М.Ю. Симаков Пифагорейская система

Предисловие

Математика в современном мире

Математика является фундаментом современной науки. Построе-ние математических моделей представляет собой сегодня основной ме-тод исследования физических явлений. Применение математики для изучения Природы обусловлено, главным образом, её эффективно-стью, достижением практических целей.

Математические модели нередко рассматриваются как эффектив-ные образцы и для социального управления. Многие математики про-являют интерес к политике, участвуют в союзах и движениях , имею-щих целью лучшее (по их мнению) переустройство общества. Объек-ты математики – пентаграмма, циркуль и угольник – встречаются в государственной символике ряда стран.
Математизация понятий, объектов, явлений Природы часто соот-носится с их познанием. Считается, что объект "познан", если он неко-торым образом связан с числами и фигурами ("исчислен", "измерен", "взвешен",…).

Математика тесно связана с представлениями о красоте. Краси-вые , гармоничные предметы , естественные или созданные человеком, как правило, удовлетворяют некоторым математическим требованиям: пропорциональности, симметрии…. И обратно, выполнение этих ус-

ловий как бы превращает объект в красивый. В самой математике так-же некоторые объекты считаются красивыми, изящными и т.д. Более того, критерий красоты, гармоничности объектов, явлений, процессов (например, доказательств) играет важную роль в современной матема-тике или математической физике, нередко даже рассматривается как критерий истины.
Иногда с математикой, построением или созерцанием математи-ческих объектов связываются понятия, относимые к духовному миру: счастье, цели жизни,...

Имеют место выраженные (статистически заметные) симпатии ма-тематиков к одним религиозным/ философским системам и антипатии

другим. Например, математики обычно являются приверженцами ра-ционализма. (Несколько парадоксальным, на первый взгляд, образом этот рационализм иногда сочетается с увлечением разными системами ложного знания: гнозисом, теософией и т.д.).
Утверждения о связи математики с физическим, интеллектуаль-ным, духовным миром встречались в разных культурах.


6

Предисловие

Пифагорейские фрагменты

Математика и физический мир

"Всё есть число"
Пифагор
"Пифагор полагал началами мира числа и числовые пропорции
("симметрии"), которые он называл гармониями"
"По их <пифагорейцев> мнению вся Вселенная является гармони-ей и числом"
Аристотель
"Можно наблюдать природу чисел в демонических и божествен-
ных вещах, в человеческих делах, словах, ремеслах, искусстве, музыке" Филолай
"Всё, созданное из первоначальной природы сущего, кажется сфор-мированным расположением чисел"
Боэций
"Арифметика и геометрия проникают во все науки и искусства"
аль Фараби
"Математика – ключ к другим наукам"
Р. Бэкон
"Геометрия есть прообраз гармонии мира"
Кеплер
"Книга природы написана на языке математики, её письмена -
треугольники, окружности и другие фигуры"
Галилей
"В физике нет принципов, отличных от принципов геометрии или абстрактной математики"

Декарт
"Великий Архитектор Вселенной всё больше напоминает чистого
математика"
Дж. Джинс

Математика и познание

"Природа числа познавательна, предводительна и учительна...
ничего нельзя ни познать, ни понять без числа"
Филолай
" Только математика... доставляет своим воспитанникам проч-ное и надёжное знание"

Птолемей


7

Пифагорейская система

"Математика это единственный язык, посредством которого мы можем познать всё сущее"

Прокл
"Число – мера вещей"
Лукреций
"Возьмите от вещей их числа и всё исчезнет… уберите счёт и
человек не будет отличаться от животных"
Исидор Севильский
"Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя применить математику"
Леонардо да Винчи
"Из всех истинных наук математические наиболее истинны"
Лука Пачоли
"...несокрушимая достоверность математических знаков…"
Николай Кузанский
"Только математикам дано достичь несомненности и ясности,
так как они исходят из того, что наиболее ясно и просто" Декарт

"В каждой науке столько собственно науки, сколько в ней мате-матики"
Кант
"Математика – это язык"
Гиббс
"Всё можно исчислить"
Лобачевский

Математика и красота

"Нет тел, более прекрасных, чем эти <правильные многогранни-ки>"
Платон
"Никто, не познав числа, не сможет обрести истинного мнения
о справедливом, прекрасном, благом и т.д."
Платон
"Теоремы, которые не открывают доступ к большему числу дру-гих, которые не доставляют некоторого чувства элегантности и при-ятности, оказываются вне области фундаментальных"
Прокл
"Божественная красота, которая зачаровывает всякого, знако-
мого с нашей наукой..."

И. Шафаревич


8

Предисловие

Математика и счастье; цели жизни

" Основой счастья является знание, приобретение которого сле-дует начинать с рассмотрения чисел и величин"
аль Фараби
"Математические науки более всего заслуживают предпочте-
ния"
Омар Хайам

Пифагорейская система

Сопоставление представлений о связи математики и мира, имев-шихся в разных культурах, позволяет выявить некоторый устойчивый набор, комплекс идей, который можно было бы назвать "пифагорей-ской системой":
Отображение числа → мир
Космос; Числовые начала Космоса

Структура Космоса; Архитектура-геометрия физического Космоса
Теория знания
Познание = исчисление
Возможность эффективного познания

Математическая теория познания (теория аналогий и подобия)
Математика (математический мир)
(арифметика, геометрия,…)
Математика и физический мир
Построение математических моделей физических явлений

Исчисление духовного мира (неявное исчисление целей)
Математическая этика, эстетика...
Теория души
Перевоплощение

Математическая структура души
Культ демонов
Переселение демонов
Демоны как математические конструкции

Теология
Связь религии с математикой
Цели
Созерцание божественного
Превращение мира в математический Космос
Переход в состояние дайэмона
Методы достижения: занятия математикой и философией

Весьма полно подобные взгляды были представлены в пифаго-рейской школе (–VI в.), явившейся вместе с тем одной из наиболее ранних математических и философских систем.

Пифагор

Основными частями ранней пифагорейской системы были мате-матика, философия, теология, а также цели и методы их достижения.
Пифагорейская математика состояла из арифметики, геометрии, музыки, астрономии. Термин "математика" был введён пифагорейца-ми. Видимо, он означал "знание", притом связанное с числами и фигу-рами а) самими по себе; б) в приложении к практике (счёт, измерение полей/ архитектура, музыка, календарь). Математические знания ран-них пифагорейцев реконструируются по "Началам" Эвклида (–IV в.), сочинениям Платона, Аристотеля, комментариям Прокла и другим ра-ботам античных авторов.

Пифагорейская философия вводила утверждения о бытии, позна-нии, благе. Её основную часть составляли общие высказывания о свя-зи чисел и мира и конкретные сопоставления чисел и фигур объектам

понятиям мира. Её можно было бы охарактеризовать как "принципы (устройства) Космоса". Основными понятиями пифагорейской фило-
софии были: Числа, Начала, Единое, Две Противоположности, Триа-
ды, Гармония, Космос. Термин "философия" (греч. = "любовь к муд-рости"), как и "математика", был введён пифагорейцами.

Пифагорейская теология связывала богов, дайэмонов с числами и фигурами. Изучение математики являлось для пифагорейцев созерца-нием божественного, а математическое познание мира – познанием его устройства демиургом по математическим образцам. Пифагорей-цы считали, что душа бессмертна и может переселяться в другие тела.

Основной целью пифагорейцев был переход (в следующем вопло-щении) в состояние дайэмона. Основными методами достижения цели

– изучение/ созерцание математики и философии.

Арифметика; геометрия; музыка; астрономия

Числа и фигуры. Основными темами пифагорейской арифмети-ки и геометрии были:

Изучение делимости целых чисел, их разложения на множители;

Классификация чисел по свойствам делимости и по связям с гео-метрическими объектами: чётные-нечётные, простые-составные, тре-угольные, квадратные,...;

Изучение отношений чисел; их общих свойств, а также некото-рых конкретных числовых пропорций- гармоний;
Построение пифагорейских троек чисел;

10

Арифметика, геометрия, музыка, астрономия

Изучение треугольников, четырехугольников, окружностей;

Преобразования фигур с сохранением площади, в т.ч.: а) преоб-разование прямоугольника в квадрат; б) преобразование квадрата в прямоугольник; в) теорема Пифагора;

Подобие фигур, в т.ч.: задача о построении фигуры подобной данной и равновеликой другой;

Гномоны разных объектов: квадратов, прямоугольников, треуго-льников; дискретные гномоны фигурных чисел;

Построение фигур из прямых и окружностей (циркулем и линей-

кой);

Свойства правильных многогранников;
Неизмеримость (а-логос) стороны и диагонали квадрата. Основными методами (системами продукций) пифагорейской ма-

тематики были: а) исчисление; б) проведение окружностей и прямых (циркулем и линейкой/ угольником); в) разрезания и перестановки час-тей фигур; г) логический вывод (в т.ч. по reductio ad absurdum).

Музыка. " Можно наблюдать природу чисел в… музыке" (пифаго-реец Филолай). Пифагорейцы изучали числовые отношения между дли-нами струн, при которых возникали гармоничные созвучия; выражали музыкальные гармонии на языке чисел. Пифагору приписывается от-крытие/ введение в Греции числового представления основных музы-кальных интервалов: кварты (4:3), квинты (3:2), октавы (2:1).

Построение числовых моделей музыкальных гармоний представ-ляло собой математическое познание этих гармоний, или их причин, каковыми считались числа/ числовые отношения. "Пифагорейская му-зыка различает гармонию разумом <ср. ratio = отношение (чисел)> а не ощущением, а вульгарная музыка различает слаженное и несла-женное лишь ощущением. Поэтому толпа знает только факт, что гармония созвучна, а математики знают причину <числовое отноше-ние>, по которой она созвучна" ("Схолии ко "Второй Аналитике"").

Изучение музыки, её математическое познание, играло важную роль у пифагорейцев. "Музыка, гармония, числа – эти понятия были неразрывно связаны друг с другом в учении Пифагора" (ван дер Вар-ден). В античности на первое место среди пифагорейских достижений иногда ставилась их музыкальная теория: "…музыкант Пифагор…" (Боэций).
Последователи пифагорейцев также постоянно проявляли интерес к музыке, особенно её теоретическим вопросам. Математики Архит,


11

Пифагор

Эвклид, Птолемей, неопифагореец Никомах написали трактаты по му-зыке. Арабоязычный философ ибн Сина полагал, что "музыка есть математическая теория, в которой изучаются тона с точки зрения их созвучия и несозвучия". Грузинский неоплатоник Петрици : "Всякое музыкальное украшение... происходит из чисел". Армянский философ Давид Анахт: "Музыка образуется из прерванного количества, взято-го во взаимной связи".

Пифагорейцы рекомендовали применять музыку для гармониза-ции физического и духовного состояния человека, для лечения. Сле-довавший пифагорейцам Платон советовал использовать музыку для управления обществом.

Астрономия. Пифагорейцам приписывались утверждения о ша-рообразности Земли и её круговом движении. "Филолай первый ска-зал , что Земля движется по кругу" (Диоген Лаэртский) . "Пифагорей-цы говорят, что в центре мира – огонь, Земля – одна из звёзд, дви-жется по кругу" (Аристотель). "По их мнению Земля не неподвижна и не находится в центре Вселенной но вертится вокруг огня... в центре Вселенной, по их мнению, горит огонь, называемый Гестией" (Плу-тарх). Согласно астроному-поэту –IV века Арату , пифагорейцы выска-зывали также мысли о вращательном движении звёзд: "Пифагорейцы утверждали, что не только планеты, но и неподвижные звёзды име-ют собственное движение, они движутся подобно бураву, вертясь на одном и том же месте" (Арат).

Вероятно, в пифагорейских кругах были введены названия пла-нет, по именам богов (частично появились у Платона) и указано, что Утренняя и Вечерняя звезда – одна и та же (планета Венера).

Пифагорейцы предпринимали попытки найти числовые соотно-шения между радиусами орбит небесных тел. Предлагались разные варианты: ряд 1-2-3-4-8-9- 27, состоявший из двух геометрических прогрессий; ряд прогрессии 1-3-9-27...

Астрономия связывалась с музыкой: предполагаемые пропорции устройства Космоса совпадали с основными музыкальными интерва-лами. "Эти две науки <музыка и астрономия> – словно сёстры, так говорят пифагорейцы" (Платон, "Тимей").

Утверждалось, что небесные тела при своём движении издают зву-ки, причём взятые вместе эти звуки образуют гармоничную мелодию

– музыку сфер. Пифагору приписывалась способность слышать эту музыку. ("Восприятие музыки сфер" могло иметь смысл установления пропорций орбит планет/ числового устройства неба).