратно гребец затрачивает в действительности час с четвертью.
Предположим, что, желая приготовить'мартини с более пикант¬ным вкусом, мы добавляем к кварте джина кварту вермута. Интуиция подсказывает, что получатся две кварты мартини. Правильный ответ и на этот раз расходится с интуитивно ожидаемым: мартини получится одна и девять десятых кварты. Аналогичным образом, при смешивании пяти пинт воды и семи пинт спирта не получится двенадцать пинт смеси. В обоих случаях молекулы располагается более экономно.
Обратимся теперь к проблеме времени. Мы можем говорить о секунде, следующей за данной секундой. Секунда — всего лишь продолжительность определенного интервала времени. Интуиция подсказывает нам, что за каждым мигом есть следующий. Но миг, или мгновение,— это не продолжительность интервала времени (вспомним хотя бы: «И в этот миг часы пробили один раз»). Нельзя не вспомнить и о парадоксе, впервые сформули¬рованном Зеноном Элейским (V в. до н. э.). Летящая стрела в любой момент времени занимает определенное положение в пространстве. Когда стрела успевает переместиться из одного положения.в другое?
Рассмотрим другую задачу, тесно связанную с временем. Часы пробили шесть ударов за пять секунд. За сколько секунд эти часы пробьют двенадцать ударов? Интуиция подсказывает: за десять. Но шесть ударов разделены пятью паузами, а двенад¬цать ударов — одиннадцатью. Следовательно правильный ответ: за одиннадцать, а не за десять секунд.
Приведем еще несколько примеров того, как нас подводит интуиция. Рассмотрим два прямоугольника с равными перимет¬рами. Должны ли они иметь равную площадь? На первый взгляд кажется, что должны. Но, как показывают нехитрые расчеты, равенство площадей отнюдь не обязательно. Естественно напрашивается вопрос: какой из прямоугольников с одинаковыми периметрами имеет наибольшую площадь? Допустим, мы со¬оружаем забор вокруг участка земли прямоугольной формы и всю его площадь намереваемся использовать под посевы. Ясно, что наиболее желательным в этом случае является прямоуголь¬ник, обладающий при данном периметре наибольшей площадью. Это — квадрат.
Аналогичная проблема возникает при рассмотрении двух коро¬бок одинакового объема. Одинакова ли у них площадь поверх¬ности? Предположим, что объем каждой коробки равен 100 м . Одна коробка имеет размеры 50X1 Х2 м3, другая — 5X5X4 м3. Соответственно площадь поверхности коробки составляет 204, а другой —. 130 м2. Разница весьма ощутимая.
Еще один пример того, как может заблуждаться наша ин¬туиция,— история о молодом человеке, вставшем перед необходи¬мостью выбора, какой из двух работ отдать предпочтение. Начальный оклад в обоих случаях одинаков: IS00 долл. в год, но в одном месте обещали ежегодную прибавку в 200 долл., а -в другом — каждые полгода 50 долл. Какое из предложений заманчивее? На первый взгляд кажется, что ответ очевиден: ежегодная прибавка в 200 долларов более весома, чем прибавка, дающая в год лишь 100 долл. Но займемся несложными рас¬четами и выясним, сколько долларов получит молодой человек на одной и другой работе за последовательные полугодия. На первой работе ему выплатят 900, 900, 1000, 1000, 1100, 1100, 1200, 1200, ..на второй (с прибавкой в 50 долларов каждые полгода) —900, 950, 1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 1250, ...
Из сравнения этих двух последовательностей видно, что вторая работа сулит молодому человеку больший доход за второе полугодие каждого года и такой же доход, как первая работа, за первое полугодие каждого года. Нехитрые подсчеты позволяют •разобраться, почему так происходит. Прибавка в 50 долл. за каждые полгода означает, что заработная плата возрастает на 50 долл. за шесть месяцев, или на 100 долл. за год. Иначе говоря, получив за год две прибавки по 50 долл., молодой человек с начала следующего года будет получать столько же, сколько он получил бьК имея годовую прибавку в 200 долларов. С этой точки зрения к началу каждого следующего года оба предложе¬ния оказываются одинаково выгодными. Но на второй работе молодой человек начинает получать прибавку уже через полгода, тогда как на первой ему пришлось бы ждать прибавки целый год. Именно поэтому на второй работе он получает за второе полугодие больше, чем на первой.
Рассмотрим еще одну простую задачу. Торговец продает яблоки по 5 центов за пару и апельсины по 5 центов за три штуки. Боясь просчитаться, торговец решает смешать фрукты и продавать их по 10 центов за пять штук. Такой шаг на первый взгляд представляется разумным- От продажи двух яблок и трех апельсинов, т. е. пяти штук фруктов, он выручил бы раньше 10 центов. Смешав яблоки с апельсинами, торговец, как ему казалось, получил возможность продавать любые фрукты без раз¬бора по 2 цента за штуку, тем самым существенно упростив расчеты с покупателями.
Но в действительности торговец обманул самого себя. В этом нетрудно убедиться на примере. Предположим, что торговец вынес на продажу дюжину яблок и дюжину апельсинов. Обычно он, продавая яблоки по 5 центов за пару, выручил бы за дюжину яблок 30 центов. Продавая апельсины по 5 центов за три штуки, торговец выручил бы за дюжину апельсинов 20 центов. Следо¬вательно, его общая выручка составила бы 50 центов. Продавая же две дюжины фруктов по 10 центов за пяток, он выручил бы по 2 цента за штуку, или всего 48 центов. Средняя цена одного фрукта равна не 2 центам, a 2*/i2 цента.
Торговец понес убыток из-за того, что допустил ошибку в своих рассуждениях. Он предполагал, что средняя цена яблок и апельсинов должна быть по 2 цента за штуку, тогда как средняя цена яблока составляет 2*/г цента, а средняя цена апельсина — 12/з цента. Средняя цена одного фрукта равна 2l/i2 цента, а не 2 центам.
Приведем еще одну распространенную ошибку интуиции. Предположим, у нас имеется сад круглой формы радиусом 10 м. Мы хотим обнести его стеной, которая отстояла бы всюду на 1 м от границы сада. Насколько периметр стены длиннее периметра самого сада? Ответить на этот вопрос нетрудно. Периметр сада вычисляется по формуле геометрии: длина окруж¬ности равна 2яг, где г — радиус, ал; — число, которое прибли¬женно равно 22/т. Следовательно, периметр сада составляет 2яХЮ м. По условию стена должна на 1 м отстоять от границы сада, поэтому радиус стены равен 11 м, а ее длина — 2яХН м., Разность длин двух окружностей равна 22я — 20л = 2я, т. е. стена должна быть на 2я м длиннее периметра сада. Пока ничего удивительного нет.
Рассмотрим теперь аналогичную задачу. Предположим, что нам необходимо проложить дорогу, которая опоясывала бы земной шар (для современного инженера это не слишком трудная задача), и что дорога повсюду должна проходить на высоте 1 м над поверхностью Земли. На сколько метров такая дорога была бы длиннее окружности Земли? Прежде чем приниматься за вычисле¬ние этой величины, попытаемся оценить ее из интуитивных соображений. Средний радиус Земли составляет около 6370 км. Так как это примерно в 6 млн. раз больше радиуса сада из предыдущей задачи, можно было бы ожидать, что и приращение длины дороги (по сравнению с длиной окружности Земли) примерно во столько же раз больше приращения длины стены (по сравнению с периметром сада). Напомним, что последнее было равно 2я, м. Таким, образом, интуитивные соображения приводят к величине 6 000 000Х2я м. Даже если эта оценка вызывает у вас какие-то возражения, вы, вероятно, согласитесь с тем, что длина дороги должна быть гораздо больше окружности земного шара.
Простой расчет позволяет поднять, как обстоит дело в дей¬ствительности. Чтобы избежать вычислений с большими числами, обозначим радиус Земли в метрах через г. Тогда длина окружности Земли равна 2лг, а длина дороги — 2л(г+1) м. Но последнюю величину можно записать в виде 2лг+2л. Следовательно, дорога длиннее окружности Земли ровно на 2л м, т. е. ровно на столько, на сколько стена длиннее периметра сада, хотя дорога опоясывает огромную Землю, а стена — небольшой сад. Формулы позволяют утверждать нечто большее: независимо от значения г разность 2я(г+1)— 2кг всегда равна 2л. Это означает, что внешняя окружность, проходящая на расстоянии 1 м от внутренней, всегда (независимо от радиуса) на 2л м длиннее внутренней ок-ружности.
Интуиция подводит нас и во многих других ситуациях. Человек, находящийся на некотором расстоянии от яблони/ видит, что одно яблоко вот-вот упадет, и хочет попасть в него из ружья. Он знает, что к тому времени, когда пуля долетит до места, где яблоко находилось в момент выстрела, оно успеет пройти в свободном падении некоторое расстояние. Должен ли человек целиться в точку, расположенную ниже яблока, чтобы попасть в цель? Нет. Он должен прицелиться и выстрелить в яблоко: за то время, что пуля летцт до яблока, они опустятся вниз по вер¬тикали на одно и то же расстояние.
В качестве последнего примера, показывающего, как интуи¬тивные соображения с большой вероятностью приводят к невер¬ному ответу, рассмотрим задачу о теннисном турнире. Для уча¬стия в турнире записалось 136 спортсменов. Организаторы хотели бы составить расписание встреч с таким расчетом, чтобы опре¬делить победителя за минимальное число встреч. Сколько встреч для этого потребуется? Интуиция бессильна здесь чем-нибудь помочь. Между тем ответ прост: для выявления победителя тре¬буется провести 135 встреч, так как каждый выбывший из турнира спортсмен должен потерпеть по крайней мере одно поражение, а всякий, кто проиграл встречу, выбывает из турнира.
Почему мы испытываем иллюзии/основываясь на своих ощуще¬ниях, и совершаем ошибки, доверяясь интуиции? Иллюзии, по¬рождаемые различными органами чувств, вероятно, всего лучше объяснило бы исследование физиологии последних, но для наших целей достаточно понять, что и в иллюзиях, и в ошибочных интуитивных предсказаниях повинны нё'только органы чувств, но и мозг человека. Что касается интуиции, то она формируется как результат взаимосвязи опыта, чувственных восприятий и грубых догадок; в лучшем случае интуицию можно было бы назвать дистиллированным опытом. Последующий анализ или экспери¬менты подтверждают или опровергают интуитивные предсказания. Иногда интуицию рпределяют как силу привычки, коренящейся в психологической инерции.
Говоря о чем-то как о заведомо воспринимаемом, мы тем самым предполагаем возможность отделения восприятия от того, кто воспринимает. Но такое отделение невозможно, ибо не может быть восприятия без воспринимающего субъекта. Что же такое объективная реальность? Быть может, несколько наивно мы счи¬таем объективным то, по поводу чего сходятся во мнении все воспринимающие субъекты. Так, Солнце и Луна существуют. Солнце желтое, Луна голубая.
В своем «Руководстве по физиологической оптике» (1896) Гельмгольц писал:
Нетрудно видеть, что все свойства, которые мы им [объектам реального мира! приписываем, означают не более чем воздействия, производимые ими либо на наши органы чувств, либо на другие внешние объекты. Цвет, звук, вкус, запах* температура, гладкость, твердость относятся к первому классу; они соответствуют воздействиям на наши органы чувств. Хими¬ческие свойства аналогичным образом связаны с реакциями, т. е. воз¬действиями, производимыми рассматриваемым физическим телом на другие. Так же обстоит дело и с другими физическими свойствами тел: оптическими, электрическими, магнитными... Отсюда следует, что в действительности свойства объектов в природе вопреки их названиям не означают ничего присущего самим объектам как таковым, а всегда указывают на их отноше¬ние к некоторому второму телу (в том числе к нашим органам чувств).
Что мы можем противопоставить иллюзиям и ошибочной ин¬туиции? Наш самый эффективный ответ состоит в использовании математики. Сколь он эффективен, станет ясно из последующих глав. Мы хотим показать (и видим в этом свою главную цель), что в окружающем нас мире существуют явления, столь же реальные, как и те, которые мы воспринимаем посредством наших органов чувств, ко экстрасенсорные или даже вообще не воспринимае¬мые, и что в нашей современной культуре мы используем эти экстрасенсорные реальные явления и полагаемся на них ничуть не меньше, если не больше, чем на свои чувственные восприятия.
Мы отнюдь не утверждаем, будто математика не использует чувственные восприятия н интуицию во всякого рода наводящих и эвристических соображениях. Но математика превосходит все эти подсказки так же, как алмаз превосходит кусок стекла, и то, что математика открывает нам о внешнем мире, гораздо удиви¬тельнее зрелища звездного неба.
Несмотря на то что Беркли отрицал существование мира вне нас, а Юм, Гераклит, Платон и МиллЬ признавали это только с раз¬личными оговорками и ограничениями, физики и математики убеждены в том, что внешний мир существует. Они утверждают, что даже если бы все люди внезапно исчезли, то внешний, или физический, мир продолжал бы существовать. Если в чаще леса на землю падает дерево, то звук раздается независимо от того, слышит его кто-нибудь или не слышит. Мы наделены пятью чувствами: зрением, слухом, осязанием, вкусом и обонянием^ и каждое из них непрерывно воспринимает «послания» из этого мира.
Из практических соображений, а именно для того, чтобы выжить или иметь возможность улучшить условия бытия в реаль¬ном мире, мы определенно хотим знать об этом мире как можно больше. Нам необходимо отличать сушу от моря. Нам нужно выращивать съедобные растения и разводить животных, строить укрытия и защищаться от диких зверей. Почему бы нам для достижения этих целей не полагаться на свои органы чувств? Ведь именно так поступают примитивные цивилизации. Но подоб¬но тому, как мир чист для того, кто чист сердцем, мир прост для того, кто простодушен.
Пытаясь улучшить материальные условия своего существова¬ния, мы вынуждены расширять наше знание внешнего мира. Это побуждает нас напрягать до предела и наши органы чувств. К сожалению, они не только ограничены по своим возможно¬стям, но и способны вводить нас в заблуждение. Если бы мы полагались только на наши органы чувств, то последствия этого могли бы быть самыми печальными. Нетрудно назвать случаи, когда наши чувства обманывают нас.
Самым ценным из пяти чувств, по-видимому, является зре¬ние, и следует прежде всего проверить, в какой мере мы мо¬жем доверять ему. Начнем с примеров. За долгие годы ученые придумали и построили много обманчивых картинок, наглядно демонстрирующих, сколь ограничены возможности нашего глаза. Физики и астрономы в XIX в. проявляли большой интерес к оптическим иллюзиям, ибо их очень заботила надежность визуаль¬ных наблюдений. На рис. 1 показана Т-образная фигура, предло¬женная Вильгельмом Вундтом, ассистентом знаменитого естество¬испытателя Германа Гельмгольца (1821 — 1894). При взгляде на эту картинку кажется, что вертикальная линия длиннее горизон¬тальной, хотя в действительности обе они имеют равную длину. Иллюзию Вундта можно обратить: на рис. 2 показана другая Т-образная фигура, у которой обе линии — горизонтальная и вертикальная — кажутся одинаковыми по длине, в действитель¬ности же горизонтальная линия длиннее.
Рис. 1 * Рис 2
Рис. 3, который предложил в 1899 г. Франц Мюллер-Лайер, дает нам пример иллюзии другого рода. Она известна под на¬званием иллюзии Эрнста Маха. В действительности здесь обе гори¬зонтальные линии имеют одинаковую длину.
>- < <—> <г—Ч
Рис. 3 Рис. 4
Точкой на рис. 4 помечена середина горизонтального отрезка. Иллюзия неравенства его правой и левой частей создается стрел¬ками на концах.
Рис. 5
На рис. 5 верхнее основание нижней трапеции кажется короче верхнего основания верхней трапеции. Попутно заметим, что, как ни трудно в это поверить, максимальная ширина нижней трапеции по горизонтали превышает ее высоту.
На рис. 6 поразительную иллюзию создают углы — тупой и острый: диагонали АВ и АС двух параллелограммов равны, хотя диагональ АС кажется гораздо короче.
Рис. 6 Рис. 7
Удивительное впечатление производит также картинка с двумя наклонными линиями, пересекаемыми двумя вертикальными прямыми (рис. 7). Если правую наклонную линию продолжить, то она пересечется с левой в ее верхнем конце. Кажущаяся точка пересечения расположена несколько ниже. Эту хорошо известную иллюзию приписывают Иоганну Поггендорфу (около 1860).
Три горизонтальных отрезка на рис. 8 равны, хотя кажется, что они имеют различную длину. Эта иллюзия обусловлена вели¬
Рис. 8
чиной углов, образуемых с горизонтальными отрезками линий на концах. В определенных пределах больший угол вызывает иллю¬зию большего удлинения центрального горизонтального участка.
Рис. 9
Поразительная иллюзия контраста изображена на рис. 9. Окружности в центре левой и правой фигур равны, хотя окруж¬ность в обрамлении шести окружностей большего радиуса кажет¬ся меньше, чем окружность в обрамлении шести окружностей меньшего радиуса.
Другой механизм лежит в основе иллюзии Мюллера-Лайера. Линии, отходящие от верхнего и нижнего концов вертикального отрезка А на рис. 10, воспринимаются как верхние и нижние
края двух стен, образующих выступающий угол. Вертикальное ребро А выходит на первый план «сцены реального мира». Справа на рис. 10 две стены образуют угол, уходящий от зрителя. В резуль¬тате вертикальное ребро В отступает на задний план. Убеждение в постоянстве размеров зрительно увеличивает длину ребра В и уменьшает длину ребра А.
Оптическую иллюзию, изображенную на рис. 11 и 12, первым описал Иоганн Цёлльнер. Он случайно заметил^ этот эффект на рисунке ткани. Длинные параллельные прямые на рис. 11 кажутся расходящимися, а на рис. 12 — сходящимися.
Рис. 12
Картинка, демонстрирующая так называемую иллюзию Херин-га (рис. 13), была впервые опубликована Эвальдом Херингом' в 1861 г.: горизонтальные прямые кажутся здесь изогнутыми на фоне сходящихся наклонных прямых.
Рис. 13
Ненадежность зрения подтверждается еще одним примером, придуманным С. Толанским. На рис. 14 изображена фигура, обыч¬но встречающаяся в работах но статистике. Основание CD фигуры равно ее высоте. Если попростить зрителя провести отрезок, равный полуширине (половине CD) фигуры, то он, как правило, проводит отрезок Л В, тогда как в действительности полуширине равен отрезок XY.
с в Рис 14 N
Нам всем хорошо знакома иллюзия, используемая широко, сознательно и высокопрофессионально, а именно реалистическая живопись. Художник намеренно пытается изобразить трехмерную сцену аа плоском (даумершш) холсте. Одно из великих достиже¬ний художников эпохи Возрождения заключалось в создании математической схемы, известной под названием теории линей¬ной перспективы, которая позволяет добиться желаемого эффекта.
С некоторыми простыми примерами иллюзии, рожденной ли¬нейной персвемтишй, мы встречаемся в своем повседневном опыте. Принцип, используемый в этих примерах и в теории ли¬нейной перспективы, состоит в том, что линии в реальной сцене, идущие от зрителя, должны казаться СХОДЯЩИМИСЯ в некоторой точке — так называемой точке схода. Простым примером могут служить два параллельных рельса железной дороги: кажется, что они сходятся-вдали в некоторой точке (рис. 15).
Эффект перспективы особенно заметен на рис. 16, где лучи, идущие в точку схода, проведены для создания иллюзии объемной сцены. Высокие ящики в действительности одинаковы (имеют одну и ту же длину, ширину и высоту), но кажется, что «дальний» ящик больше. Опыт говорит, что с увеличением расстояния до наблюдаемого, предмета его размеры кажутся меньше, поэтому правый ящик выглядит больше, чем на самом деле.
Питая горячее пристрастие к реалистической живописи, мы охотно идем на то, чтобы быть обманутыми. Более того, этот обман доставляет нам удовольствие. Написанные в реалистической
Рис 15
манере-картины двумерны, но если они нарисованы в соответствии с законами математической теории линейной перспективы, то, гля¬дя на них, мы испытываем такое ощущение, будто разглядываем трёхмерную сцену. Хорошим примером такого рода «объемных изображений» может служить «Афинская академия» Рафаэля (рис. 17).
Резюмируя, мы можем утверждать, что математическая теория линейной перспективы позволяет использовать оптические иллю¬зии. Изображая на заднем плане предметы и человеческие фигуры меньших размеров, чем на переднем, художник добивается глу¬бины изображения, ибо и в действительности человеческий глаз видит так, что далекие предметы кажутся ему меньше, чем близкие. Прибегают художники и к другому оптическому эффекту: краски более далеких предметов они смягчают, делая более блеклыми по сравнению с яркими красками предметов, находящихся на переднем плане.
В своем повседневном опыте мы сталкиваемся и с другими оптическими иллюзиями. Солнце и Луна вблизи горизонта вы¬глядят по размерам больше, чем когда они стоят высоко в небе: вблизи горизонта оба светила кажутся нам ближе, и мы подсозна¬тельно поддаемся этой иллюзии. Разумеется, точные измерения показывают, что размеры Солнца и Луны остаются неизменными.
Измерив угол, под которым глаз видит диаметр Луны, мы обнаружили бы, что он близок к половине градуса. Так как половина дуги небосвода составляет 180°, угол, под которым виден диаметр Луны, равен 1/360 угловых размеров небосвода. Площадь же лунного диска составляет поразительно малую долю (около 1/100 000) площади небосвода, но если вспомнить, сколь вели¬колепное зрелище являет собой наше ночное светило в полно-луние, то трудно поверить, что занимаемая им площадь столь^ ничтожна.
Ряд других оптических иллюзий связан с явлением рефрак¬ции, или преломления, света. Всем нам приходилось замечать, что палка, частично погруженная в воду, кажется переломленной в том месте, где она входит в воду.
С древних времен внимание людей привлекало такое проявле¬ние рефракции в воздухе как мираж. Это явление порождается совместным действием двух эффектов: разного преломления лучей света в неодинаково нагретых Солнцем (и потому имеющих различную плотность) слоях воздуха и полного внутреннего отражения. Когда нам случается в жаркий день ехать на автомо¬биле по длинному прямому участку гладкого ровного шоссе, то мы наблюдаем еще один мираж. Издали кажется, будто дорога впереди покрыта водой, но, подъехав ближе, мы убеждаемся, что воды нет и в помине. Чем же обусловлен такой эффект?
Мираж возникает только в том случае, если поверхность до¬роги сильно нагрета солнцем. Соприкасаясь с дорожным по¬лотном, воздух нагревается, плотность его становится меньше, и более легкие нижние слои поднимаются вверх. Следовательно, свет в нижних слоях преломляется слабее, чем в верхних. Пред¬ставим себе эту последовательность слоев с меняющейся плот¬ностью (рис. 18). Проходя через них, свет попадает в наши глаза
из нижних слоев, расположенных у самой земли. Наблюдатель видит свет, идущий в действительности из точки Л, как бы при¬ходящим из точки В. Именно такую картину он наблюдал бы, если бы перед ним простиралась водная поверхность, так как при взгляде на нее или на мокрую дорогу он увидел бы отражение неба. Таким образом, нагрев дороги создает такую же картину отражения света, какую мы привыкли связывать с водной поверх¬ностью. Зрение вводит нас в заблуждение, и нам кажется, что дорога залита водой или что впереди расстилается водная поверхность
Нагретый' воздух
Поверхность Земли
Изображение неба
Рис. 18
Большинство приведенных нами примеров оптической иллю¬зии придуманы, причем намеренно, психологами. Но чтобы убедиться в постоянных ошибках зрения и понять, чем они выз¬ваны, совсем не обязательно обращаться к искусственным при¬мерам. Из-за рефракции света в земной атмосфере, мы про¬должаем видеть Солнце и после того, как оно скрывается за горизонтом. Земля кажется нам плоской. Мы «своими глазами» видим, как Солнце обращается вокруг Земли, которая кажется нам неподвижной. Предположим, что Солнце стоит высоко в небе. На вопрос «Видите ли вы сейчас Солнце?» вы, не задумываясь, отвечаете утвердительно. Между тем испускаемый Солнцем свет доходит до нас только через восемь минут, а за это время может произойти немало событий (например, Солнце может взорваться). Когда Солнце стоит у самого горизонта, мы видим его не круглым, а несколько сплюснутым: вертикальный диа¬метр Солнца кажется нам несколько укороченным. Это явление также обусловлено преломлением солнечных лучей в атмосфере. Звезды же, находящиеся от нас на невообразимо больших рас¬стояниях, кажутся нам крохотными пятнышками света.
Искажения видимых изображений часто называют иллюзиями, но «иллюзии» необычайно многообразны. Сигналы о цветовых ощущениях поступают в мозг от сетчатки глаза по трем каналам. Существуют три типа цветовых рецепторов (колбочек), каждый из них чувствителен к одному из трех первичных цветов: красному, зеленому или синему. Белый свет возбуждает все три цветовых канала. Каждый предмет поглощает одни световые лучи и отра¬жает другие. Видимый нами цвет — это то, что предмет отражает. Белый предмет отражает падающий на него свет во всем спектре. Но является ли коричневый стол в действительности коричневым? Пламя свечи в ярко освещенной комнате выглядит тусклым, а в темной комнате — ярким. Кусок дерева кажется нам твердым, а в действительности представляет собой весьма рыхлую структуру из атомов, удерживаемых силами межатомного сцепления. Твердость куска дерева — это не твердость сплошной среды.
Ошибки свойственны и другим типам ощущений: температуры, вкуса, громкости и высоты звука, скорости движения. Примером может служить иллюзия в восприятии температуры. Опустите одну руку в таз с горячей водой, а другую — в таз с холодной. Выждав несколько минут, погрузите обе руки в таз с чуть теплой водой. Хотя обе руки теперь находятся в одной и той же воде, руке, бывшей перед этим в тазу с горячей водой, она кажется прохладной, тогда как другой руке — теплой. Интересно отметить, что если руку погрузить в воду, нагреваемую (или охлаждаемую) постепенно, так что изменение температуры про¬исходит незаметно, то рука успевает адаптироваться к изменению температуры.
Вкусовые ощущения также порождают иллюзии. Сладкие напитки постепенно начинают казаться менее сладкими. Подержите несколько секунд во рту крепкий раствор сахара в воде, а затем попробуйте на вкус обычную пресную воду — вы отчетливск ощутите солоноватый привкус.
Ошибки в оценке скорости общеизвестны. После получасовой поездки по скоростной автотрассе нам кажется, что автомобиль, едущий со скоростью около 50 км/ч, тащится до смешного медленно. Общеизвестна иллюзия, возникающая при встрече двух поездов на станции. Если ваш поезд стоит, а встречный движется, то вы легйо впадаете в заблуждение, и вам кажется, что ваш поезд также движется.
Некоторые искажения в нашем чувственном восприятии воз¬никают, когда наши рецепторы утомляются или адаптируются к продолжительному и интенсивному раздражению. Такое может случиться с любым из наших органов чувств и привести к весьма серьезным ошибкам. В качестве примера можно привести хотя бы иллюзию тяжести. Если в течение нескольких минут подержать в руках тяжелый предмет, то после этого другой, более легкий предмет покажется нам почти невесомым.
Помимо иллюзий, связанных с чувственным восприятием реальных физических объектов или явлений, необходимо иметь в виду и ограниченность восприятия наших органов чувств. Нормальное человеческое ухо способно различать на слух частоты в пределах 20—20 000 Гц (колебаний в секунду). Нормальный человеческий глаз воспринимает свет с длиной волны (см. гл. VII) в диапазоне 380—760 нм (Л нм^=10-9 м). И звук, и свет (точнее электромагнитные волны) существуют и физически реальны в гораздо более широком диапазоне, чем тот, который доступен нашим органам чувств. Даже белый свет не белый, а, как показал еще Ньютон, представляет собой смесь многих частот. Наш глаз регистрирует только смесь, не разлагая ее на отдельные компоненты. В действительности в реальном мире нет красок. Цвет по словам Гёте.— это то, что мы видим.
Мы воспринимаем непосредственно не физический объект, а информацию о нем, которую дают наши органы чувств. Они же дают и всегда .будут давать не подлинное изображение объ¬ективной реальности, доступной или недоступной нам, а скорее картину отношений между человеком и реальностью.
Тем не менее люди считают, что наша интуиция действует и за пределом чувственного опыта и мы можем с уверенностью полагаться на нее. Попробуем разобраться, сколь надежна человеческая интуиция.
Предположим, что некто совершает поездку на автомобиле из Нью-Йорка в Буффало (расстояние 400 миль) и по дороге туда развивает скорость 60 миль/ч, а по дороге обратно — всего лишь 30. Какова его средняя скорость? Интуиция почти заведомо подсказывает нам, что средняя скорость равна 45 миль/ч. Правильный же ответ, который получается, если расстояние разделить на время в пути, оказывается иным: около 40 миль/ч.
Рассмотрим еще несколько примеров проявления нашей хвале¬ной интуиции. Предположим, что мы открыли в банке счет на сумму Р долл. Банк выплачивает вкладчикам / процентов годо¬вых, причем проценты начисляются не от начальной, а от текущей суммы (сложные проценты). Мы хотим выждать, покуда исход¬ная сумма не удвоится. Предположим, что это произойдет через п лет. Интуиция подсказывает нам, что если бы мы открыли счет на хумму 2Р долл., то она удвоилась бы быстрее, чем за п лет. В действительности же нам пришлось бы ждать удвоения нашего вклада одинаково долго.
Предположим, что некто сначала поднимается на веслах вверх по реке на 2 мили, а затем спускается вниз по реке на 2 мили. Скорость течения — 3 мили/ч. В стоячей воде наш гребец способен развивать скорость 5 миль/ч. Сколько времени
-уйдет у него на весь путь туда и обратно? Интуиция подсказы¬вает нам, что, когда лодка плывет вниз по реке, течение помогает ровно настолько, насколько оно мешает, когда лодка плывет вверх по реке. Следовательно, гребец преодолевает расстояние 4 мили со скоростью 5 миль/ч, затрачивая на весь путь туда и обратно 4Д ч. Интуиция обманывает нас; на весь путь туда и обратно гребец затрачивает в действительности час с четвертью.
Предположим, что, желая приготовить'мартини с более пикант¬ным вкусом, мы добавляем к кварте джина кварту вермута. Интуиция подсказывает, что получатся две кварты мартини. Правильный ответ и на этот раз расходится с интуитивно ожидаемым: мартини получится одна и девять десятых кварты. Аналогичным образом, при смешивании пяти пинт воды и семи пинт спирта не получится двенадцать пинт смеси. В обоих случаях молекулы располагается более экономно.
Обратимся теперь к проблеме времени. Мы можем говорить о секунде, следующей за данной секундой. Секунда — всего лишь продолжительность определенного интервала времени. Интуиция подсказывает нам, что за каждым мигом есть следующий. Но миг, или мгновение,— это не продолжительность интервала времени (вспомним хотя бы: «И в этот миг часы пробили один раз»). Нельзя не вспомнить и о парадоксе, впервые сформули¬рованном Зеноном Элейским (V в. до н. э.). Летящая стрела в любой момент времени занимает определенное положение в пространстве. Когда стрела успевает переместиться из одного положения.в другое?
Рассмотрим другую задачу, тесно связанную с временем. Часы пробили шесть ударов за пять секунд. За сколько секунд эти часы пробьют двенадцать ударов? Интуиция подсказывает: за десять. Но шесть ударов разделены пятью паузами, а двенад¬цать ударов — одиннадцатью. Следовательно правильный ответ: за одиннадцать, а не за десять секунд.
Приведем еще несколько примеров того, как нас подводит интуиция. Рассмотрим два прямоугольника с равными перимет¬рами. Должны ли они иметь равную площадь? На первый взгляд кажется, что должны. Но, как показывают нехитрые расчеты, равенство площадей отнюдь не обязательно. Естественно напрашивается вопрос: какой из прямоугольников с одинаковыми периметрами имеет наибольшую площадь? Допустим, мы со¬оружаем забор вокруг участка земли прямоугольной формы и всю его площадь намереваемся использовать под посевы. Ясно, что наиболее желательным в этом случае является прямоуголь¬ник, обладающий при данном периметре наибольшей площадью. Это — квадрат.
Аналогичная проблема возникает при рассмотрении двух коро¬бок одинакового объема. Одинакова ли у них площадь поверх¬ности? Предположим, что объем каждой коробки равен 100 м . Одна коробка имеет размеры 50X1 Х2 м3, другая — 5X5X4 м3. Соответственно площадь поверхности коробки составляет 204, а другой —. 130 м2. Разница весьма ощутимая.
Еще один пример того, как может заблуждаться наша ин¬туиция,— история о молодом человеке, вставшем перед необходи¬мостью выбора, какой из двух работ отдать предпочтение. Начальный оклад в обоих случаях одинаков: IS00 долл. в год, но в одном месте обещали ежегодную прибавку в 200 долл., а -в другом — каждые полгода 50 долл. Какое из предложений заманчивее? На первый взгляд кажется, что ответ очевиден: ежегодная прибавка в 200 долларов более весома, чем прибавка, дающая в год лишь 100 долл. Но займемся несложными рас¬четами и выясним, сколько долларов получит молодой человек на одной и другой работе за последовательные полугодия. На первой работе ему выплатят 900, 900, 1000, 1000, 1100, 1100, 1200, 1200, ..на второй (с прибавкой в 50 долларов каждые полгода) —900, 950, 1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 1250, ...
Из сравнения этих двух последовательностей видно, что вторая работа сулит молодому человеку больший доход за второе полугодие каждого года и такой же доход, как первая работа, за первое полугодие каждого года. Нехитрые подсчеты позволяют •разобраться, почему так происходит. Прибавка в 50 долл. за каждые полгода означает, что заработная плата возрастает на 50 долл. за шесть месяцев, или на 100 долл. за год. Иначе говоря, получив за год две прибавки по 50 долл., молодой человек с начала следующего года будет получать столько же, сколько он получил бьК имея годовую прибавку в 200 долларов. С этой точки зрения к началу каждого следующего года оба предложе¬ния оказываются одинаково выгодными. Но на второй работе молодой человек начинает получать прибавку уже через полгода, тогда как на первой ему пришлось бы ждать прибавки целый год. Именно поэтому на второй работе он получает за второе полугодие больше, чем на первой.
Рассмотрим еще одну простую задачу. Торговец продает яблоки по 5 центов за пару и апельсины по 5 центов за три штуки. Боясь просчитаться, торговец решает смешать фрукты и продавать их по 10 центов за пять штук. Такой шаг на первый взгляд представляется разумным- От продажи двух яблок и трех апельсинов, т. е. пяти штук фруктов, он выручил бы раньше 10 центов. Смешав яблоки с апельсинами, торговец, как ему казалось, получил возможность продавать любые фрукты без раз¬бора по 2 цента за штуку, тем самым существенно упростив расчеты с покупателями.
Но в действительности торговец обманул самого себя. В этом нетрудно убедиться на примере. Предположим, что торговец вынес на продажу дюжину яблок и дюжину апельсинов. Обычно он, продавая яблоки по 5 центов за пару, выручил бы за дюжину яблок 30 центов. Продавая апельсины по 5 центов за три штуки, торговец выручил бы за дюжину апельсинов 20 центов. Следо¬вательно, его общая выручка составила бы 50 центов. Продавая же две дюжины фруктов по 10 центов за пяток, он выручил бы по 2 цента за штуку, или всего 48 центов. Средняя цена одного фрукта равна не 2 центам, a 2*/i2 цента.
Торговец понес убыток из-за того, что допустил ошибку в своих рассуждениях. Он предполагал, что средняя цена яблок и апельсинов должна быть по 2 цента за штуку, тогда как средняя цена яблока составляет 2*/г цента, а средняя цена апельсина — 12/з цента. Средняя цена одного фрукта равна 2l/i2 цента, а не 2 центам.
Приведем еще одну распространенную ошибку интуиции. Предположим, у нас имеется сад круглой формы радиусом 10 м. Мы хотим обнести его стеной, которая отстояла бы всюду на 1 м от границы сада. Насколько периметр стены длиннее периметра самого сада? Ответить на этот вопрос нетрудно. Периметр сада вычисляется по формуле геометрии: длина окруж¬ности равна 2яг, где г — радиус, ал; — число, которое прибли¬женно равно 22/т. Следовательно, периметр сада составляет 2яХЮ м. По условию стена должна на 1 м отстоять от границы сада, поэтому радиус стены равен 11 м, а ее длина — 2яХН м., Разность длин двух окружностей равна 22я — 20л = 2я, т. е. стена должна быть на 2я м длиннее периметра сада. Пока ничего удивительного нет.
Рассмотрим теперь аналогичную задачу. Предположим, что нам необходимо проложить дорогу, которая опоясывала бы земной шар (для современного инженера это не слишком трудная задача), и что дорога повсюду должна проходить на высоте 1 м над поверхностью Земли. На сколько метров такая дорога была бы длиннее окружности Земли? Прежде чем приниматься за вычисле¬ние этой величины, попытаемся оценить ее из интуитивных соображений. Средний радиус Земли составляет около 6370 км. Так как это примерно в 6 млн. раз больше радиуса сада из предыдущей задачи, можно было бы ожидать, что и приращение длины дороги (по сравнению с длиной окружности Земли) примерно во столько же раз больше приращения длины стены (по сравнению с периметром сада). Напомним, что последнее было равно 2я, м. Таким, образом, интуитивные соображения приводят к величине 6 000 000Х2я м. Даже если эта оценка вызывает у вас какие-то возражения, вы, вероятно, согласитесь с тем, что длина дороги должна быть гораздо больше окружности земного шара.
Простой расчет позволяет поднять, как обстоит дело в дей¬ствительности. Чтобы избежать вычислений с большими числами, обозначим радиус Земли в метрах через г. Тогда длина окружности Земли равна 2лг, а длина дороги — 2л(г+1) м. Но последнюю величину можно записать в виде 2лг+2л. Следовательно, дорога длиннее окружности Земли ровно на 2л м, т. е. ровно на столько, на сколько стена длиннее периметра сада, хотя дорога опоясывает огромную Землю, а стена — небольшой сад. Формулы позволяют утверждать нечто большее: независимо от значения г разность 2я(г+1)— 2кг всегда равна 2л. Это означает, что внешняя окружность, проходящая на расстоянии 1 м от внутренней, всегда (независимо от радиуса) на 2л м длиннее внутренней ок-ружности.
Интуиция подводит нас и во многих других ситуациях. Человек, находящийся на некотором расстоянии от яблони/ видит, что одно яблоко вот-вот упадет, и хочет попасть в него из ружья. Он знает, что к тому времени, когда пуля долетит до места, где яблоко находилось в момент выстрела, оно успеет пройти в свободном падении некоторое расстояние. Должен ли человек целиться в точку, расположенную ниже яблока, чтобы попасть в цель? Нет. Он должен прицелиться и выстрелить в яблоко: за то время, что пуля летцт до яблока, они опустятся вниз по вер¬тикали на одно и то же расстояние.
В качестве последнего примера, показывающего, как интуи¬тивные соображения с большой вероятностью приводят к невер¬ному ответу, рассмотрим задачу о теннисном турнире. Для уча¬стия в турнире записалось 136 спортсменов. Организаторы хотели бы составить расписание встреч с таким расчетом, чтобы опре¬делить победителя за минимальное число встреч. Сколько встреч для этого потребуется? Интуиция бессильна здесь чем-нибудь помочь. Между тем ответ прост: для выявления победителя тре¬буется провести 135 встреч, так как каждый выбывший из турнира спортсмен должен потерпеть по крайней мере одно поражение, а всякий, кто проиграл встречу, выбывает из турнира.
Почему мы испытываем иллюзии/основываясь на своих ощуще¬ниях, и совершаем ошибки, доверяясь интуиции? Иллюзии, по¬рождаемые различными органами чувств, вероятно, всего лучше объяснило бы исследование физиологии последних, но для наших целей достаточно понять, что и в иллюзиях, и в ошибочных интуитивных предсказаниях повинны нё'только органы чувств, но и мозг человека. Что касается интуиции, то она формируется как результат взаимосвязи опыта, чувственных восприятий и грубых догадок; в лучшем случае интуицию можно было бы назвать дистиллированным опытом. Последующий анализ или экспери¬менты подтверждают или опровергают интуитивные предсказания. Иногда интуицию рпределяют как силу привычки, коренящейся в психологической инерции.
Говоря о чем-то как о заведомо воспринимаемом, мы тем самым предполагаем возможность отделения восприятия от того, кто воспринимает. Но такое отделение невозможно, ибо не может быть восприятия без воспринимающего субъекта. Что же такое объективная реальность? Быть может, несколько наивно мы счи¬таем объективным то, по поводу чего сходятся во мнении все воспринимающие субъекты. Так, Солнце и Луна существуют. Солнце желтое, Луна голубая.
В своем «Руководстве по физиологической оптике» (1896) Гельмгольц писал:
Нетрудно видеть, что все свойства, которые мы им [объектам реального мира! приписываем, означают не более чем воздействия, производимые ими либо на наши органы чувств, либо на другие внешние объекты. Цвет, звук, вкус, запах* температура, гладкость, твердость относятся к первому классу; они соответствуют воздействиям на наши органы чувств. Хими¬ческие свойства аналогичным образом связаны с реакциями, т. е. воз¬действиями, производимыми рассматриваемым физическим телом на другие. Так же обстоит дело и с другими физическими свойствами тел: оптическими, электрическими, магнитными... Отсюда следует, что в действительности свойства объектов в природе вопреки их названиям не означают ничего присущего самим объектам как таковым, а всегда указывают на их отноше¬ние к некоторому второму телу (в том числе к нашим органам чувств).
Что мы можем противопоставить иллюзиям и ошибочной ин¬туиции? Наш самый эффективный ответ состоит в использовании математики. Сколь он эффективен, станет ясно из последующих глав. Мы хотим показать (и видим в этом свою главную цель), что в окружающем нас мире существуют явления, столь же реальные, как и те, которые мы воспринимаем посредством наших органов чувств, ко экстрасенсорные или даже вообще не воспринимае¬мые, и что в нашей современной культуре мы используем эти экстрасенсорные реальные явления и полагаемся на них ничуть не меньше, если не больше, чем на свои чувственные восприятия.
Мы отнюдь не утверждаем, будто математика не использует чувственные восприятия н интуицию во всякого рода наводящих и эвристических соображениях. Но математика превосходит все эти подсказки так же, как алмаз превосходит кусок стекла, и то, что математика открывает нам о внешнем мире, гораздо удиви¬тельнее зрелища звездного неба.
Белов- Admin
- Сообщения : 1969
Репутация : 1074
Дата регистрации : 2011-01-30
Откуда : Москва -
VIII ПРЕЛЮДИЯ К ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (фрагменты)
Белов Пн Янв 16, 2023 1:04 am
VIII ПРЕЛЮДИЯ К ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(фрагменты)
Здравый смысл — это толща предрассудков, успевших отложиться в нашем сознании к восем¬надцати годам.
Альберт Эйнштейн
Аксиома — это предрассудок, освященный тысячелетиями.
Эрик Г. Белл
Как и «чистые» математики, физики-теоретики на рубеже XX в. были преисполнены гордости за достигнутые успехи, и состояние физических теорий не вызывало у них беспокойства. Разве не они открыли совершенно новый мир — мир электромагнитных явле¬ний, сулящий ускорить и расширить культурный и технический прогресс человечества, существенно усовершенствовать средства связи? Возможно, что такому безмятежному, не омрачаемому критикой состоянию теоретической физики в какой-то мере спо¬собствовала гипотеза эфира, который на протяжении двух веков считался средой, где якобы распространяется свет и электро¬магнитное излучение других видов.
Но безмятежное спокойствие, Дарившее в физике на рубеже нашего века, было затишьем перед бурей. Когда восторги, вы¬званные замечательными достижениями, начали утихать, физики-теоретики поняли, что далеко не все фундаментальные про¬блемы решены. Одно из решений таких проблем — создание теории относительности — ознаменовало подлинный переворот в научной концепции реального физического мира. И хотя этот переворот не оказал столь сильного влияния на нашу повседнев¬ную жизнь, как радио и телевидение, ставшие со временем достоя¬нием миллионов, для нашего понимания природы физического мира его последствия были необычайно важны.
Математики, как это ни печально, «отвернулись от бога», и всемогущий геометр не захотел открывать им, какую из геометрий он избрал за основу при сотворении мира. При выяснении этого вопроса математикам пришлось полагаться только на собственные силы. Существование нескольких альтернативных геометрий само по себе явилось для математиков сильнейшим потрясением, но еще большее недоумение охватило их, когда они осознали, что невозможно с абсолютной уверенностью отрицать применимость неевклидовой геометрии к физическому пространству.
Проблема выбора геометрии, наиболее соответствующей реальному физическому пространству, первоначально поставлен¬ная в работах Гаусса, способствовала рождению еще одного творения человеческой мысли, убедившего математический мир, что геометрия физического пространства может быть неевклидо¬вой. Автором новых идей был Георг Бернхард Риман (1826—1866), ученик Гаусса, ставший впоследствии профессором Гёттингенского университета. Хотя работы Лобачевского и Бойаи не были из¬вестны Риману в деталях, о них был великолепно осведомлен Гаусс, и Риман, несомненно, знал о сомнениях Гаусса относи¬тельно того, в какой мере истинна и насколько применима к физическому пространству евклидова геометрия.
Гаусс проложил дорогу поразительным идеям Римана, выска¬зав еще одну революционную мысль. Обычно мы изучаем геомет¬рию на поверхности сферы, считая последнюю частью трехмерного евклидова пространства и тем самым заранее исключая любые радикально новые идеи. Но предположим, что мы рассматриваем поверхность сферы как пространство само по себе и строим гео¬метрию такого пространства. Прямоугольные координаты здесь не очень подходят, так как для их построения необходимы прямые, которые отсутствуют на сфере. В качестве координат какой-либо точки на сфере можно было бы взять, например, широту и долготу. Еще одна проблема возникает при попытке определить кратчайшие пути из одной точки в другую. Наш повседневный опыт, интерпретированный всеведущими математиками, подска¬зывает, что кратчайшими путями на поверхности сферы являются дуги больших кругов (например, меридианы), т. е. кругов, центр которых совпадает с центром Земли. Эти дуги и есть «прямые» в сферической геометрии. Продолжая изучать геометрию по¬верхности сферы, мы обнаружили бы немало странных теорем. Например, сумма 'углов треугольника, образованного дугами больших кругов, т. е. отрезками «прямых» сферической геометрии, больше 180°.
В своей знаменитой работе, опубликованной в 1827 г., Гаусс исподволь проводил следующую мысль: если мы изучаем поверх¬ности как независимые пространства, то соответствующие этим пространствам двумерные геометрии могут оказаться весьма при¬чудливыми в зависимости от формы поверхностей. Например, эллипсоидальная поверхность, имеющая форму мяча для регби, имеет иную геометрию, нежели сферическая поверхность.
А как обстоит дело на сфере с «параллельными»? Поскольку любые два больших круга пересекаются не один раз, а дважды, в сферической геометрии нам не обойтись без аксиомы, гласящей, что любые две «прямые» пересекаются в двух точках. Совершенно ясно, что геометрия поверхности сферы будет неевклидовой; впоследствии она получила название удвоенной эллиптической геометрии. Такая геометрия вполне естественна для поверхности Земли. Она достаточно «удобна в обращении» и по крайней мере ничуть не уступает той, которая возникает при рассмотрении сферы как двумерной поверхности в трехмерной евклидовой гео¬метрии.
Идеи Гаусса были хорошо знакомы Риману. Гаусс предложил Риману несколько тем для публичной лекции, с которой тому предстояло выступить для получения звания приват-доцента, дававшего право на преподавание в Гёттингенском университете. Риман остановил свой выбор на основаниях геометрии и в 1854 г. в присутствии Гаусса прочел свою лекцию на философском факультете. Лекция Римана была опубликована в 1868 г. под названием «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».
Проведенное Риманом исследование геометрии физического, пространства потребовало пересмотра всей проблемы, каса¬ющейся структуры пространства. Риман первым поставил вопрос: что же нам достоверно известно о физическом пространстве? Какие условия, или факты, заложены в самом понятии простран¬ства еще до того, как мы, опираясь на опыт, выделяем конкретные аксиомы, которые выполняются в физическом пространстве? Из этих исходных условий, или фактов, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства. Такие аксиомы и логические следствия из них и необходимо априори признать истинными. Любые другие свойства пространства надлежало изучать эмпири¬чески. Одна из целей Римана состояла в доказательстве того, что аксиомы Евклида являются эмпирическими, а отнюдь не само¬очевидными истинами. Риман избрал аналитический подход (опи¬рающийся на алгебру и анализ), поскольку геометрические дока¬зательства не свободны от влияния нашего чувственного опы¬та и в них возможны допущения, не входящие явно в число по¬сылок.
Поиек априорного (предшествующего нашему знанию) про¬странства привел Римана к исследованию локального поведения пространства, ибо свойства последнего могут изменяться от точки к точке. Такой подход получил название дифференциальной гео¬метрии в отличие от геометрии пространства в целом, которой занимался Евклид, а в неевклидовой геометрии — Гаусс, Бойаи и Лобачевский.
Следуя локальному подходу к геометрии, Риман столкнулся с необходимостью определить расстояния между двумя типич¬ными, или характерными, точками, координаты которых отли¬чаются на бесконечно малые величины. Расстояние между такими бесконечно близкими точками Риман обозначил ds. Он предло* ложил, что квадрат этого расстояния в трехмерном пространстве (в действительности Риман рассматривал общий случай «-мер¬ного пространства) можно представить в виде
ds2=gudx]+g{2dxidx2+g^dxidx3 + + g2\dx\dx2 + g22dxl+g23dx2dx3-\-+gudxidxs + gz2dx2dxz+gzsdxl,
где gif — функции координат xu *г и JC3; g\\=g\i и правая часть положительна при всех значениях g,7. Выражение для ds пред¬ставляет собой обобщение формулы Евклида
ds2 = dx\ + dx\ + dxt
которую в свою очередь можно рассматривать как один из вариан¬тов теоремы Пифагора. Допуская зависимость коэффициентов gii от координат, Риман тем самым учитывал, что природа про¬странства может изменяться от точки к точке. Из формулы для ds стандартными методами математического анализа можно из¬влечь множество фактов о длинах, площадях, объемах и других характеристиках геометрических фигур и тел.
В той же лекции Риман сделал немало важных замечаний. В частности, он сказал: «Остается еще выяснить, обеспечиваются ли опытной проверкой эти простые соотношения [которыми опре¬деляется метрика пространства] и если обеспечиваются, то в какой степени и в каком объеме?» ([23], с. 322). Свойства физи¬ческого пространства по Риману надлежало определять только опытным путем. Например, он считал, что аксиомы евклидовой геометрии лишь приближенно истинны применительно к физи¬ческому пространству. Свою лекцию Риман закончил следующими пророческими словами:
Или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реаль¬ное... Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать его нам не дает повода сегодняшний день. ([23], с. 324.)
Здесь Риман высказал предположение, что природа физиче¬ского пространства должна каким-то образом отражать происхо¬дящие в нем физические явления. Риман, несомненно, развил бы эту глубокую идею, если бы не его преждевременная кончина (он умер в возрасте сорока лет).
Идею Римана удалось несколько развить математику Уильяму Кингдону Клиффорду (1854—1879). По мнению Клиффорда, некоторые физические явления обусловлены изменениями кри¬визны пространства. Кривизна пространства меняется не только от точки к точке, но и (вследствие движения материи) со време¬нем. Физическое пространство в какой-то мере подобно холмистой поверхности, и законы евклидовой геометрии перестают действо¬вать в таком пространстве. Более точное исследование физических законов не позволяет игнорировать существование «неровностей» в пространстве.
Вот что писал Клиффорд в 1870 г.:
Я считаю несомненным следующее. (1). Малые части пространства по своей природе аналогичны небольшим неровностям иа поверхности, в среднем плоской. (2) Свойство быть искривленным или деформированным непрерывно переходит от одной части пространства к другой наподобие волны. (3) Эта вариация кривизны пространства отражает то, что действи¬тельно происходит при явлении, которое мы называем движением материи, эфирной или телесной. (4) В реальном физическом мире не происходит ничего, кроме этих вариаций, вероятно, удовлетворяющих закону непрерывности.
Клиффорд высказал также предположение, что гравитацион¬ные эффекты, возможно, обусловлены кривизной пространства, но низкая точность пространственных измерений в то время не позволила подтвердить его догадку. Сколь ни блестящей была гипотеза Клиффорда, ей оставалось дожидаться своего часа — появления работ Эйнштейна по общей теории относительности.
Суть соображений, высказанных Риманом и Клиффордом, станет понятней, если рассмотреть, скажем, естественную гео¬метрию земной поверхности в горной местности. На столь сильно пересеченной местности прямых может не быть. Какая бы кривая ни была здесь кратчайшим путем между двумя точками, она почти всегда отлична от прямой. Кроме того, кратчайшие пути, или геодезические, не обязательно имеют одинаковую форму. Пред¬ставим себе, что обитателям такой горной местности понадобилось изучить треугольники. Итак, даны три точки и соединяющие их дуги — геодезические. Какими свойствами обладают такие треу¬гольники? Ясно, что их свойства зависят от формы того участка местности, который заключен внутри геодезических, служащих сторонами треугольников. Сумма внутренних углов .одних треу¬гольников гораздо больше 180°, сумма углов других—гораздо меньше 180°. Обитатели нашей горной местности, несомненно, пришли бы к неевклидовой геометрии. Такая геометрия обладала бы одной важной отличительной особенностью: она была бы не¬однородна. Свойства фигур в такой геометрии изменялись бы от точки к точке, как меняется рельеф горной местности.
Содержание заметок Гаусса, ставшее известным после его смерти (1855), когда научная репутация великого математика была на недосягаемой высоте, и опубликованная в 1868 г. лекция Римана (прочитанная в 1854 г.) убедили некоторых математиков в том, что неевклидова геометрия вполне может отражать гео¬метрию физического пространства и что нельзя более с уверен¬ностью говорить, какая из геометрий правильная.
Постепенно неевклидова геометрия и вытекающее из нее след¬ствие относительно физической истинности этой геометрии были признаны всеми математиками, но отнюдь не потому, что ее при¬менимость была подтверждена какими-либо новыми данными. Настоящую причину признаний такого рода указал в своей «Научной автобиографии» один из основоположников квантовой механики Макс Планк:
Обычно новые научные истины побеждают не так. что их противников убеждают и они признают свою неправоту, а большей частью так, что противники эти постепенно вымирают, а подрастающее поколение усваивает „ истину сразу. ([24], с. 22.)
Мы уже говорили о том, что математики начали задумываться о геометрии физического пространства. Физики-теоретики конца XIX в. бее более стали интересоваться другой проблемой. Одним из неявных допущений, глубоко укоренившихся в научном мышле¬нии XVIII—XIX вв., была гипотеза о существовании силы тяготения, или гравитации. Согласно первому закону Ньютона, «всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние» ([19], с. 39). Следовательно, если тело отпустить, то в отсутствие тяготения оно оставалось бы висеть в воздухе. Аналогичным образом, не будь гравитации, планеты разлетелись бы по прямым в космическое пространство. Но ничего такого не происходит. Все объекты во Вселенной ведут себя так, как если бы гравитация существовала.
Хотя Ньютон показал, что один и тот же количественный закон охватывает все земные и небесные проявления гравитацион¬ного взаимодействия, физическая природа гравитации оставалась непонятной. Каким образом Солнце, находясь на расстоянии около 150 млн. км от Земли, притягивает ее и каким образом Земля притягивает множество различных предметов вблизи ее поверх¬ности? Эти вопросы не находили ответа, тем не менее загадка гравитации не вызывала особого беспокойства у физиков. Понятие гравитации само по себе оказалось полезным, и физики с готовностью приняли ее за реальную физическую силу. Если бы не другие, более насущные проблемы, возникшие в 80-х годах XIX в.\ то благодушная самоуспокоенность физиков по поводу гравитации вряд ли была бы серьезно поколеблена.
Физики обходили еще одну проблему, возникшую в связи с введением силы тяготения. Каждый физический объект обладает двумя явно различными свойствами: весом и массой. Масса характеризует сопротивление, оказываемое телом любому изме¬нению его скорости как по величине, так и по направлению. Вес — это сила, с которой Земля притягивает тело. По теории Ньютона масса тела постоянна, тогда как вес тела зависит от того, на каком расстоянии оно находится от центра Земли. В центре Земли масса тела была бы такой же, как на поверхности, а вес обратился бы в нуль. На поверхности Луны масса тела остается такой же, как на поверхности Земли, но лунное тяготение в 80 раз слабее земного, а расстояние от центра тяжести (центра Луны) до поверхности в 4 раза меньше радиуса Земли. Следовательно, по закону всемирного тяготения (см. гл. VI) вес тела на Луне составляет лишь (1/80) X16, т. е. 1/5 веса того же тела на Земле. Астронавты на борту космического корабля имеют такие же массы, как на Земле, но в полете становятся невесомыми.
Хотя эти два свойства материи — масса и вес — различны, отношение веса к массе в данной точке всегда одно и то же. Постоянство отношения веса к массе не менее удивительно, чем, скажем, такой факт, как неизменность из года в год отношения производства угля к производству пшеницы. Если бы мы обнару¬жили, что производства угля и пшеницы действительно связаны такой зависимостью, то стали бы искать объяснение этому в эко¬номической структуре государства. Аналогичным образом требо¬вало объяснения и постоянство отношения веса к массе. Однако до Эйнштейна объяснить это не удавалось никому.
Но прежде чем переходить к работам Эйнштейна, следует упомянуть еще об одном физическом допущении. Как мы уже говорили, попытки объяснить природу света восходят еще к древ¬ним грекам. С начала XIX в. наиболее широкое распростране¬ние получила точка зрения, согласно которой свет, как и звук, представляет собой волновое движение. Поскольку волновое дви¬жение невозможно представить без среды, в которой распростра¬няются волны, ученые заключили, что свет также должен рас¬пространяться в какой-то среде. Однако не было обнаружено никаких данных, свидетельствовавших о том, что пространство, в котором распространяется свет звезд или Солнца, заполнено какой-то материальной субстанцией, способной проводить волны. Ученым не оставалось другого выхода, как предположить, что такая «субстанция» (эфир), невидимая, не имеющая ни вкуса, ни запаха, невесомая и неосязаемая, существует. Кроме того, эфир должен был быть неподвижной средой, заполняющей все пространство, в которой Земля и другие небесные тела движутся так же беспрепятственно, как в пустоте. Таким образом, пред¬полагаемые свойства эфира были внутренне противоречивыми (см. гл. VII). •
Несмотря на многие сомнительные и мало понятные пред¬положения, лежавшие в основании физики XIX в., ни одно поколение естествоиспытателей во все предшествующие века не было преисполнено такой уверенностью, что именно оно смогло открыть законы мироздания. Характерной чертой ученых XVIII в. был оптимизм, а их преемники в XIX в. отличались необычайной самоуверенностью. Двести лет успеха, хотя и непол¬ного, вскружили головы философам и естествоиспытателям настолько, что законы механики Ньютона и его закон всемир¬ного тяготения стали рассматриваться как непосредственные следствия законов мышления и чистого разума. Слово допущение отныне не встречалось в научной литературе, хотя у Ньютона ясно говорилось о том, что понятия гравитации и эфира не более чем гипотезы, причем гипотезы, физически непонятные. Но «не¬понятное» для Ньютона в XIX в. обрело совсем иной смысл.
(фрагменты)
Здравый смысл — это толща предрассудков, успевших отложиться в нашем сознании к восем¬надцати годам.
Альберт Эйнштейн
Аксиома — это предрассудок, освященный тысячелетиями.
Эрик Г. Белл
Как и «чистые» математики, физики-теоретики на рубеже XX в. были преисполнены гордости за достигнутые успехи, и состояние физических теорий не вызывало у них беспокойства. Разве не они открыли совершенно новый мир — мир электромагнитных явле¬ний, сулящий ускорить и расширить культурный и технический прогресс человечества, существенно усовершенствовать средства связи? Возможно, что такому безмятежному, не омрачаемому критикой состоянию теоретической физики в какой-то мере спо¬собствовала гипотеза эфира, который на протяжении двух веков считался средой, где якобы распространяется свет и электро¬магнитное излучение других видов.
Но безмятежное спокойствие, Дарившее в физике на рубеже нашего века, было затишьем перед бурей. Когда восторги, вы¬званные замечательными достижениями, начали утихать, физики-теоретики поняли, что далеко не все фундаментальные про¬блемы решены. Одно из решений таких проблем — создание теории относительности — ознаменовало подлинный переворот в научной концепции реального физического мира. И хотя этот переворот не оказал столь сильного влияния на нашу повседнев¬ную жизнь, как радио и телевидение, ставшие со временем достоя¬нием миллионов, для нашего понимания природы физического мира его последствия были необычайно важны.
Математики, как это ни печально, «отвернулись от бога», и всемогущий геометр не захотел открывать им, какую из геометрий он избрал за основу при сотворении мира. При выяснении этого вопроса математикам пришлось полагаться только на собственные силы. Существование нескольких альтернативных геометрий само по себе явилось для математиков сильнейшим потрясением, но еще большее недоумение охватило их, когда они осознали, что невозможно с абсолютной уверенностью отрицать применимость неевклидовой геометрии к физическому пространству.
Проблема выбора геометрии, наиболее соответствующей реальному физическому пространству, первоначально поставлен¬ная в работах Гаусса, способствовала рождению еще одного творения человеческой мысли, убедившего математический мир, что геометрия физического пространства может быть неевклидо¬вой. Автором новых идей был Георг Бернхард Риман (1826—1866), ученик Гаусса, ставший впоследствии профессором Гёттингенского университета. Хотя работы Лобачевского и Бойаи не были из¬вестны Риману в деталях, о них был великолепно осведомлен Гаусс, и Риман, несомненно, знал о сомнениях Гаусса относи¬тельно того, в какой мере истинна и насколько применима к физическому пространству евклидова геометрия.
Гаусс проложил дорогу поразительным идеям Римана, выска¬зав еще одну революционную мысль. Обычно мы изучаем геомет¬рию на поверхности сферы, считая последнюю частью трехмерного евклидова пространства и тем самым заранее исключая любые радикально новые идеи. Но предположим, что мы рассматриваем поверхность сферы как пространство само по себе и строим гео¬метрию такого пространства. Прямоугольные координаты здесь не очень подходят, так как для их построения необходимы прямые, которые отсутствуют на сфере. В качестве координат какой-либо точки на сфере можно было бы взять, например, широту и долготу. Еще одна проблема возникает при попытке определить кратчайшие пути из одной точки в другую. Наш повседневный опыт, интерпретированный всеведущими математиками, подска¬зывает, что кратчайшими путями на поверхности сферы являются дуги больших кругов (например, меридианы), т. е. кругов, центр которых совпадает с центром Земли. Эти дуги и есть «прямые» в сферической геометрии. Продолжая изучать геометрию по¬верхности сферы, мы обнаружили бы немало странных теорем. Например, сумма 'углов треугольника, образованного дугами больших кругов, т. е. отрезками «прямых» сферической геометрии, больше 180°.
В своей знаменитой работе, опубликованной в 1827 г., Гаусс исподволь проводил следующую мысль: если мы изучаем поверх¬ности как независимые пространства, то соответствующие этим пространствам двумерные геометрии могут оказаться весьма при¬чудливыми в зависимости от формы поверхностей. Например, эллипсоидальная поверхность, имеющая форму мяча для регби, имеет иную геометрию, нежели сферическая поверхность.
А как обстоит дело на сфере с «параллельными»? Поскольку любые два больших круга пересекаются не один раз, а дважды, в сферической геометрии нам не обойтись без аксиомы, гласящей, что любые две «прямые» пересекаются в двух точках. Совершенно ясно, что геометрия поверхности сферы будет неевклидовой; впоследствии она получила название удвоенной эллиптической геометрии. Такая геометрия вполне естественна для поверхности Земли. Она достаточно «удобна в обращении» и по крайней мере ничуть не уступает той, которая возникает при рассмотрении сферы как двумерной поверхности в трехмерной евклидовой гео¬метрии.
Идеи Гаусса были хорошо знакомы Риману. Гаусс предложил Риману несколько тем для публичной лекции, с которой тому предстояло выступить для получения звания приват-доцента, дававшего право на преподавание в Гёттингенском университете. Риман остановил свой выбор на основаниях геометрии и в 1854 г. в присутствии Гаусса прочел свою лекцию на философском факультете. Лекция Римана была опубликована в 1868 г. под названием «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».
Проведенное Риманом исследование геометрии физического, пространства потребовало пересмотра всей проблемы, каса¬ющейся структуры пространства. Риман первым поставил вопрос: что же нам достоверно известно о физическом пространстве? Какие условия, или факты, заложены в самом понятии простран¬ства еще до того, как мы, опираясь на опыт, выделяем конкретные аксиомы, которые выполняются в физическом пространстве? Из этих исходных условий, или фактов, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства. Такие аксиомы и логические следствия из них и необходимо априори признать истинными. Любые другие свойства пространства надлежало изучать эмпири¬чески. Одна из целей Римана состояла в доказательстве того, что аксиомы Евклида являются эмпирическими, а отнюдь не само¬очевидными истинами. Риман избрал аналитический подход (опи¬рающийся на алгебру и анализ), поскольку геометрические дока¬зательства не свободны от влияния нашего чувственного опы¬та и в них возможны допущения, не входящие явно в число по¬сылок.
Поиек априорного (предшествующего нашему знанию) про¬странства привел Римана к исследованию локального поведения пространства, ибо свойства последнего могут изменяться от точки к точке. Такой подход получил название дифференциальной гео¬метрии в отличие от геометрии пространства в целом, которой занимался Евклид, а в неевклидовой геометрии — Гаусс, Бойаи и Лобачевский.
Следуя локальному подходу к геометрии, Риман столкнулся с необходимостью определить расстояния между двумя типич¬ными, или характерными, точками, координаты которых отли¬чаются на бесконечно малые величины. Расстояние между такими бесконечно близкими точками Риман обозначил ds. Он предло* ложил, что квадрат этого расстояния в трехмерном пространстве (в действительности Риман рассматривал общий случай «-мер¬ного пространства) можно представить в виде
ds2=gudx]+g{2dxidx2+g^dxidx3 + + g2\dx\dx2 + g22dxl+g23dx2dx3-\-+gudxidxs + gz2dx2dxz+gzsdxl,
где gif — функции координат xu *г и JC3; g\\=g\i и правая часть положительна при всех значениях g,7. Выражение для ds пред¬ставляет собой обобщение формулы Евклида
ds2 = dx\ + dx\ + dxt
которую в свою очередь можно рассматривать как один из вариан¬тов теоремы Пифагора. Допуская зависимость коэффициентов gii от координат, Риман тем самым учитывал, что природа про¬странства может изменяться от точки к точке. Из формулы для ds стандартными методами математического анализа можно из¬влечь множество фактов о длинах, площадях, объемах и других характеристиках геометрических фигур и тел.
В той же лекции Риман сделал немало важных замечаний. В частности, он сказал: «Остается еще выяснить, обеспечиваются ли опытной проверкой эти простые соотношения [которыми опре¬деляется метрика пространства] и если обеспечиваются, то в какой степени и в каком объеме?» ([23], с. 322). Свойства физи¬ческого пространства по Риману надлежало определять только опытным путем. Например, он считал, что аксиомы евклидовой геометрии лишь приближенно истинны применительно к физи¬ческому пространству. Свою лекцию Риман закончил следующими пророческими словами:
Или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реаль¬ное... Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать его нам не дает повода сегодняшний день. ([23], с. 324.)
Здесь Риман высказал предположение, что природа физиче¬ского пространства должна каким-то образом отражать происхо¬дящие в нем физические явления. Риман, несомненно, развил бы эту глубокую идею, если бы не его преждевременная кончина (он умер в возрасте сорока лет).
Идею Римана удалось несколько развить математику Уильяму Кингдону Клиффорду (1854—1879). По мнению Клиффорда, некоторые физические явления обусловлены изменениями кри¬визны пространства. Кривизна пространства меняется не только от точки к точке, но и (вследствие движения материи) со време¬нем. Физическое пространство в какой-то мере подобно холмистой поверхности, и законы евклидовой геометрии перестают действо¬вать в таком пространстве. Более точное исследование физических законов не позволяет игнорировать существование «неровностей» в пространстве.
Вот что писал Клиффорд в 1870 г.:
Я считаю несомненным следующее. (1). Малые части пространства по своей природе аналогичны небольшим неровностям иа поверхности, в среднем плоской. (2) Свойство быть искривленным или деформированным непрерывно переходит от одной части пространства к другой наподобие волны. (3) Эта вариация кривизны пространства отражает то, что действи¬тельно происходит при явлении, которое мы называем движением материи, эфирной или телесной. (4) В реальном физическом мире не происходит ничего, кроме этих вариаций, вероятно, удовлетворяющих закону непрерывности.
Клиффорд высказал также предположение, что гравитацион¬ные эффекты, возможно, обусловлены кривизной пространства, но низкая точность пространственных измерений в то время не позволила подтвердить его догадку. Сколь ни блестящей была гипотеза Клиффорда, ей оставалось дожидаться своего часа — появления работ Эйнштейна по общей теории относительности.
Суть соображений, высказанных Риманом и Клиффордом, станет понятней, если рассмотреть, скажем, естественную гео¬метрию земной поверхности в горной местности. На столь сильно пересеченной местности прямых может не быть. Какая бы кривая ни была здесь кратчайшим путем между двумя точками, она почти всегда отлична от прямой. Кроме того, кратчайшие пути, или геодезические, не обязательно имеют одинаковую форму. Пред¬ставим себе, что обитателям такой горной местности понадобилось изучить треугольники. Итак, даны три точки и соединяющие их дуги — геодезические. Какими свойствами обладают такие треу¬гольники? Ясно, что их свойства зависят от формы того участка местности, который заключен внутри геодезических, служащих сторонами треугольников. Сумма внутренних углов .одних треу¬гольников гораздо больше 180°, сумма углов других—гораздо меньше 180°. Обитатели нашей горной местности, несомненно, пришли бы к неевклидовой геометрии. Такая геометрия обладала бы одной важной отличительной особенностью: она была бы не¬однородна. Свойства фигур в такой геометрии изменялись бы от точки к точке, как меняется рельеф горной местности.
Содержание заметок Гаусса, ставшее известным после его смерти (1855), когда научная репутация великого математика была на недосягаемой высоте, и опубликованная в 1868 г. лекция Римана (прочитанная в 1854 г.) убедили некоторых математиков в том, что неевклидова геометрия вполне может отражать гео¬метрию физического пространства и что нельзя более с уверен¬ностью говорить, какая из геометрий правильная.
Постепенно неевклидова геометрия и вытекающее из нее след¬ствие относительно физической истинности этой геометрии были признаны всеми математиками, но отнюдь не потому, что ее при¬менимость была подтверждена какими-либо новыми данными. Настоящую причину признаний такого рода указал в своей «Научной автобиографии» один из основоположников квантовой механики Макс Планк:
Обычно новые научные истины побеждают не так. что их противников убеждают и они признают свою неправоту, а большей частью так, что противники эти постепенно вымирают, а подрастающее поколение усваивает „ истину сразу. ([24], с. 22.)
Мы уже говорили о том, что математики начали задумываться о геометрии физического пространства. Физики-теоретики конца XIX в. бее более стали интересоваться другой проблемой. Одним из неявных допущений, глубоко укоренившихся в научном мышле¬нии XVIII—XIX вв., была гипотеза о существовании силы тяготения, или гравитации. Согласно первому закону Ньютона, «всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние» ([19], с. 39). Следовательно, если тело отпустить, то в отсутствие тяготения оно оставалось бы висеть в воздухе. Аналогичным образом, не будь гравитации, планеты разлетелись бы по прямым в космическое пространство. Но ничего такого не происходит. Все объекты во Вселенной ведут себя так, как если бы гравитация существовала.
Хотя Ньютон показал, что один и тот же количественный закон охватывает все земные и небесные проявления гравитацион¬ного взаимодействия, физическая природа гравитации оставалась непонятной. Каким образом Солнце, находясь на расстоянии около 150 млн. км от Земли, притягивает ее и каким образом Земля притягивает множество различных предметов вблизи ее поверх¬ности? Эти вопросы не находили ответа, тем не менее загадка гравитации не вызывала особого беспокойства у физиков. Понятие гравитации само по себе оказалось полезным, и физики с готовностью приняли ее за реальную физическую силу. Если бы не другие, более насущные проблемы, возникшие в 80-х годах XIX в.\ то благодушная самоуспокоенность физиков по поводу гравитации вряд ли была бы серьезно поколеблена.
Физики обходили еще одну проблему, возникшую в связи с введением силы тяготения. Каждый физический объект обладает двумя явно различными свойствами: весом и массой. Масса характеризует сопротивление, оказываемое телом любому изме¬нению его скорости как по величине, так и по направлению. Вес — это сила, с которой Земля притягивает тело. По теории Ньютона масса тела постоянна, тогда как вес тела зависит от того, на каком расстоянии оно находится от центра Земли. В центре Земли масса тела была бы такой же, как на поверхности, а вес обратился бы в нуль. На поверхности Луны масса тела остается такой же, как на поверхности Земли, но лунное тяготение в 80 раз слабее земного, а расстояние от центра тяжести (центра Луны) до поверхности в 4 раза меньше радиуса Земли. Следовательно, по закону всемирного тяготения (см. гл. VI) вес тела на Луне составляет лишь (1/80) X16, т. е. 1/5 веса того же тела на Земле. Астронавты на борту космического корабля имеют такие же массы, как на Земле, но в полете становятся невесомыми.
Хотя эти два свойства материи — масса и вес — различны, отношение веса к массе в данной точке всегда одно и то же. Постоянство отношения веса к массе не менее удивительно, чем, скажем, такой факт, как неизменность из года в год отношения производства угля к производству пшеницы. Если бы мы обнару¬жили, что производства угля и пшеницы действительно связаны такой зависимостью, то стали бы искать объяснение этому в эко¬номической структуре государства. Аналогичным образом требо¬вало объяснения и постоянство отношения веса к массе. Однако до Эйнштейна объяснить это не удавалось никому.
Но прежде чем переходить к работам Эйнштейна, следует упомянуть еще об одном физическом допущении. Как мы уже говорили, попытки объяснить природу света восходят еще к древ¬ним грекам. С начала XIX в. наиболее широкое распростране¬ние получила точка зрения, согласно которой свет, как и звук, представляет собой волновое движение. Поскольку волновое дви¬жение невозможно представить без среды, в которой распростра¬няются волны, ученые заключили, что свет также должен рас¬пространяться в какой-то среде. Однако не было обнаружено никаких данных, свидетельствовавших о том, что пространство, в котором распространяется свет звезд или Солнца, заполнено какой-то материальной субстанцией, способной проводить волны. Ученым не оставалось другого выхода, как предположить, что такая «субстанция» (эфир), невидимая, не имеющая ни вкуса, ни запаха, невесомая и неосязаемая, существует. Кроме того, эфир должен был быть неподвижной средой, заполняющей все пространство, в которой Земля и другие небесные тела движутся так же беспрепятственно, как в пустоте. Таким образом, пред¬полагаемые свойства эфира были внутренне противоречивыми (см. гл. VII). •
Несмотря на многие сомнительные и мало понятные пред¬положения, лежавшие в основании физики XIX в., ни одно поколение естествоиспытателей во все предшествующие века не было преисполнено такой уверенностью, что именно оно смогло открыть законы мироздания. Характерной чертой ученых XVIII в. был оптимизм, а их преемники в XIX в. отличались необычайной самоуверенностью. Двести лет успеха, хотя и непол¬ного, вскружили головы философам и естествоиспытателям настолько, что законы механики Ньютона и его закон всемир¬ного тяготения стали рассматриваться как непосредственные следствия законов мышления и чистого разума. Слово допущение отныне не встречалось в научной литературе, хотя у Ньютона ясно говорилось о том, что понятия гравитации и эфира не более чем гипотезы, причем гипотезы, физически непонятные. Но «не¬понятное» для Ньютона в XIX в. обрело совсем иной смысл.
Белов- Admin
- Сообщения : 1969
Репутация : 1074
Дата регистрации : 2011-01-30
Откуда : Москва -
Похожие темы» Математика - тщетные поиски истины
» Стихотворные КВАДРИГИ
» Калиниченко Н. Н. Открытие истины
» Математика и расцвет цивилизации.
» Харитонов Анатолий Сергеевич Парадоксы счёта
» Стихотворные КВАДРИГИ
» Калиниченко Н. Н. Открытие истины
» Математика и расцвет цивилизации.
» Харитонов Анатолий Сергеевич Парадоксы счёта
Страница 1 из 1
Права доступа к этому форуму:
Вы не можете отвечать на сообщения