История чисел и систем счисления

С древнейших времён перед людьми стояла проблема обозначения (кодирования) числовой информации.
Маленькие дети показывают свой возраст на пальцах. Лётчик сбил самолёт, ему за это рисуют звёздочку, Робинзон Крузо считал дни зарубками.
Числом обозначали некоторые реальные объекты, свойства которых были одинаковы. Когда мы что-то считаем или пересчитываем, мы как бы обезличиваем предметы, т.е. подразумеваем, что их свойства одинаковы. Но самым главным свойством числа является наличие объекта, т.е. единица и его отсутствие, т.е. ноль.
Что такое цифра?
Это алфавит чисел, набор символов, с помощью которых мы кодируем числа. Цифры – числовой алфавит.

Цифры и числа – это разные вещи! Рассмотрим два числа 5 2 и 2 5. Цифры одни и те же – 5 и 2.
А чем эти числа отличаются?

Порядком цифр? – Да! Но лучше сказать - позицией цифры в числе.

Давайте подумаем, что же это такое системы счисления?
Это запись чисел? Да! Но мы не можем писать так, как нам вздумается - нас должны понимать другие люди. Поэтому необходимо ещё использовать и определенные правила их записи.

Понятие системы счисления
      Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — ЭТО ЗНАКОВАЯ СИСТЕМА, В КОТОРОЙ ЧИСЛА ЗАПИСЫВАЮТСЯ ПО ОПРЕДЕЛЕННЫМ ПРАВИЛАМ С ПОМОЩЬЮ СИМВОЛОВ НЕКОТОРОГО АЛФАВИТА, НАЗЫВАЕМЫХ ЦИФРАМИ.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления.
В позиционных системах счисления  значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.
       Непозиционные   системы счисления возникли раньше позиционных, поэтому рассмотрим сначала различные непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления
Непозиционной системой счисления  называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.
К непозиционным системам относятся: римская система счисления, алфавитные системы счисления и другие.


Сначала люди  просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «МНОГО».
Первыми понятиями математики были "меньше",  "больше",  "столько же".
           Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.
        Счет появился тогда, когда человеку потребовалось сообщать своим соплеменникам о количестве найденных им предметов.
И, так как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

     Имена числительные во многих языках указывают, что у первобытного человека орудием счета были преимущественно пальцы.
     Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10.
         В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. До сих пор существуют в Полинезии племена, использующие  с 20-ую систему счисления.
         Однако известны народы, у которых единицами счёта были не пальцы, а их суставы.
         Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её  связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12.
        Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук.
      Числа в английском языке от одного до двенадцати имеют свое название, последующие числа являются составными:        
1 -- one 2 -- two 3 -- three 4 -- four 5 -- five 6 -- six
7 -- seven 8 -- eight 9 -- nine 10 -- ten 11 -- eleven 12 -- twelve
         Для чисел от 13 до 19 -- окончание слов -- teen. Например, 15 -- fiveteen.

Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне. Например, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены объявляются маклерами на пальцах без единого слова.


        Запоминать большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Появилась потребность в записи чисел.
   
                         
Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине…

Единичная («палочная») система счисления  
      Любое число в ней образуется повторением одного знака - единицы.
    Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоев, относящихся к  периоду палеолита 10-11 тысяч лет до н.э.
   
       Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны.
       Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.


Древнеегипетская  десятичная система счисления
(2,5 тысяч лет до н.э. )

     Пример1. Запишите число 1 245 386  в древнеегипетской записи

    С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена.

    Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операциюсложения.
    С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян.
    Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция деления.

Как  же  египтяне  считали?

    Умножение и деление египтяне производили путем последовательного удвоения чисел.

Пример. 19 * 31

  Египтяне последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом - соответствующую степень двойки.
1                   31
2                   62
4                 124
8                 248
16               496 Затем отмечали вертикальными черточками строки левого столбца, из которых можно было сложить множитель (19 = 1 + 2 + 16) и складывали числа, стоящие в отмеченных строках справа (31 + 62 + 496  = 589).

   
Египетские дроби всегда имели в числителе единицу (исключение составляло 2/3).
    Дроби записывались как натуральные числа, только над ними ставилась точка. Исключение: специальные знаки были для 1/2 и для 2/3.
     



Римская  десятичная система счисления
(2 тысячи  лет до н.э. и до наших дней)



Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская система.
Главная проблема с римскими цифрами заключается в том, что сложно производить умножение и деление. Другим недостатком римской системы является: Запись больших чисел требует введения новых символов. А дробные числа можно записывать только как отношение двух чисел. Тем не менее, они были основными до конца средних веков. Но и в наше время их ещё используют.
Вспомните где?

Значение цифры не зависит от ее положения в числе.
Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется.

Запомните: 5, 50, 500 не повторяются!
А какие могут повторяться?

Если слева от старшей цифры стоит младшая, то она отнимается. Если младшая цифра стоит справа от старшей, то она прибавляется - I, X, C, M могут повторяться до 3-х раз.
Например:
1)      MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004
2)      149 =  (Сто - C, сорок - XL, а девять - IX) = CXLIX
Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.


Алфавитные системы счисления

Алфавитные непозиционные системы счисления были распространены у древних армян, грузин, греков (альфа, бэта, гамма), арабов, евреев, и других народов Ближнего Востока, а также у славян (аз, буки, веди).


В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта.
 С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.
Например, 1232 руб. 24 коп.
                                                    Звезда – тысяча рублей
                                                    Колесо – сто рублей
                                                    Квадрат – десять рублей
                                                    Х   - рубль
                                                    |  - копейку.


В IX веке монахами братьями
Кириллом и Мефодием

была создана новая нумерация вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг.

    Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.
     Эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии
до реформы Петра I  (до конца XVII века).

 - титло
   Пример.   Запишем число 444 в славянской системе.
 
   Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр».     Число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу».

  Таким образом, для обозначения «тем» (множественное число от слова тьма) первые 9 «цифр» обводились кружками.

 
 
Удобны ли алфавитные системы?


Недостатки непозиционных систем счисления:

1.  Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
2.  Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
3.   Сложно выполнять арифметические операции,   так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

  Вплоть до конца средневековья не существовало никакой универсальной системы записи чисел. Только с развитием математики, физики, техники, торговли, финансовой системы возникла потребность в единой универсальной системе счисления, хотя и сейчас многие племена, нации и народности используют другие системы счисления.
  Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

          Далее рассмотрим позиционные системы счисления.

    Позиционной системой счисления  называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа.
 

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, ..., образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и ...


  Десятичная позиционная система счисления

     Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий - изобрели позиционную систему счисления, которой теперь пользуется весь мир. Ал-Хорезми подробно описал индийскую арифметику в своей книге.

Мухаммед бен Муса ал-Хорезм

      Приблизительно в 850 году н.э. он написал книгу об общих правилах решения арифметических задач при помощи уравнений.

      Она называлась "Китаб ал-Джебр". Эта книга дала имя науке алгебре.

Арабский ученый математик
(из города Хорезма на реке
Аму-Дарья).
   
Триста лет спустя (в 1120 г.) эту книгу перевели на латинский язык, и она стала первым учебником "индийской" арифметики для всех европейских городов.


Основания, используемые в наши дни:

                   - 10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
          - 60 придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты — на 60 секунд, угла — на 360 градусов.
- 12 распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов
                    - 7 используется для счета дней недели