В.Н. Третьяков О философских проблемах математики

Минск, 1978 г.

Это дипломная работа, написанная по окончании годичного
обучения в Университете марксизма-ленинизма при Минском
горкоме КП Белоруссии. В те времена я был зав.
редакцией физики, математики, химии и астрономии
в Белорусской Советской Энциклопедии, и мне,
беспартийному начальнику, уже никак нельзя было
не быть охваченным партийным образованием. Я с
пониманием к этому замыслу отнесся, и постарался,
учась на философском отделении пропагандистского
факультета, сделать все, чтобы из меня партийного
пропагандиста не получилось. Для чего избрал тему
дипломной, прямо скажем, не слишком близкую массам
КПСС и КПБ. Тем более что альтернативная математика,
названная мной индефинитно-финитной, была тогда моим
главным научным интересом.

1. Основной вопрос философии математики
-- это вопрос об отношении математики (М.) к действительному миру. Он всегда был в поле зрения многих философов и самих математиков. Но на рубеже XIX—XX вв. его актуальность еще больше возросла в связи с открытием парадоксов в самой основе М. – теории множеств, а немного позднее, в 30-е гг. – в связи с крушением надежд на построение полностью формализованных математических теорий, базирующихся на системах аксиом и не нуждающихся во внешнем (гносеологическом) обосновании. Эти парадоксы не разрешены убедительным образом до сих пор, и это одна из причин неостывающего интереса к основному вопросу философии. Другая, еще более важная, связана со стремительным проникновением М. в другие науки – процессом математизации знания и, как следствие, с ростом интереса к проблеме надежности математического знания. Ведь в других науках есть свои трудности, и физикам, скажем, или биологам хочется быть уверенными, что в их проблемах неповинен применяемый математический аппарат.
Еще в древнегреческой философии были сформулированы два принципиально различных взгляда на соотношение М. и действительности: материалистический и идеалистический. Аристотель считал, что математические понятия являются отвлеченными от реальых объектов. Платон же полагал, что математические объекты занимают промежуточное положение между миром идей – «эйдосов» – и миром вещей, являясь слабыми тенями первых. Эти линии в философии М. существуют до сих пор, и не только существуют, но и обрели многочисленные разветвления.
О корнях стихийного платонизма в М., или математического идеализмва, хорошо сказал Б.Рассел:
«Я полагаю, что М. является главным источником веры в вечную и точную истину, а также в сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым; как бы мы тщательно ни применяли циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени несовершенными и неправильными. Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом».
По представлениям пифагорейской школы, число, напрмер, не только самостоятельная сущность, но и нечто мистическое, имеющее власть над людьми:
«Число – это закон и связь мира, сила, царящая над смертными и даже над богами, условие всего определяемого, всего познаваемого. Вещи суть подражания числа».
В средние века борьба материализма и идеализма в математике и логике приняла форму спора между номиналистами и реалистами, спора, имевшего большое значение для становления логики классов, а позднее – теории множеств. В ХХ в. эти вопросы о том, большей или меньше реальностью обладают «универсалии» и «индивидуумы», вновь были подняты в спорах платонистов, неономиналистов и неоконцептуалистов, но уже на новом уровне, во всеоружии современной логики и теории множеств.
С И.Канта берет свое начало линия субъективного идеализма в философии М. Кант считал, что вся М. может быть выведена из «чистого» разума, не связанного с объективным миром. Его первичная интуиция (праинтуиция) пространства закрепляла за евклидовой геометрией статус абсолютности, единственности. Удар по априоризму Канта был нанесен Н.И.Лобачевским, открывшим (одновременно и независимо от Я.Больяи) неевклидову геометрию. Существенно, что материалистический взгляд Лобачевского был руководящей нитью в его математическом творчестве, хотя и был наивно-материалистическим (ведь Н.И. делал попытку доказать истинность своей геометрии опытным путем). Он вполне выражается его творческим кредо: «Все математические положения, произведенные только из разума, независимо от предметного мира, останутся ненужными математике».
По Канту, математические понятия – конструкции нашего ума. Он полагал, что в основе понятий натурального числа, счета, арифметических действий лежит «созерцание» времени. Эти идеи явились руководящими для большой группы математиков (Брауэр, Гейтинг, Г.Вейль и др.), поставивших своей задачей разрешить противоречия в основаниях М. ревизией не только ее математических объектов (напр., континуум у них не актуально бесконечное множество, а «среда свободного становления»), но и ее логических средств. Это течение в основаниях М. называется интуиционизмом. Субъективно-идеалистические идеи неоднократно публично высказывал франц. математик и физик А.Пуанкаре («М. – это лишь игра символами по правилам, устанавливаемым соглашениями»). По мнению Луи де Бройля, эти конвенционалистские философские установки Пуанкаре помешали ему стать создателем теории относительности, хотя он вплотную подошел к ее основным идеям. Ведь он считал, что может быть сколько угодно эквивалетных теорий, которые выбираются всего лишь из соображений удобства. Эйнштейн же искал теорию не наиболее удобную, а наиболее близкую к физической реальности, и его усилия, как мы знаем, увенчались успехом. Эйнштейну было далеко до Пуанкаре в смысле владения математическим аппаратом, но зато у него была «лучше» методология, «лучше» философские принципы. Мораль отсюда ясна.
По-видимому, математики XIX в. были преимущественно стихийными платониками. Вот их точка зрения в изложении Ш.Эрмита:
«Я верю, что числа и функции не являются произвольным созданием разума; я думаю, что они существуют вне нас в силу той необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем точно так, как это делают физики, химики или зоологи». Т.е. математические объекты существуют не так, как физические приборы или технические устройства, созданные человеком, а как виды растений и животных, существующих независимо от человека; их человек будто бы обнаруживает точно так же, как математические объекты. Объективно-идеалистические идеи отстаивал чешский математик и философ Б.Больцано: все математические понятия «не зависят ни от какого опыта, а являются вечными ’истинами в себе’».
До тех пор, пока сущность и польза математических абстракций не были поняты, эта разновидность догматизма играла положительную роль, охраняя математические понятия и объекты от скепсиса здравого смысла, склонного считать их чистыми иллюзиями.
Интересно, как близки по мысли высказывания трех выдающихся западных ученых ХХ в. – логика, математика и физика – в оценке М.:
«Чистая М. – это такая дисциплина, в которой мы не знаем, о чем говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим» (Б.Рассел).
«М. – это учение о соотношениях между формулами, лишенными какого-либо смысла» (Д.Гильберт).
«В той мере, в какой математические теоремы относятся к действительности, они не достоверны, а в той, в какой они достоверны, они не относятся к действительности». (А.Эйнштейн).
Конечно, нельзя воспринимать эти высказывания целиком всерьез: ведь они поданы в нарочито парадоксальной форме, в каковую все трое названных ученых так любили облачать свои даже весьма серьезные мысли. (Напр,, парадокс Рассела, с которого, в сущности, начались все неприятности в канторовой теории множеств и, соответственно, 3-й кризис в основаниях М., был сформулирован так: «Деревенский брадобрей бреет всех тех, кто не бреется сам. А кто бреет самого брадобрея?»). Потому, даже забыв о выдающемся вкладе этих ученых в развитие науки, нельзя на основании этих высказываний обвинить их в агностицизме. Мысли Рассела и Гильберта о М. относятся по существу к их представлениям об этой науке: у Рассела понимаемой как производное от логики (логицизм), у Гильберта – как совокупность формальных систем (формализм). И в негативной, самокритичной оценке этих своих представлений они (Рассел и Гильберт) сходятся, так же, как сходятся последовательные логицизм и формализм в своем отрыве от действительности. Автор – классик теории относительности угадывается по тому, что его мысли глубока, парадоксальна и… отдает релятивизмом. И в этом-то последнем ее слабость: в ней не делается различия между существенным и несущественным.
Разберем такой пример. Сумма углов идеального (математического) треугольника равна двум прямым. А в реальном треугольнике, склеенном из трех линеек, разве не так? С «точки зрения транспортира» – да; но отражает ли она действительность? Может быть, «действительность» треугольника – это квазистабильное соединение атомов и молекул, находящихся в движении, с меняющимися очертаниями электронных облаков? Да еще не забыть бы об электромагнитных полях, ими создаваемых… И тогда нет никакого треугольника, и не к чему применять теорему о сумме углов. А если все-таки применяем, то неоправданно?
Разобраться в этой запутанной ситуации может помочь марксов тезис о практике как критерии истины. Ведь треугольник из линеек создан исходя из потребностей практики и удовлетворяет им. Атомная структура его для практики несущественна, и ею можно пренебречь. В другой ситуации учет этой структуры может стать необходимым (напр., треугольная поляризованная мишень для ядерных частиц – это уже не столько треугольник, сколько атомная структура). Другая практика – другой подход. Для нас в данном случае важно, что и М. – тоже другая. Для иллюстрации: если для макропрактики весьма существенна теорема Пифагора с2 = а2 + b2, то для изучения пространственных отношений в микромире она ни к чему, но там зато «играет» инвариантность 4-х-мерного интервала s2 = x2 + y2 + z2 – c2t2.
Немало сторонников среди современных зарубежных математиков находят идеи Дж.Локка и Дж.Милля, сходившихся (первый со стороны материализма, второй – идеализма) в общности позитивистских взглядов. По Локку, в мышлении нет ничего, чего раньше не было бы в ощущениях. Такое представление обедняет мышление и неудовлетворительно с гносеологической точки зрения. Ведь в результате чувственного созерцания постигается лишь внешняя сторона явлений; разум же, пользуясь своими способностями к абстрагированию и идеализации, способен постигнуть их сущность, внутреннюю сторону явлений.
Опыт новейшей истории М. показывает со всей очевидностью, что тупик, в который зашли «новаторы» и «критики» М., был предопределен ошибочностью их гносеологических принципов. Идеалистические изъяны обнаруживаются уже в фундаменте трех основных «неоклассических» сооружений М.: ведь интуиционизм преувеличивает роль интуиции в математическом познании, формализм – значение формальных методов в математическом исследовании, логицизм -- значение строгости, логичности математических рассуждений. Наоборот, имеет большие перспективы развития неклассическое направление в М., основывающееся на материалистическом принципе конструктивности, подсказанным практической деятельностью людей и на нее ориентированным (имеется в виду все расширяющееся использование машинной техники для решения практических задач).
Диалектико-материалистическое объяснение возникновения основных понятий М. – натурального числа, величины и геометрической фигуры – из действительного мира было дано впервые Ф.Энгельсом в работах «Антидюринг» и «Диалектика природы». Это направление получило в дальнейшем широкое развитие в работах советских и зарубежных марксистов. Оно является достоянием материалистической гносеологии. Правильность ее подтверждается практикой – все более расширяющимся и углубляющимся процессом математизации знания, захватывающим все новые науки. Ведь идеалистам нечего ответить на ехидный вопрос Аристотеля: «Если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства?».
2. Предмет и структура математики
В понимании предмета М. разнобой суждений, пожалуй, не меньше, чем по вопросу об отношении М. к действительности. И суть дела здесь вовсе не в том, что М. – явление развивающееся, и различия в определениях происходят из-за приуроченности их к разным этапам развития М. Ведь к современному пониманию М. часто более близки мысли, высказанные до н.э. (Аристотель, Демокрит), чем мысли философов и математиков XIX в. и даже современников. Т.е. можно думать, что предмет М. за 2,5 тыс. лет ее существования хоть и изменился, но имеет значительную “постоянную составляющую”, и потому можно не очень заботиться о хронологии высказываний: она внесла бы лишь незначительные коррективы (это верно, очевидно, лишь для чистой М., которая в доаксиоматический период была синонимом всей М.). Т.е. вариации суждений о предмете М., связанные с различием философских позиций и установок, много шире, чем диапазон изменений самого предмета М. за 1—2 тыс. лет. Фактически этот период еще больше, потому что есть высказывания и о М. будущего, как например:
“Универсальная М., -- это логика воображения, /которая должна изучать/ … все, что в области воображения поддается точным определениям”.
Эта мысль Лейбница сыграла важную роль в становлении логицизма как направления в М.
А вот высказывание праотца интуиционизма -- И.Канта:
“Чистая М. является весомым доказательством знаний, приобретенных с помощью разума”.
С оценкой математики Г.Грассманом:
“М. – это наука о связи величин”
в общем согласен франц. философ А.Рей:
“М. открывает нам отношения, существующие между вещами, с точки зрения прорядка, числа и протяженности”,
но спорит Дж.Буль:
“В природе М. не заложено необходимости исследования идеи ЧИСЛА и величин”. (Это могло бы послужить оправданием для математической логики, изобретенной Булем, если бы она в нем нуждалась; но ирония истории: булева алгебра (логика) стала рабочим инструментом всей выЧИСЛительной техники!).
По мнению Г.Кантора,
“Суть М. – в ее свободе, в том, что математик по своей воле конструирует понятия и аксиомы”. А Ш.Эрмит, наоборот, считал, что “в М. мы больше слуги, чем господа”.
А вот заочный спор двух писателей – немецкого и русского:
“Понятия М. – это понятия науки вообще. Поэтому все науки должны стать математикой”. (Новалис). “М. – лишь одна из разновидностей прикладной логики”. (Н.Г.Чернышевский).
Теперь же, в противоречии со своим же тезисом, высказанным ранее, приведу пример конъюнктурной правки в дефиниции М.:
“Если кто-либо хочет коротким и выразительным словом определить саму суть М., тот должен сказать, что это наука о бесконечности” (Пуанкаре). А в предисловии И.М.Яглома к книге Дж.Кемени, Дж.Снелла и Дж.Томпсона “Введение в конечную математику” (1965) говорится:
“…разделы М., НЕ связанные с представлением о бесконечных множествах, представляются теперь гораздо более содержательными и важными, чем это думали математики XIX в. и первой половины XX в.”.
Что и говорить, на каждый тезис находится антитезис. Может быть, правы поэтому М.Кац и С.Улам:
“Любая попытка дать сколько-нибудь полное и исчерпывающее определение М. обречена, по нашему мнению, на неудачу”.
Но ведь их довод основывался на том, что, давая определение М., мы втискиваем ее в какие-то границы, а М. способна обобщить любую схему, изменить и обогатить ее. Тогда становится ясным, что речь идет об определении М., верном на все века. И такое определение (не столь уж это радикальная мысль) действительно невозможно.
Современный этап в развитии М. до сих пор хорошо отражается дефиницией Энгельса:
“Чистая М. имеет своим объектом пространственные формы и количественные соотношения действительного мира”. Правда, это не единственный объект М. (напр., могут математически изучаться отношения, не являющиеся ни пространственными, ни количественными), в чем отдавал себе отчет и сам Энгельс, считая такие абстрактные объекты, как комплексные числа, многомерные пространства, бесконечные множества правомерными математическими объектами. По мнению А.Н.Колмлгорова, определение Энгельса нуждвается лишь в незначительной модернизации, чтобы оно охватило и современную М.:
“М. – это наука о количественных отношениях и пространственно-подобных формах во всей их общности”.
Однако проблема предмета М. последними высказываниями не исчерпывается даже на уровне определения. Ведь в ней речь идет лишь о чистой М., составляющей главную, но все-таки не всю, часть М. По современным представлениям, кроме собственно М. (или чистой), в ней выделяются области прикладной М. и метаматематики.
Прикладной М. называют совокупность теорий о системах объективной действительности и мышления, полученных интерпретацией теорий чистой М. При этом прикладная М. не есть М. конкретных наук. Это видно хотя бы из того, что в конце XIX – начале XX в. геометрия как теория чистой М. была отделена от геометрии как физики (т.е. как прикладной М.) (Замечание П.К.Рашевского).
Метаматематика – это вольно выражаясь, рефлексия самой М. по поводу своего содержания и формы. По более строгому определению, это теория, изучающая синтаксические (формальные), семантические (содержательные) и логические свойства теорий чистой М. Т.е. в компетенцию метаматематики входит выяснение непротиворечивости конкретных математических теорий, их дедуктивной полноты, независимости их систем аксиом.
Т.о., только мы успели прийти к определению, которое показалось адекватно отображающим предмет и содержание М., как сразу же выяснилось, что в М. есть области, вылезающие за очерченные определенные рамки. И вновь возникает задача – как определить М. через ее предмет. Поскольку нам не известны высказывания о современной М., являющиеся ее определением и удовлетворяющие требованиям полноты, то придется попробовать своими силами. Суммируя вышесказанное и вычитая неприемлемое, можно сказать так:
“М. – это наука, занимающаяся построением теорий о количественных отношениях и пространственно-подобных формах во всей их общности, разрабатывающая интерпретации этих теорий на объекты действительности и проверяющая их состоятельность с точки зрения формы и содержания”.
Последнее замечание в заключение этого параграфа. Сейчас на М. не смотрят как на науку, строящую свои формализованные модели и теории, ориентируясь на явления, известные физике, химии, биологии и т.д. Она заготавливает формальные структуры впрок (вспомним образ “безумного портного” из “Суммы технологии” С.Лема, который (т.е. портной) шьет из материала разнообразных форм что попало, и иногда случайно получается нечто похоожее на брюки и пиджаки; не так ли и Риччи “сшил” свое тензорное исчисление, пришедшее “впору” общей теории относительности Эйнштейна?). Сегодняшний математик часто вовсе не интересуется, соответствует ли его построение чему-то уже познанному в окружающем мире. Он совершенствует аппарат не для описания чего-то, а аппарат вообще. Он ищет возможности для выявления новых связей между математическими объектами, стремясь придать теории большую компактность, общности и простоту. Он рассчитывает (и эти расчеты оправдываюися!), что если его конструкции станут более изящными и более простыми (не теряя при этом богатства своих свойств), то рано или поздно они будут использованы в конкретных науках. И эта особенность М. (“непостижимая эффективность М. в естественных науках”, по выражению Е.Вигнера) туманит умственный взор многих математиков и философов еще и теперь, мешая им разглядеть гносеологические корни М., которыми она врастает в действительность.
3. Проблема истинности в математике
Рассмотрим проблему истинности различного рода математических теорий и утверждений.
В прикладной М. истинность выводов теории проверяется практикой (напр., выводы из математической теории эпидемий могут быть проверены с помощью статучета или в опытах на животных), и потому в сравнении с эмпирическими науками особой специфики не обнаруживают. Т.е. истинность теорий прикладной М. эмпирическая.
Теории чистой содержательной М. что-то утверждают не о реальных объектах действительности, а об абстрактных, идеализированных объектах, и решение проблемы истинности здесь уже нетривиально.
Посмотрим, что можно считать истинной в содержательной математической теории, что-то утверждающей о системах математических объектов (числах, точках, множествах, функциях и т.д.). Будем считать, что теория достаточно развита и ее аксиоматическое упорядочение уже произведено. Тогда проблема истинности теории сведется к проблеме истинности ее собственных оснований – аксиом.
В самом деле, ведь всякая теорема аксиоматической теории представляет собой утверждение типа А1, А2, …,Аk влечет В, т.е. из истинности k аксиом следует истинность утверждания В. В XX веке было понято, что заключение об истинности аксиом зависит также и от используемых логических средств. Раньше же считали, что М. только тем и занимается, что фабрикует вечные и неизменные истины. (Б.Пирс, американский математик, говорил так: “М. – это наука, суждения которой окончательны”). 3-й кризис в основаниях М., разразившийся на рубеже XIX и XX вв. (а еще раньше – появление неевклидовых геометрий), принес понимание того, что и М. не может, как другие науки, претендовать на абсолютное, окончательное знание. Напр., то, что верно (доказуемо) в интуиционистской или конструктивной М., может быть неверно (недоказуемо) в классической М. Для иллюстрации: в классической М. широко применяется апагогическое (косвенное) доказательство. Схема его такова. Требуется доказать, что из совокупности аксиом А выводится некоторое суждение (теорема) S. Предположим, что верно не-S. Тогда проводят доказательство, что из оснований теории и не-S выводится некоторое положение U, которое заведомо ложно. По определению импликации, из не-S следует “U ложно” только тогда, когда не-S тоже ложно. По закону исключенного третьего, это означает, что S истинно. Теорема доказана. Но в интуиционистской М. закон исключенного третьего имеет ограниченную справедливость (только для конечных совокупностей), и потому теорема “А влечет S” неверна (если ее нельзя доказать другими методами).
Т.о., истинность суждений содержательной М. является не эмпирической, а аналитической, т.к. устанавливается на основе анализа их абстрактных объектов, вводимых определениями, и логических терминов. Математические же объекты существуют в силу соответствия их определений условиям существования объектов. Здесь существенно то, что возможно разное понимание этих условий. Напр., в классической М. определение вводит математический объект, если оно непротиворечиво, а в конструктивистской – если оно эффективно (т.е. построено рекурсивным или индуктивным образом). Отсюда видна очень сильная зависимость проблемы истинности в М. от того, как разрешается проблема существования: ведь ясно, что всякое утверждение теории относительно объекта, который (в определенном смысле) не существует, будет ложным; в другой же системе объектов, с которой рассматриваемое понятие совместимо (“объект существует”), его истинность может быть другой.
В формальной М., главными интерпретациями теорий которой являются системы математических объектов, истинность тоже аналитическая, поскольку ее предложения распознаются только на основе анализа их формы, а логическая непротиворечивость теории устанавливается путем анализа ее логических терминов. Этот же вывод справедлив и в отношении метаматематики как формальной теории.
Д.Гильберт предпринял грандиозную попытку доказать истинность чистой М. сведением ее к истинности метаматематических суждений. Но на этом уровне принцип внешнего дополнения не сработал: в 30-х гг. К.Гедель установил 2 теоремы о неполноте формальных систем, показавшие невыполнимость программы Гильберта. По 1-й теореме нельзя формализовать не только всю содержательную М., но даже только арифметику натуральных чисел: в любой формализованной системе обязательно найдется формально неразрешимое суждение. По 2-й теореме недоказуема абсолютная непротиворечивость формальной арифметики.
На математическом и метаматематическом уровнях проблема обоснования М. оказалась, т.о., неразрешимой. Это означает, что нужно идти дальше и рассмотреть эту проблему в более широком контексте. В данном случае это уровень (диалектико-материалистической) гносеологии.
Возможно, решение удастся найти на пути генетического анализа основных математических объектов при соотнесении его с нейрофизиологическими особенностями человека как познающего субъекта. Ведь человек все более активно воздействует на природу, все чаще включается во всякого рода технические системы как их элемент. “Физик не может продвигаться вперед”, писал А.Эйнштейн, “если в критические моменты, возникающие при решении наиболее трудных проблем, он не займется изучением самого мышления”. К математику это относится не в меньшей степени: ведь противоречия в основаниях М. не разрешены до сих пор.
Подытоживая, можно сказать, что “истинность” в понимании Аристотеля (т.е. как соответствие М. реальному миру), а в современной терминологии – как объективность математических утверждений – М., безусловно, присуща. Ведь основные ее объекты порождены внешним миром, другие возникли из потребностей практики;
М. пользуется логическим аппаратом, истинность которого многократнго проверена практикой. К тому же вся М. в целом удовлетворяет диалектико-материалистическому критерию истинности: об этом свидетельствует начавшийся в ХХ в. все более расширяющийся и углубляющийся процесс математизации научного мышления.
4. Проблема противоречия в математике
Для М. типична такая ситуация: существует какая-то нерешенная проблема и гипотеза относительно ее разрешения. Причем многочисленные попытки доказательства гипотезы оказываются безуспешными. На каком-то этапе постановка проблемы может тогда радикально измениться: уже стремятся доказать, что гипотетическое положение не выводится из собственных оснований теории.
Методологические основания М. подсказывают путь доказательства: построить модель, в которой собственные основания теории были бы истинны, а исследуемое предложение – ложным. Если его ложность будет доказана, это будет означать, что гипотетическое положение не выводится из собственных оснований теории и потому не принадлежит ей. (Если бы оно принадлежало теории, то она была бы семантически противоречива, т.к. в ней выводились бы как истинные, так и ложные суждения).
Правда, на всю проблему противоречивости можно посмотреть шире. В силу парадоксальности свойства материальной импликации, в противоречивой теории с помощью правил формальной логики любое предложение выводимо (по Ф.Хаусдорфу, “если 2 х 2 = 5, то существуют ведьмы”), в т.ч. и заведомо ложное. Дедуктивная ценность теории, не способной отличать истинные и ложные предложения, резко снижается. Однако логические средства теории не заданы однозначно: с помощью видоизмененной логики (напр., с другими правилами импликации) можно сохранить дедуктивную ценность теории, содержащей противоречие.
Итак, на уровне методологических обоснований М. сделать окончательный вывод о неприемлемости теорий с (семантическим) противоречием не удается. По принципу внешнего дополнения С.Бира, являющемуся обобщением теоремы Геделя о неполноте формальных систем, недостаточность любой системы управления низшего порядка может быть преодолена переходом к метасистеме – системе управления высшего порядка. Такой метасистемой в случае М. является философия М., дающая вполне однозначное решение проблемы о теории, приводящей к противоречиям. По диалектико-материалистическому принципу соотношения объективной действительности и познания, всякая теория должна адекватно отображать какие-то стороны объективной действительности. Поскольку в реальном мире нет предметов, обладающих каким-то свойством и в то же время и в том же смысле им не обладающих, то отсюда вытекает, что теория не может включать одновременно истинные и ложные суждения.
Т.о. из философских (точнее, гносеологических) оснований теории следует методологический принцип непротиворечивости, ограничивающий и определяющий в свою очередь логические средства теории.
Итак, теория, в которой обнаружено формально-логическое противоречие, должна быть, казалось бы, немедленно отброшена и отбракована. “Если… мы нечаянно придем к противоречию, то мы не можем оставить его существовать далее, не обесценивая теории, в которой оно возникло” (Н.Бурбаки). А как же тогда быть с М.? Ведь противоречия обнаружены в самой ее основе – в теории множеств. Но (и в этом можно увидеть второй полюс противоречия – уже диалектического) М. является работающим (эффективно и все более широко) аппаратом науки и практики. Надежность его многократно проверена и представляется (не-математикам) чуть ли не абсолютной. Скажем, физик-теоретик, придя в результате математических выкладок к сомнительному результату, не станет на этом основании подвергать сомнению применявшиеся при выводе математические методы, а прибегнет к пересмотру физических принципов своей теории.
Диалектическое противоречие между логическим несовершенством оснований М. и ее высокой эффективностью является, как и положено диалектическому противоречию, важным стимулом развития всей М., а не только ее оснований. Проводится аксиоматическое упорядочение теорий (общепризнанным образцом здесь служит гильбертова аксиоматизации евклидовой геометрии), вскрываются те неявные предположения, которые использовались в доаксиоматический теории, препарируется логическая структура теории, -- словом, ведется многообразная и интенсивная работа, имеющая целью устранение противоречия. Точности ради заметим, что такой характер деятельностьи математиков проявлялся преимущественно в первые годы после обнаружения противоречий в основаниях М. и был связан с их убежденностью в том, что противоречия эти носят лишь внешний характер, являются лишь видимостью. Это убеждение закреплено даже терминологически: ведь противоречия теории множеств эвфемически были названы “парадоксами”, и название это сохранилось до сих пор, хотя оно уже гораздо меньше оправдано. Следующий этап развития М., который можно было бы назвать этапом переаксиоматизации, состоит в переходе к радикальному пересмотру оснований теории (он продолжается до сих пор), созданию новых аксиоматтических систем (в теории множеств – ситемы Цермело—Френкеля, Бернайса, Коэна и др.), к перестройке логического аппарата (интуиционистская логика, конструктивная логика и др.), введению и элиминации математических объектов.
Революция в М. продолжается. Ибо нет еще такой теории, удовлетворяющей диалектически противоположным требованиям: устранениям принципов теории, приведших к противоречиям, и сохранения их для обеспечения практической ценности теории. Это обстоятельство, а также то, что ни для одного из вариантов теорий не доказана абсолютная непротиворечивость (А.Пуанкаре говорил по этому поводу: "Мы построили ограду вокруг стада, чтобы уберечь его от волков, но мы не можем знать, не спрятались ли несколько волков внутри ограды”), стимулирует появление и разработку новых идей, источник которых – стремление более верно и полно, чем раньще делалось, отразить какие-то стороны действительности, ввести в М. какие-то новые принципы достаточно большой общности, подмеченные в явлениях природы. Так появились теория “нечетких” множеств Л.Заде, основанная на на понятии лингвистической переменной, теория пространств толерантности Зимана—Бьюнемана, систематически учитывающая нетранзитивность перцептивного равенства (напр., из того, что А и В перцептивно неразличимы, В и С – тоже, не следует перцептивного равенства А и С, что подметил еще Пуанкаре), различного рода “ультраинтуиционистские” схемы, исследующие последствия отказа не только от актуальной, но и от потенциальной бесконечности (в этом направлении работает, напр., группа пражских математиков). Большие перспективы имеют и исследования по разработке принципов новых математик, идейно восходящие к Дж. Фон Нейману (не исключено, что М. – один из возможных языков, наряду с другими человеческими языками; скажем, теория множеств – язык зрительных структур), А.Эйнштейну (вспомните его высказывание о необходимости изучения мышления) и Н.Бору (имеется в виду его принцип дополнительности, который в широком понимании приводит к констатации важной роли пространственно-временных структур сознания в познавательной деятельности). Если противоречия в М. будут преодолены и возобладает последнее направление исследований, то на каком-то этапе своего развития М. и, скажем, нейрофизиология будут иметь широкую область пересечения.
Т.о., формально-логические противоречия (“парадоксы”), открытые в основаниях М. 80 лет назад, не только разрушили веру в абсолютность математических истин, не только вызвали идейный разброд среди математиков. Они имели и положительное значение. Они стимулировали критические и новаторские исследования по основаниям М., по математической логике, по философии М., поисковые исследования по созданию альтернативных теорий, т.е. расширили горизонты самой М. Кроме того, они привели многих, даже идеалистическит мыслящих математиков, к выводу, что М. больше, чем они думали, связана с объективной действительностью, что гносеологические корни М. глубже и разветвленней, чем принято было считать, и что дальнейшие успехи в развитии М. следует ожидать на пути ее перестройки в соответствии с требованиями диалектико-материалистической гносеологии.
Литература

1. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии математики. М., 1968.
2. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 1970.
3. Ахундов М.Д. Проблемы прерывности и непрерывности пространства и времени. М., 1974.
4. Бирюков Б.В. и Тростников В.Н. Жар холодных числ и бесстрастная логика мысли. М., 1977.
5. Бунге М. Интуиция и наука. М., 1967.
6. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.
7. Вейль Г. О философии математики. М., 1934.
8. Жуков Н.И. Философские проблемы математики. Мн., 1977.
9. Зиман Э. и Бьюнеман Э. Толерантные пространства и мозг, в кн.: На пути к теоретической биологии, М., 1971.
10. Кац М. и Улам С. Математика и логика. М., 1971.
11. Курант Р. и Робинс Г. Что такое математика. М., 1967.
12. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М., 1973.
13. Кольман Э. Открытие множественности математик и его философское значение. -- Вопросы философии, 1968, № 10.
14. Комаров В.Н. По следам бесконечности. М., 1974.
15. Кольман Э. Бернард Больцано. М., 1955.
16. Киселева Н.А. Математика и действительность. М., 1967.
17. Локатос И. Доказательство и опровержение. М., 1967.
18. Лем С. Сумма технологии. М., 1968.
19. Математическая энциклопедия, т. 1, 1977.
20. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969.
21. Нарский И.С. Готфрид Лейбниц. М.,1972.
22. Петров Ю.А. Философские проблемы математики. М., 1973.
23. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975.
24. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М., 1968.
25. Рашевский П.К. О догмате натурального ряда. Успехи Матем. Наук, 1973, 28(4).
26. Реньи А. Диалоги о математике. М., 1969.
27. Тростников В.Н. Конструктивные процессы в математике. М., 1975.
28. Френкель А. и Бар-Хилел И. Основания теории множеств. М., 1970.
29. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М., 1971
30. Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М., 1972.

.